Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
1
1. ����Ł�
1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC

1.1. Wstęp
Podstawowym narzędziem służącym do rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń są wzory
transformacyjne. Pozwalają one określić wartości sił przywęzłowych na podstawie parametrów
geometrycznych pręta (sztywność EJ, długość l) oraz przemieszczeń węzłów pręta (liniowych i obrotowych).
Jeden ze sposobów wyznaczenia wzorów transformacyjnych polega na określeniu reakcji w podporach
belki jednoprzęsłowej. Będą one zależały od typu podpór. Zadanie sprowadza się do rozwiązania belek
statycznie niewyznaczalnych (rys. 1.1) metodą sił. Zakładamy wpływy zewnętrzne w postaci klasycznych
osiadań podpór (przemieszczenia liniowe prostopadłe do osi belki, przemieszczenia kątowe).
a) b) c)
EJ EJ EJ
l
EJ EJ
l l
Rys. 1.1. Schematy belek statycznie niewyznaczalnych
Przed przystąpieniem do obliczeń należy przyjąć umowę dotyczącą znaków poszczególnych wielkości.
Najwygodniejsza dla metody przemieszczeń będzie taka, która uprości obliczenia i wyeliminuje w jak
największym stopniu różnice znaków poszczególnych wyrazów w równaniach.
W związku z tym będziemy traktować jako dodatnie:
" momenty działające przy węzłach prętów zgodnie z ruchem wskazówek zegara (układ prawoskrętny)
(rys. 1.2),
" siły poprzeczne obracające odciętą część pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.2),
" kąty obrotu przekrojów węzłowych Ć zgodne z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.3),
" przemieszczenia " zgodne z kierunkiem i zwrotem przyjętego układu współrzędnych (rys. 1.3).
Wielkości ujemne będą miały zwroty przeciwne w stosunku do wymienionych. Ponadto tak jak
dotychczas wykresy momentów zginających będziemy odkładać po stronie włókien rozciąganych, czyli od
wypukłej strony osi odkształconej.
T>0
M>0 M>0
T<0
M>0 M<0
Rys. 1.2. Znakowanie momentów zginających i sił poprzecznych
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
2
k
i
x
"i>0
"k>0
i
Ćk>0
Ći>0
k
z
Rys. 1.3. Znakowanie kątów obrotu Ć i przemieszczeń pionowych " węzłów podporowych
Procedurę wyprowadzania wzorów transformacyjnych omówimy analizując różne przypadki podparcia
pręta.
1.2. Belka utwierdzona
Rozpatrzmy belkę obustronnie utwierdzoną o długości l i sztywności EJ (rys. 1.4), której podpory
doznają przemieszczeń Ć , Ć , " , " .
i k i k
Ći
Ćk
EJ
k
i
x
"i
"k
z
l
Rys. 1.4. Schemat belki obustronnie utwierdzonej poddanej przemieszczeniom podpór
Narysujmy stan po przemieszczeniu podpór i, k o zadane wartości (rys. 1.5). W rozważaniach
przemieszczenia podpór będą dowolne, lecz z uwagi na czynione uproszczenia przyjmujemy, że ich wartości
są niewielkie (małe w stosunku do wymiarów pręta).
k
i
x
"i
"k
�ik
Ći
z,w Ćk
Rys. 1.5. Stan po przemieszczeniu belki
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
3
Na rys. 1.5 symbol � oznacza obrót cięciwy wynikający z pionowych przemieszczeń podpór ":
ik
�ąk-�ąi �ąk �ąi
tg �ąik= = - (1.1)
l l l
ponieważ dla małych kątów tg � H" � , to możemy zapisać:
ik ik
�ąk �ąi �ąk-�ąi
�ąik= - = (1.2)
l l l
Aby rozwiązać zadanie metodą sił trzeba przyjąć układ podstawowy oraz odpowiadające mu warunki
przemieszczeniowe.
Ćk
Ći
X1 X2
X3
"i
"k
Rys. 1.6. Układ podstawowy
�ą1 =0
�ą2 =0
�ą3 =0
Ponieważ pomijamy w obliczeniach wpływ sił normalnych współczynniki � (siła X wywołuje tylko siłę
3i 3
normalną) będą równe zero, a układ równań kanonicznych ograniczy się do dwóch równań:
�ą11�"X �ą�ą12�"X �ą�ą1 �ą=0
1 2
(1.3)
�ą21�"X �ą�ą22�"X �ą�ą2 �ą=0
1 2
W celu obliczenia przemieszczeń z układu (1.3) narysujemy wykresy momentów w stanach X = 1 i X = 1.
