skrypt

LlNIOWAPnOGNOZA ŚRFPNIOK WAORATOWA SYGNAŁÓW STACJQMrtnNVCH

Stad

n- I

A*(z) = z° - A„(r) - I -

1=0

ora z

l|A»i(z)||^/ = (A„(r), A_n(z))^/ = ||r°||^> — pj i w przypadku, gdy ||A„(z)|

-L^S-pt

(2.284)

At)

°(0) = (1 0. 01

(2287)

(2.282)

(2.283)

Zatem w przypadku, gdy ||A«(z)ll5v -f 0. przy n -¥ ®. otrzymujemy (IG

Stad wniosek, że:

•    rozwiązanie problemu prognozy średniokwadratowej. wynikające z Twier-dzenia 3, stanowi rekurencyjną metodę rozwiązania zagadnienia ortogonalnej aproksymacji wielomianowej transmitancji filtru prognozującego;

•    rozwinięcie ortonomialne (2.281) jest tworzone na podstawie zbioru wielo|jflc mianów ortonormalnych Szegó {£;.(?) }®₀- otrzymany w wyniku ortogona-W lizacji Crama-Schmidta zbioru {r^S-o względem funkcji wagowej. będącejj|i widmową gęstością mocy W(c^J0) sygnału y; w tym sensie możemy więc po-*j£; wiedzieć, że transmitancja optymalnego filtru prognozującego jest dopasó-^* wana do statystyk drugiego rzędu sygnału y (jako. że każda zmiana jego wid--#* mowej gęstości mocy powoduje zmianę transmitancji filtru optymalnego); {§( .

•    współczynniki Schura, identyczne co do wartości jak w przypadku estyma-:C ' tora prognozy (2.250). stanowią reprezentację ortogonalną transmitancji opty jjcc malnego filtru prognozującego w podprzestrzeni U* (tj są współczynnikamfS•’

Fouriera w jej ortogonalnym rozwinięciu (2.281)).

—- -

Przestrzeń C₂

-tć^-.

"ci'"

Z izomorfizmu przestrzeni Hilbertn L₂{ 11*Li(T) oraz f.₂, omówionego ,

strzeni C2 jest
Vq = span{t*(0).Q(\), l),«(n)}	(2.285)
tj. mamy
5q <—y Uq t—> V*	(2.286),

__|_REKUREMCYJNE METODY ROZWIĄZANIA PROBLEMU PROGUOZY

Przypomnijmy również (2.119). że reprezentantem teraźniejszości y(r) w przestrzeni Ci jest element e(0) = [I 0.. 0|

z°=l

Podobnie, jak poprzednio (2.256). reprezentantem przeszłości y(r - n) w chwili t - n jest element e(n) = [0.. .0 1]; tj. mamy

y(r-n)    z" <-* e(n) = [0...0 I]    (2.288)

Przepisując (2.285) jako

^v0 = span{c(0),V?}    (2.289)

możemy zdefiniować (por (2.121))

A* = P( V,ⁿ)©(0) = [a_nJ ... a„_in\ € V,"    (2.290)

i wówczas (por. (2.122)) reprezentantem w przestrzeni Ci estymatora 9_n(r) oraz transmitancji A„(z) jest wektor współczynników (2.290)

y„(f)    <->    A„(r)    f->    A„    (2.291)

Podobnie, definiując błąd w przód (por. (2.123))

A. = P(VSe vr)e(0) = [i a„., ,a„] XV,"    (2.292)

mamy (por    (2.124))

£„(/)    A„(z)    <->    A„    (2.293)

a po unormowaniu

A. = A„||A„||ć^,=Koa-,.i - ^]    W-294

otrzymujemy, zgodnie z (2.263)

e„(f)    f—>    A_n(z)    A_n    (2.295

Przepisując podprzestrzeń (2.285) jako

V₀ⁿ = .?pan{V₀ⁿ-',e(n)}    (2.29(

76

Liniowa prognoza śreoniokwadratowa sygnałów stacjomarmych możemy zdefiniować element

Y_nip(v'₀"-^|)₈(_n) = /³(v₀'-^l)[o.. oi] = [/3_n.„...&,] €i;; |

który jest reprezentantem Kołmogorowa w przestrzeni C₂ estymatora prognozy-5^" wtyły_n(t) (2.219) oraz wielomianu (z) (2.265)

y„(0    T_n.(z) <-> r_n

Odpowiadający mu błąd w tył, to

B„ i P(VS9 V₀-¹ )•(«) = [b„.„ ... b„,„] i V₀

a zatem

u_n(r) B„.(z) <-► B„ zaś - po unormowaniu -

B„ 4 B.IIB.HĆ¹ =[*„...M

mamy

r_n(t)    B_n.(z) f-4 B_n

Analogicznie jak poprzednio, rekurencyjne rozwiązanie problemu prognozy średniokwadratowej w przestrzeni t₂ możemy sfomułować jako

Twierdzenie 4

Jeśli dane są rozwiązania A _n i B_n rzędu n, to mamy An+I _ fi/    \ \A_n 0

ji.₊ ,J-^0(p"^+,)[oB„J

gdzie

P«+1 = -([A, 0],[0 B_n))_c = -[/ł_n0]C„₊i[0B„]'

Dowód : Analogicznie, jak poprzednio, dowód jest identyczny jak w przypadku twierdzeń 2 i 3 (na mocy izomorfizmu Kołmogorowa) i możemy go pominąć. fił

^D§

Uwaga 1: Zauważmy, że zależność (2.303) jest tożsama z unormowanym algo- ; rytmem Levinsona (2.160), (2.161) i (2.156).    'W

„ . $

Uwaga 2: Wartości współczynników Schura (2.304) są identyczne, jak wyliczone

z zależności (2.231) oraz (2.276), na mocy (2.115)

78

/n- I

(2.299).

(2.300)'

(2.302) *

(2.303f

Se

(2.304)

77

_Rekurencyj»e metody rożywam* p_ROR, _g„„ _PR0GN0ZV

Ortogonalna reprezentacja odpowiedzi impulsowej

Zgodnie z (2.299). (2.301) oraz (2.296). B_n 6 V₀ⁿ ale 1 V£~'. Zatem

K = V,"-' ©ipa«{[0fi_n_,]}    (2.305)

Stąd mamy ortogonalną dekompozycję

vf = ©teo^ljP^an{[0-- °«i]}    (2.306)

Tym samym, zbiór {[0.. -OZ?,-]}^¹ jest bazą ortonormalną podprzestrzeni Vf, otrzymaną w wyniku ortogonalizacji Grama-Schmidta bazy naturalnej {^e(t)}/^,=0 (względem macierzy wagowej. którą stanowi macierz kowariancyjna stacjonarnego sygnału losowego y). Zatem

p(vn=im)

i=0

Stąd i z (2.290) otrzymujemy

An = Z PW°(0) - V'(e(0).B,)_C B, = y=o    i=o

n— I

=

i=0

A więc

n- I

A_n = e(0) - A_n = [I 0 .0]-

1=0

oraz

l|An||^ = (A_niA_n)_r= 110(0)11^-2^

IB I

Zatem w przypadku, gdy |\A_n\\ę —> 0. przy n -> <». otrzymujemy

ll^e(0)|ll4/ = c(0) = Zrf

(2.307)

(2.308)

(2.309)

(2.310)

(2.311)

79