skrypt

I mirwUul PHfHłMOZA SREONIOKWAPnATOWA SYPMALÓW STAC.IOMAIlNYi H______    ________

Estymator ji„(r) stanowi rozwiązanie rz.w. problemu prognozy średniokwadrn lowej w tyl. dotyczącego wyznaczenia oplymalnego średniokwadratowo es tymntorn zmiennej losowej y(f - n) na podstawie obserwacji jej n-krokowej

przyszłości (y(r).....v(/ - n + I)} (analogicznie jak estymator ?„(t) stanowi

rozwiązanie problemu prognozy w przód, związanego z wyznaczeniem zmiennej losowej y(t) na podstawie obserwacji jej n krokowej przeszłość, {y(/    I),

v(r -n)}). Tak jak w (2.206), błąd w tyl (rzędu n) u„(r) estymacji zmiennej losowej y(r - n) za pomocą estymatora y„(l) definiujemy jako

v_n(0 = /’(.sSe5S'^,)y(/-'') = (' - /^>(-'ko^_,))v(«’ - ") =

= y(i-n)-y_n(i)    (2 2\?)

Podobnie, jak w (2.207). możemy zdefiniować unormowany błąd w tył jako

r,(r)SU(')IM')ll« J-3T'    ^(22l4)

Uwnsa: O ile warunki optymalności (2.206) estymatora prognozy w przód y„(t) implikują układ normalny równań (2.133). o tyle wanmk, optymalności estyma lora prognozy w tyl y„(r). wynikające z ortogonalnaści Holu ,,„(/) względem podprzestrzenny-' (2.212). są określone jako

(o_n(t),y(t-k))ti = 0 k = 0.....n - I    (2 215)

a błąd średniakwadratowy te tył R" (rzędu n) wyraża zależność

(v„(l),y(i-'<))« = ^R*    ^(22l6)

i - jak łatwo moimi sit przekonać- warunki (2 215) wraz z (2.216) są równoważne układowi normalnemu równań w ty! (2 137)

-

-

I°ovnozwnuAn_IA rnoBiEMi i __________

Rys. 2.11    Optymalny estymator ..w tyl"

Zauważmy, że z (2 214) mamy u„(/) = r_rf(/)||u_n(0llT/

Podstawiając (2.217) do (2 213). otrzymujemy

(2.217)

y(i - n)    y„(t)

= y(t-n) -y„(t)

(2.218)

'"⁽⁰ “ ||iin(0||t/ |M')l|fł

gdzie y(t - n) oznacza unormowana zmienna losowa y(t - n). zaś y„(t) - unormowany estymator y„(/), co zostało pokazane na rys. 2 11.

Zauważmy, że

>'„(f) = P(Sy- ¹ )y(t -n)= P_n_„y{t) +... +    „ ₊ ,)

natomiast, zgodnie z (2.213). mamy

°ⁿ(t) - y(t - n)-y„(/) = b„ _ny(t) +... + fc„,iy(r-n+ I) +1 ._y(, _„) _{(2 22Q)}

gdzie b_nj ~Pn,o i — I,• • ,n. Z (2.215) wynika, że

(u»(O.J<*-*))« = 0 , * = 0. ..,n — 1    _(222])

Podstawiając (2.220) do (2.221) oraz uwzględniając stacjonarno* sygnaiu w sensie szerszym (2.22). otrzymujemy    ^Vg

(L»n(/),>(r — *))_T/ = (&_BiBy(r)_t , + ... + b„ .,y(r -n+ 1) +

+ i y(r n).y(r-fc))_{tJ =} ),_nn(_ł.(,_)i)1(,__{t))i/+    +}

+ ^fc-.t (y(f- n + I)•>'(/ -*))«+1 ■ (y(r -n),y(t -*))„ =

"=’ ^h*»W-1),y(f-*- i))« +... +

+^fc»,t(y('-«).y(t-k-i))u +

+ I (y(t-n - |).y(r-t_ 1))_{1J =}

= (Un(t-l),)'(t-fc-l))_u = 0 . k = 0,...,n— |    (2.222)