1 2
k X2=1
i
X1=1
H = 0 H = 0 k
l l
i
1 1 1 1
Ri(1)= Rk(1)= Ri(2)= Rk(2)=
l l l l
M1[-]
M2[-]
1 1
Rys. 1.7. Reakcje i momenty zginające w stanach X = 1 i X = 1
1 2
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
4
Obliczamy współczynniki macierzy podatności metodą Wiereszczagina-Mohra:
1 1�"1 �"l�"2�"1 = l
�ą11= �"
śą źą
EJ 2 3 3 EJ
1 1�"1 �"l�"2�"1 = l
�ą22= �"
śą źą
EJ 2 3 3 EJ
1 1 1 l
�ą12=�ą21= �" �"1 �"l�" �"1 =-
śą źą
EJ 2 3 6 EJ
A wyrazy wolne " według wzoru:
i"
�ąi �ą=-�ąi-"
Rśąji źą�"�ą
j
(1.4)
j
gdzie:
�ąi - rzeczywiste, narzucone przemieszczenie zgodne z kierunkiem niewiadomej X ,
i
Rśąji źą - reakcja w podporze j, w stanie X = 1,
i
�ą - przemieszczenie narzucone po kierunki reakcji .
Rśąji źą
j
1�"�ą 1�"�ą
�ą1 �ą=-�ąi- �ą =-�ąi�ą�ąik
i k
l l
1�"�ą
�ą2 �ą=-�ąk-1�"�ąi�ą =-�ąk�ą�ąik
k
l l
Po podstawieniu otrzymanych wartości równanie kanoniczne (1.3) uzyskuje postać
l l
�"X - �"X �ąśą�ąik-�ąiźą=0
1 2
3 EJ 6 EJ
(1.5)
l l
- �"X �ą �"X �ąśą�ąik-�ąkźą=0
1 2
6 EJ 3 EJ
Rozwiązanie układu (1.5) prowadzi do wartości sił nadliczbowych:
2 EJ
X = �"śą2�ąi�ą�ąk-3�ąik źą
(1.6)
1
l
2 EJ
X = �"śą�ąi�ą2 �ąk-3�ąik źą (1.7)
2
l
W przyjętym układzie podstawowym siły nadliczbowe X oznaczają reakcje podporowe, a zarazem
i
równoważne im wewnętrzne siły przypodporowe (rys. 1.8). Można zapisać:
X =M
1 ik
X =M
2 ki
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
5
gdzie:
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju i,
ik
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju k.
ki
Mik Mki
Mi Mk
i k
Rys. 1.8. Momenty podporowe i przywęzłowe momenty zginające
Obliczmy jeszcze reakcje R i R .
i k
2 EJ 2 EJ
M =0 �! �"śą2�ąi�ą�ąk-3�ąik źą�ą �"śą�ąi�ą2 �ąk-3�ąik źą�ąRk�"l=0 (1.8)
"
i
l l
Rk=-6 EJ �"śą�ąi�ą�ąk-2�ąik źą
(1.9)
l2
Ri=-6 EJ �"śą�ąi�ą�ąk-2�ąik źą
(1.10)
l2
Ponieważ reakcje węzłowe są równoważne wewnętrznym siłom przywęzłowym (rys. 1.9)
Rk=T Ri=T
ki ik
to siła tnąca wynosi:
T =T =-6 EJ �"śą�ąi�ą�ąk-2�ąik źą
(1.11)
ik ki
l2
gdzie:
T , T
oznaczają przęsłowe, przywęzłowe siły poprzeczne.
