16266 skrypt

, ,_N,OWA PH00N02Ą ftBEPNtOKWAPBArOWA SYGNAŁÓW STAC^^nN^.' REKUnEMCYJNĘ METODY ROZWIĄZANIA PROBLEMU PROGNOZY

48

c(0)

1		1		• 0
"2.1 "2.2 .		"l.l 0	4-P2	"1,1 1

«2,l = ^fll,l ł‘P2«l.l —

c(!)

cm -

c(0)

c(0)

(■-08)’)

cm-^

£0)

c(0)

"2.2 = ~

c(0)(l-($D )

= /?f{i - (Ą) =

= C(0) I

U(0).

I -

c(0)

i iak dalej Jak widać z przykładu

•    współczynniki {"„.Jjż? (U odpowiedzi impulsowe filtrn prognozującego dla _n _ | *jv) wyrażają się wyłącznie poprzez wartości funkcji kowariancji obserwowanego sygnału - w tym sensie należy rozumieć stwierdzenie, że filtr optymalny jest dopasowany do sygnału, gdyż każdorazowa zmiana statystyk sygnału powoduje zmianę odpowiedzi impulsowej (a tym samym transmitan-cji) optymalnego filtru prognozującego;

•    analizując wyrażenia okre

prawa jakości estymacji zależy od przebiegu funkcji kowariancji sygnału, przykładowo:

-jeśli we wzorze określającym wartość <:( 1) spełnia warunek c{ 1 )< c(0). to poprawa jakości estymacji w pierwszym kroku jest mała; do podobnego wniosku można dojść również analizując analogiczną relację między c(2) a c(l) we wzorze określającym R\.

-jeśli natomiast jest spełniony warunek c{ I) ~ c(0) w pierwszym, a c(2) ~ c( 1) w drugim przypadku, to poprawa estymacji w każdym kroku jest duża.

Stąd wniosek, że poprawa jakości estymacji zależy od szybkości malenia war tości funkcji kowariancji: i tak. jeśli szybkość malenia jest duża - a więc sygnał ma charakter szerokopasmowy - jakość estymacji poprawia się powoli, co wymaga stosowania filtrów wysokiego rzędu; jeśli natomiast szybkość malenia jest mała a więc sygnał jest typu wąskopasmowego - jakość estymacji poprawia się szybko, co umożliwia stosowanie filtrów niskiego rzędu W granicznym przypadku szumu białego mamy c( I) = c(2) = ... = 0. co implikuje zerową poprawę jakości estymacji oraz - oczywisty skądinąd wniosek - że prognozowanie szumu białego nic ma sensu. Powyższe spostrzeżenia zostaną wykorzystane przy omawianiu zagadnienia filtracji innowacyjnej i parametryzacji sygnałów.

Unormowany algorytm Levinsona

W zastosowaniach - zamiast zależności (2.145)~<2.149) korzysta się zazwyczaj z tzw. unormowanej wersji algorytmu Levinsona. Zarówno z lego względu, jak i z uwagi na fakt, że ..unormowane" rozwiązanie problemu prognozy bę dzie wielokrotnie wykorzystywane w dalszych rozważaniach, przedstawimy tę wersję omawianego algorytmu W tym celu ..unormujmy" rozwiązania w przód i w tył (2.144), dokonując podstawień

"n.O "n, 1	1	A	6n,o 6n.i	I
"n.n		6n =	6/i,n	"Tl^6"	(2.150)

tj współczynniki rozwiązań unormowanych stanowią rezultat podstawień

"n.i    ,    bn,i

przy czym On. o = 6/1,0 =

(2.151)

V^Rn

(2 152)

Uwaga l: Sens terminu „unormowanie” w (2.150) sranie się jasny przy oma wianiu rozwiązania problemu prognozy metodą geometryczną.

Uwaga 2: W dalszym ciągu A„. B_n. a„., oraz b_n>, będą oznaczać wielkości unor mowane:

49

fffflllllfiSESIS 3III!

Liniowa prognoza średniokwadratowa sygnałów stać jonarn -

Wprowadźmy oznaczenie

r= I

(2.153)

--Rekurencyjne metody rozwiązania problemu prognozy

Uwaga 3: W unormowanym algorytmie Levinsona (2.153), (2.155), (2.160) ¹ 2 16/). zależność (2.149) określająca błąd Średniokwadratowy prognozy jest zastąpiona równoważną zależnością rekurencyjną

(2-155) J

Zauważmy, że z (2.149) wynika zależność

a stąd wniosek, iż ,,

(2.157)

(2.162)

Wówczas z (2.150)-(2.152) wynika, że wielkość A„ (2.145) wyraża się jako

(2.154)

Podstawiając (2.154) do (2.146), otrzymujemy

_ a zior/n

Pn ~ -A_n On - 1.0

Zastępując rozwiązania nieunormowane wprzód i u- tył w zależnościach (2 147) ^; i (2.148) wielkościami unormowanymi (2.150). otrzymujemy

_A _    roli

⁰ J^+P"k-.J/    ^(2I56>

(2.158)

(2.159)

Podstawiając (2.159) do (2.156) i (2.157) otrzymujemy unormowaną wersję algorytmu Levinsona:

(2.160)

a„,0 = fl/_l_i_to(i-p„²) ł

która jest tożsama z zależnością (2.158).

Uwaga 4: Przykład 7.1 w rozdziale 7prezentuje implementację unormowanego algorytmu Levinsona w środowisku Mat lab wraz z przykładowymi wynikami symulacji komputerowych.

2 2.3. Faktoryzacja Choleskiego macierzy kowariancji

Omawiając sformułowanie zagadnienia prognozy optymalnej oraz algebraiczne metody jego rozwiązania, stwierdziliśmy, że w celu jego rozwiązania niezbędne jest wyznaczenie macierzy odwrotnej C~¹ względem macierzy kowarian-cyjnej C„. zgodnie z (2.130). Z kolei przedstawiony wyżej algorytm Levin-sona umożliwia wyznaczenie (w sposób rekurencyjny) rozwiązań tego układu równań pozornie bez wyznaczania macierzy odwrotnej. Dlatego też w niniejszym punkcie pokażemy, że zastosowanie algorytmu Levinsona do rozwiązania układu równań (2.133), stanowi szybką tj. wymagającą jedynie o(n²) operacji. zamiast ć?(/?³) operacji jak w metodzie Gaussa, metodę wyznaczania macierzy odwrotnej (względem macierzy Toeplitza) i to w postaci sfaktoryzowanej (faktoryzacja Choleskiego) Aby to pokazać, przypomnijmy że algorytm Levin-sona stanowi rekurencyjną metodę wyznaczania współczynników (2.134) filtru prognozującego rzędu n — 1,2,..., stanowiących rozwiązanie układu równań (2.133). Zauważmy, że w przypadku unormowanego algorytmu Levinsona (2.153), (2.155)-(2.157) układ ten przyjmuje - na mocy (2.150) następującą postać:

(2.163)

'c(0) .	■ c{-n)'		"/i.O "/», 1		0
c(n)	■ c(0) .		^an,n		0 J

(2.161)

Przypuśćmy, że zakończyliśmy działanie algorytmu Levinsona po p krokach; tj. rozwiązaliśmy układ równań (2.163) z n zamienionym na p. Zauważmy, że

50

51