Stad wniosek, że

<->ⁿ (ł - I) = y(r - n - 1) - y„ (/ - |) = _b„,_ny(t — 1) +... + + ^n,iy(f - n) 4 1 *y(f — n— 1)

(2.219)

64

Liniowa PROGNOZA ŚREONIOKWADRATOWA SYGNAŁÓW STACJONARNYCH

co implikuje

u„(r-l) = P(Sf^+,9^)y(r-n-l)157

(2.224) T

oraz

ll^Un(^f ~ Ollti =    l),u_n(r- l))i/= (u_n(t - 1 )yb_n>ny(t —1)4-

+ •••+Jyiy(f-*) + ly(r-n- 1))^=    ^

=    l),y(/- l))ti +,(u„(r- i),y(r

+ l-(ił.(f-l),y(f-n-l))_fi=(u_ll(f-i)_iy(/-n-i))_lł= §1 = (b_n,_ny(t - l) 4...4-1 y(t -n - l),y(/ - n - \ ))_v =

= ^bn.n(y(l- l),y(/-n- I ) ) 77 4... 4

4 l (y(f-/l- l),y(/-n- 1))t;=    *g'

⁼ b_ntn(y(t)iy(t-n)) u+...+ I ■(>•(/-n),y(t - _n))_v =

= IMOIIi

W związku z powyższym

o_n(r- 1) = /^>(57^{< 1} ©i$7)y(/ — n — 1) =y(/-n- I) -y„(/- I) 1^ (2.226) Ę

ałŁ

co. uwzględniając (2.210), przedstawiono schematycznie na rys. 2.12

(2.225) f

(2.223) 65

65

IISIIIDH

JRĘKUHENCYJME METODY rozwiązania prom p_M„ prognozy

fcg]-*^4To]

gdzie

^ś(i-*.)-* Lr]

jest macierzą J-ortogonalną, a więc macierzą spełniającą warunek

0(pn+l)J0-(p_n+l)=J

zaś

(2.227)

(2.228)

(2.229)

(2.230)

^RVS 2 12 tMymaiory prognozy ..w przód” i „w tyl"

noży wyraża' ^r°⁷'^W''*^{MniC pr0blcn,u} ‘W"alnej (JSrcdniokwadratowo) próg-Twierdzenie 2

Mająe dane unormowane błędy prognozy w przód e„ (;) , „• tył r„(t). prawdziwe następujące, zależności rekurencyjne:

66

jest macierzą sygnaturową, oraz

Pn+I = -(e_n(t),r_n(t- l))u= -Ee_n(t)r_n(t- 1) ;    |p_n+,| < I    (2.231)

Dowód: Z (2.204) i (2.207) wynika, że e_n(t) € ale Stąd otrzymujemy ortogonalna dekompozycję podprzestrzem

SZ = spaa{e_n(t)}eSⁿl (2.232)

gdzie 0 oznacza sumę ortogonalną podprzestrzeni. Z drugiej strony, z (2.211), przy 0 zamienionym na 1 oraz przy n zamienionym na n+ I. mamy

•S| ^{+ l} =span{ 57, y(t-n-I) }

Uwzględniając fakt (2.226), iż r„(t -1) 6 57^+l ale lóy. otrzymujemy

57⁺¹ = 57€>span{r„(r - I)}    (2-233)

Zatem mamy następujące dekompozycje operatorów projekcji:

P(53) = P(57)4/^?(e_n(/))    (ⁱ²³⁴⁾

P(S7^+l) = P(57) + P(r*(*“ 0)    ^(Z235)

gdzie P{e_n(t)) oraz P(r_n(t)) oznaczają operatory projekcji ortogonalnej na jednowymiarowe przestrzenie, odpowiednio, span{e_n(t)} oraz span{r_n(t)}. Bio-

67