ik ki
Tik Tki
i k
Ri Rk
Rys. 1.9. Reakcje podporowe i przywęzłowe siły poprzeczne
Gdy znamy już wartości wszystkich sił, to możemy narysować wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
6
X1= 2EJ (2Ći+Ćk-3�ik) X2= 2EJ (Ći+2Ćk-3�ik)
l l
k
i
l
Ri
Rk
Mk i
M[kNm]
Mik
T[kN]
Tik=Tki=- 6EJ (Ći+Ćk-2�ik)
-
l2
Rys. 1.10. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej, obciążonej
przemieszczeniami Ć , Ć , " , "
i k i k
Ostatecznie dla belki obustronnie utwierdzonej (rys. 1.4) otrzymaliśmy komplet wzorów
transformacyjnych:
2 EJ
M = �"śą2�ąi�ą�ąk-3�ąik źą
ik
l
(1.12)
2 EJ
M = �"śą�ąi�ą2 �ąk-3�ąik źą
ki
l
T =-6 EJ �"śą�ąi�ą�ąk-2�ąik źą
ik
l2
(1.13)
T =-6 EJ �"śą�ąi�ą�ąk-2�ąik źą
ki
l2
Należy przypomnieć, że wzory transformacyjne metody przemieszczeń zależą od warunków
brzegowych belki i przedstawiają relacje między przęsłowymi, przywęzłowymi siłami wewnętrznymi, a
uogólnionymi przemieszczeniami jej podpór.
1.3. Równanie osi odkształconej
Napiszemy równanie osi odkształconego, obustronnie utwierdzonego pręta (rys. 1.5) poddanego
wpływom osiadań podpór Ć , Ć , " , " (nie obciążonego siłami zewnętrznymi).
i k i k
Aby rozwiązać to zadanie korzystamy z równania różniczkowego linii ugięcia.
[ EJ w' ' śą xźą]' '=qśą xźą
Ponieważ nie ma obciążeń zewnętrznych śąqśą xźą=0źą
otrzymujemy równanie jednorodne
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
7
[ EJ w' ' śą xźą]' '=0
które następnie całkujemy
[ EJ w' ' śą xźą]'=c
EJ w' ' śą xźą=cx�ąd
2
EJ w' śą xźą=c�"x �ądx�ąe (1.14)
2
Ostatecznie funkcja osi odkształconej jest wielomianem trzeciego stopnia
3 2
EJ wśąxźą=c�"x �ąd�"x �ąex�ą f (1.15)
6 2
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, które dla belki przedstawionej na rys. 1.4 wyrazimy
przez wielkości kinematyczne (przemieszczenia):
wśąx=0źą=�ąi
w' śąx=0źą=�ąi
(1.16)
wśąx=l źą=�ąk
{
w' śąx=l źą=�ąk
Po podstawieniu warunków brzegowych (1.16) do równań (1.14) i (1.15) uzyskujemy układ równań:
EJ �ąi= f
EJ �ąi=e
3 2
EJ �ąk=cl �ądl �ąel�ą f
6 2
2
{
EJ �ąk=cl �ądl�ąe
2
Podstawienie dwóch pierwszych związków do dwóch ostatnich równań
3 2
EJ �ąk=cl �ądl �ąEJ �ąi�"l�ąEJ �ąi
6 2
2
{
EJ �ąk=cl �ąd�"l�ąEJ �ąi
2
po przekształceniach
cl2
d�"l=EJ �ąk- -EJ �ąi
2
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
8
EJ cl EJ
d = �ąk- - �ąi
l 2 l
2
cl3 EJ cl EJ
EJ �ąk= �ą �ąk- - �ąi �"l �ąEJ �ąi�"l�ąEJ �ąi
śą źą
6 l 2 l 2
cl3 - cl3 =EJ �ąk-EJ �ąi-EJ �ąi�"l- EJ EJ
�ąk�"l�ą �ąi�"l
6 4 2 2
prowadzi do wartości stałych c i d:
6 EJ
c= �"śą�ąi�ą�ąkźą�ą12 EJ �"śą�ąi-�ąkźą
l2 l3
EJ EJ l 6 EJ
d = �ąk- �ąi- �" �"śą�ąi�ą�ąkźą�ą12 EJ �"śą�ąi-�ąkźą
[ ]
l l 2
l2 l3
2 EJ 4 EJ
d =- �ąk- �ąi-6 EJ �"śą�ąi-�ąkźą
l l
l2
Równanie osi odkształconej pręta obustronnie utwierdzonego poddanego przemieszczeniu węzłów
podporowych wyraża się funkcją:
3 2
6 EJ 2 EJ 6 EJ
EJ wśą xźą= �"śą�ąi�ą�ąkźą�ą12 EJ �"śą�ąi-�ąkźą �"x �ą - śą�ąk�ą2�ąiźą- �"śą�ąi-�ąkźą �"x �ąEJ �ąi x�ąEJ �ąi
[ ] [ ]
6 l 2
l2 l3 l2
3 2
2�"śą�ą 3�"śą�ą
wśą xźą= śą�ąi�ą�ąkźą�ą -�ąkźą �"x2 �ą -śą�ąk�ą2�ąiźą- -�ąkźą �"x �ą�ąi�"x�ą�ąi
i i
[ ] [ ]
l l l
l
1.4. Belka utwierdzona jednostronnie
Rozpatrzmy belkę utwierdzoną z jednej strony (rys. 1.11), której podpory ulegają przemieszczeniom Ć ,
i
" , " . Poniższy przykład rozwiążemy dwoma metodami: metodą sił (analogicznie do punktu 1.2) oraz
i k
korzystając z gotowych wyników otrzymanych w punkcie 1.2 (przyjmując odpowiednie warunki brzegowe).
Ći
k
i
"i
l
"k
Rys. 1.11. Schemat belki jednostronnie utwierdzonej
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
9
Metoda I  metoda sił
Zgodnie z zasadami metody sił przyjmujemy układ podstawowy
Ći
X1
k
i
"i
l
"k
Rys. 1.12. Układ podstawowy
w którym przemieszczenie po kierunku zwolnionego więzu musi być równe zero (� = 0). Wynikające z tego
1
warunku równanie kanonicznych będzie miało następującą postać:
�ą11�"X �ą�ą1 �ą=0
(1.17)
1
Aby obliczyć współczynniki równania narysujemy wykresy momentów w stanie X = 1 (analogicznie jak na
1
rys. 1.7).
X1=1
k
H = 0
1
1
i
l
l
l
M1[-]
1
Rys. 1.13. Reakcje i momenty zginające w stanie X = 1
1
i wyznaczamy wartości przemieszczeń:
1 1�"1 �"l�"2�"1 = l
�ą11= �"
śą źą
EJ 2 3 3 EJ
1�"�ą 1�"�ą
�ą1 �ą=-�ąi- �ą =-�ąi�ą�ąik
i k
l l
Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania kanonicznego (1.17)
l
�"X �ąśą�ąik-�ąiźą=0
1
3 EJ
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
10
uzyskujemy wartość nadliczbowej siły
3 EJ
X = �"śą�ąi-�ąik źą (1.18)
1
l
Niewiadoma X jest reakcją podporową, której wartość odpowiada wewnętrznej sile przywęzłowej
1
X =M
1 ik
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju i. Natomiast przęsłowy, przywęzłowy
ik
moment zginający w przekroju k jest równy zero (przegub).
M =0
ki
Obliczmy wartości reakcji R i R .
i k
3 EJ
M =0 �! �"śą�ąi-�ąik źą�ąRi�"l=0
"
k
l
Ri=-3 EJ �"śą�ąi-�ąik źą
(1.19)
l2
Rk=-3 EJ �"śą�ąi-�ąik źą
(1.20)
l2
które pokrywają się z wartościami sił tnących (przęsłowych, przywęzłowych)
T =T =-3 EJ �"śą�ąi-�ąik źą
(1.21)
ik ki
l2
Znając wartość nadliczbowej X możemy narysować wykres rzeczywistych sił wewnętrznych.
1
3EJ
X1= (Ćik-�ik)
l
k
H=0
i
Ri
RK
l
M[kNm]
Mik
T[kN]
- Tik=Tki=- 3EJ (Ći-�ik)
l2
Rys. 1.14. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki utwierdzonej z jednej strony,
obciążonej przemieszczeniami Ć , " , "
i i k
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
11
Metoda II
W tej metodzie wzory (1.12), (1.13) potraktujemy jako uniwersalne i po podstawieniu odpowiednich
warunków brzegowych wyprowadzimy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.
Wiemy, że dla belki (rys. 1.11) utwierdzonej z lewej strony i podpartej prętem ze strony prawej moment
przęsłowy, przywęzłowy M = 0, a zatem na podstawie równania (1.12) możemy zapisać:
ki
2 EJ
M = �"śą�ąi�ą2 �ąk-3�ąik źą=0 (1.22)
ki
l
Z równania tego wyznaczamy funkcję kąta obrotu Ć
k
�ąi�ą2 �ąk-3�ąik=0
3�ąik-�ąi
�ąk= (1.23)
2
Po podstawieniu funkcji Ć do równań (1.12), (1.13) otrzymujemy komplet wzorów transformacyjnych dla
k
belki jednostronnie utwierdzonej (utwierdzenie z lewej strony):
3�ąik-�ąi
2 EJ 3 EJ
M = �" 2�ąi�ą -3�ąik = �"śą�ąi-�ąik źą (1.24)
ik
śą źą
l 2 l
M =0
(1.25)
ki
3�ąik-�ąi
T =T =-6 EJ �" �ąi�ą -2 �ąik =-3 EJ �"śą�ąi-�ąik źą (1.26)
ki ik
śą źą
2
l2 l2
Dla belki o podobnych podporach (rys.1.15) jednak ułożonych przeciwnie, czyli będącej lustrzanym
odbiciem układu z rys. 1.11 można zapisać gotowe wzory transformacyjne.
Ćk
k
i
"i
l
"k
Rys. 1.15. Schemat belki utwierdzonej z prawej strony
M =0
(1.27)
ik
3 EJ
M = �"śą�ąk-�ąik źą (1.28)
ki
l
T =T =-3 EJ �" �ąk-�ąik
śą źą (1.29)
ki ik
l2
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
12
1.5. Belka obustronnie utwierdzona z przesuwem
Rozpatrzmy belkę o schemacie przedstawionym na rys. 1.16, której podpory doznają przemieszczeń Ć ,
i
Ć . Przemieszczenie pionowe podpory i o " spowoduje ruch całej belki i nie wywoła sił wewnętrznych, dlatego
k i
ten wpływ pomijamy. Poniższy przykład taj jak poprzednio rozwiążemy dwoma metodami.
Ći
Ćk
k
i
l
Rys. 1.16. Schemat belki utwierdzonej z przesuwem
Metoda I  metoda sił
Przyjmujemy układ podstawowy.
Ćk
Ći
X1
k
i
X2
l
Rys. 1.17. Układ podstawowy
i zapisujemy równanie kanoniczne (nie uwzględniamy sił normalnych):
�ą1 =�ą11�"X �ą�ą1 �ą=0
(1.30)
1
Aby obliczyć współczynniki równania rysujemy wykres momentów w stanie X = 1.
1
i
H = 0
X1=1
Mi=1
k
Ri=0
l
M1[-]
1
Rys. 1.18. Reakcje i momenty zginające w stanie X = 1
1
Obliczamy współczynniki równania kanonicznego.
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
13
1 l
�ą11= �"śą1 �"l�"1źą=
EJ EJ
�ą1 �ą=-�ąk�ą�ąi
Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania (1.30)
l
�"X �ąśą�ąi-�ąkźą=0 (1.31)
1
EJ
Otrzymujemy wartości nadliczbowej siły:
EJ
X = �"śą-�ąi�ą�ąkźą (1.32)
1
l
Reakcja w podporze odpowiada momentowi zginającemu w przekroju podporowym:
EJ
M = X = �"śą-�ąi�ą�ąkźą
ki 1
l
M
to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju k. Natomiast przęsłowy, przywęzłowy
ki
moment zginający w przekroju i wynosi.
EJ
M =-X = �"śą�ąi-�ąkźą
ik i
l
Siła tnąca przy braku obciążeń zewnętrznych jest równa reakcji
T =T =Ri=0
(1.33)
ik ki
Na koniec rysujemy wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.
i
EJ
X1= (-Ći+Ćk)
l
k
Mi= EJ (-Ći+Ćk)
l
l
M[kNm]
EJ EJ
Mi k= (Ći-Ćk) Mk i= (-Ći+Ćk)
l l
T[kN]
0
Rys. 1.19. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej,
obciążonej przemieszczeniami Ć , Ć
i k
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
14
Metoda II
Wykorzystujemy wzory (1.12), (1.13) (traktujemy je jako uniwersalne) i podstawiamy odpowiednie
warunki brzegowe. W ten sposób otrzymujemy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.
Wiemy, że dla belki przedstawionej na rys. 1.16 siły tnące T = T = 0, a zatem na podstawie
ki ik
równania (1.13) możemy zapisać:
T =-6 EJ �"śą�ąi�ą�ąk-2�ąik źą=0
(1.34)
ik
l2
Z równania (1.34) wyliczamy �
ik
�ąi�ą�ąk-2�ąik=0
(1.35)
�ąi�ą�ąk
�ąik= (1.36)
2
Jeśli podstawimy � do równań (1.12), to otrzymamy komplet wzorów transformacyjnych:
ik
�ąi�ą�ąk EJ
2 EJ
M = �" 2�ąi�ą�ąk-3 �" = �" �ąi-�ąk (1.37)
śą źą
ik
śą źą
l 2 l
3 �"�ąi�ą�ąk EJ
2 EJ
M = �" �ąi�ą2 �ąk- = �" -�ąi�ą�ąk (1.38)
śą źą
ki
śą źą
l 2 l
T =T =0
(1.39)
ik ki
Dla belki o schemacie podanym na rys. 1.20 (lustrzane odbicie do rys. 1.16) wzory transformacyjne są takie
same jak w powyższym przykładzie.
Ći
Ćk
k
i
l
X1= EJ (Ći-Ćk)
l
k
EJ
Mk= (Ći-Ćk)
i
l
M[kNm]
EJ
Mk i= (Ćk-Ći)
Mi k= EJ (Ći-Ćk)
l
l
T[kN]
0
Rys. 1.20. Schemat belki
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
15
Wyniki rozważań zestawiono w tabeli 1.1. Podano wartości przywęzłowych sił wewnętrznych w
zależności od sposobu podparcia belki wywołane jednostkowymi przemieszczeniami węzłów podporowych.
Natomiast w tabeli 1.2 zestawiono wykresy sił wewnętrznych (przywęzłowych) dla trzech schematów belek od
obciążeń zewnętrznych (przęsłowych).
Uwaga: w tabelach narysowane są wykresy momentów zginających  po inżyniersku , tzn. wykres po stronie
włókien rozciąganych. Natomiast ich wartości podano zgodnie z zasadami metody przemieszczeń, tzn.
momenty dodatnie działają zgodnie z ruchem wskazówek zegara (prawoskrętnie).
Tabela 1.1. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od jednostkowych przemieszczeń podporowych
Schemat belki M T
Ći=1
2EJ
EJ
4EJ l
k
i 6EJ 6EJ
- -
l
l l
l
Ćk=1
EJ
4EJ
k
i 6EJ 6EJ
l
2EJ
- -
l l
l
l
EJ
6EJ
k
i
"i=1 l2 -12EJ
6EJ -12EJ
l3
l3
l l2
EJ
k
6EJ
i
-
12EJ 12EJ
l2
"k=1 6EJ l3
l3
-
l
l2
Ći=1
EJ
3EJ 3EJ
k
3EJ
i
l2 l2
l
l
EJ
i
3EJ 3EJ
"i=1
3EJ
l3
l3
l2
l
EJ
k
i
-3EJ
3EJ 3EJ
- -
l2
"k=1
l3
l3
l
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
16
Schemat belki M T
Ći=1
EJ
EJ EJ
0
-
i k
l
l
l
Ćk=1
EJ EJ
-
EJ
0
l
l
i k
l
Tabela 1.2. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od przęsłowych obciążeń
Schemat belki M T
P
-Pl Pl
P
+
8
8
2
l l
P
Pl
-
2 2
2
8
q
ql2
ql2 ql +
-
2
- ql
12
12
l
2
M
M
-
- 3M - 3M
M
4
2l 2l
l l
4
2 2
P
-3Pl
11P
+
16
0 16
5P
l l
-
16
2 2
q
5ql
ql2
-
+
8
8
0
3ql
-
l
8
M
7M
16
0
9M 9M
M
- -
-
9M
8l 8l
8
l l
16
2 2
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEC
17
Schemat belki M T
P
-3Pl
8
P +
l
l -Pl
2
2 8
q
ql2
-
ql
3
2
+
- ql
l
6
M
M
2
0
M
l l
2
2 2
l
2 2
Pl�'�
-Pl��'
x
2
-P� (3-2�)
P
+
x l-x
2
-
�= �'= P�' (1+�-2� )
l l
l
x
M
M�' (2-3�' )
6M��'
6M��'
-
x l-x
l
l
�= �'= M�(2-3�)
l l
Dobra D., Dziakiewicz A
., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater