wykl10


8. METODA ELEMENTÓW SKOCCZONYCH
1
Ł
8. METODA ELEMENTÓW SKOCCZONYCH
Metoda elementów skończonych (MES) jest metodą przybliżoną rozwiązywania równań
różniczkowych. W porównaniu z innymi metodami numerycznymi jest ona tym bardziej skuteczna, gdy
obszar analizy ma złożony kształt lub gdy składa się z materiałów o różnych własnościach.
W MES obszar analizy dzieli się na wiele podobszarów o prostym kształcie (np. trójkątnym)
zwanych elementami skończonymi. Funkcje aproksymuje się lokalnie w każdym elemencie skończonym za
pomocą funkcji ciągłych określonych jednoznaczne przez ich wartości w pewnych punktach zwanych
węzłami, leżących wewnątrz elementu lub na jego brzegu.
Dla elementu liniowego zakładamy (Rys.8.1), że funkcja interpolująca wielkości wewnątrz elementu jest
liniowa, np.:
1
Ći
1
Ćj
xi xj
e
L
Rys.8.1 Interpretacja graficzna funkcji aproksymującej
j
x x
ć1-
e e
(8.1)
j( x) = j + j
e i j
L L
Ł ł
je( x) = N1(x)je + N2 (x)je
i j

jei
je = [N1 N2 ] e ż
(8.2)
j j
T
je = N je
i
gdzie:
N
 macierz funkcji kształtu N1, N2
e  indeks elementu skończonego
i,j  numery węzłów
- wartośc funkcji w węzle i
je i
Metody Komputerowe  Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
8. METODA ELEMENTÓW SKOCCZONYCH
2
Ł
Rozwiążemy ponownie nasze równanie różniczkowe metodą Galerkina, przyjmując teraz obszar całkowania
jako obszar jednego elementu e:
2
d f
(8.3)
+ l2f = 0
dx2
Ni (x) R(x)dx = 0
i=1,2.... (8.4)

x
j
2
ć
d j
e

Ni (x) + l2je dx = 0 (8.5)


dx2
xi Ł ł
x
2
j
ć
d N (x)
Ni (x) j je + l2 N (x)je dx = 0 (8.6)
j j
j


dx2
xi
Ł ł
x x
2
j j
d N (x)
j
Ni(x) je dx + l2 i(x) N (x)je dx = 0
j j (8.7)
j
N
dx2
xi xi
Całkujemy przez części pierwszy człon wyrażenia, aby obniżyć rząd całkowania:
(8.8)
Przypomnijmy, że:
x
N1(x) = 1-
L
(8.9)
x
N2(x) =
L
Rozpatrujemy człon I wzoru (8.8)
Metody Komputerowe  Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
8. METODA ELEMENTÓW SKOCCZONYCH
3
Ł
1
- ł
L L
dN (x)
dNi (x) ę ś
1 1
j łdx
L
- dx = -
ę śę- L L ś =

1
dx dx

0 0
ę ś
L
(8.10)
1 1
ł
-
ę ś 1 -1ł
1
= -Lę L2 L2 ś = -
ę-1 1 ś
1 1
L

ę ś
-
L2 L2

Rozpatrujemy człon III wzoru (8.8)
L L L
N1
ł
l2 Ni (x) N dx = l2 Ni (x) N (x)dx = l2 ę ś[N1 N ]dx =
j j 2
N
2
0 0 0
2
ł
x x x x2
x
1- ł
L L 2 + -
ę1- ś
ę ś
x x
= l2 ę L śę1- łdx = l2 ę L 2L2 L L2 śdx =
ę x ś L Lś
x x x2 ś

ę
0 0
- (8.11)
L ę
L
L2 L2 ś

L
2
ł
2x2 x3 x x3 L L
ł
-
ęx - + ś
ę ś 2 1
1 ł
3
= l2 ę 2L 3L2 2L 3L2 ś = l2 ęL 6 ś = l2 L
ę1 2ś
x2 x3 x3 ś ę L ś
6

ę
-
ę
2L
3L2 3L2 ś0 6 3

Macierz charakterystyczna elementu ma zatem postać:
1 -1 2 1
ł ł
1 1
k = - + l2 L
(8.12)
ę-1 1 ś ę1 2ś
L 6

Rozpatrujemy człon II wzoru (.8)
L
dfe
ł df df
= Ni (L) - Ni (0) (8.13)
L 0
ęNi (x) dx ś
dx dx

0
Ponieważ:
N1 (L) = 0 N (L) = 1
2
(8.14)
N1 (0) = 1 N (0) = 0
2
otrzymujemy:
Metody Komputerowe  Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
8. METODA ELEMENTÓW SKOCCZONYCH
4
Ł
df df df
ł - ł
N1(L) - N1(0)
L 0 0
ę ś ę ś
dx dx dx
f = =
(8.15)
ę ś ę ś
df df df
ę ś ę ś
N2 (L) - N2 (0)
L 0 L
dx dx dx

Otrzymujemy w końcu równanie macierzowe w postaci:
K je = f
(8.16)
lub
df
ł
0
ć 1 -1 2 1 ł ś
1 ł 1 ł je ę
1
dx

- l2 Le (8.17)
ę ś ę
ś ę1 2ś = df ś
e

Le ę-1 1 6

Ł ł j 2
ę- ś
L
dx
Ćj
Ći
xj
x
i
L
Rys. 8.2 Pojedynczy element opisany liniową funkcją aproksymującą
Agregacja macierzy charakterystycznej K polega na sumowaniu wartości odpowiednich elementów
macierzy K jak we wzorze (8.18), w celu uwzględnienia udziału wszystkich elementów.
ij
Podzielmy nasz obszar <1,3> na trzy elementy (Rys 8.3).
Ć1 Ć2 Ć3 Ć4
Rys. 8.3 Podział na trzy elementy
Oznaczmy przez  + elementy macierzy k (dla elementu 1).
1
Oznaczmy przez  - elementy macierzy k (dla elementu 2).
2

Oznaczmy przez   elementy macierzy k (dla elementu 3).
3
Agregację macierzy K możemy przedstawić graficznie jako:
Metody Komputerowe  Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa
8. METODA ELEMENTÓW SKOCCZONYCH
5
Ł
j1 j2 j3 j4
df
ł
j1 + + 0 0ł j1 ę
ł
1
ś
ę+ dx
j2 ę ą - 0ś ęj2 ś ę 0 ś
ś
ę ś
= ę ś
(8.18)
- ś ę ś
j3 ę0 j3 ę 0 ś
ę ś
ęj ś
j4 ę0 0 ś 4 ę - df 4 ś
ę ś
dx
Przy rozwiązywaniu otrzymanego układu równań należy pamiętać o wprowadzeniu warunków brzegowych.
Zabieg ten polega na zmodyfikowaniu pierwszego i ostatniego równania układu równań. Trzeba wprowadzić
wartości podane na brzegach w kolumnie niewiadomych, a jako niewiadome podstawić pochodne. Wiąże się
to z wstawieniem wartości  1 w odpowiednich równaniach na przeklętej macierzy.
Funkcje kształtu mogą być również wyższego rzędu. Poniżej pokazano element z trzema węzłąmi o
kwadratowej funkcji kształtu.
1
N1 = (-1+ x )x
2
1
N2 = (2 - 2x2 )x
2
1
N3 = (1+x)x
2
Rys 8.4 Kwadratowe funkcje kształtu
Do opisania tych funkcji kształtu, będących parabolami, wprowadziliśmy zmienną bezwymiarową  :
-1Ł x Ł1
Po wprowadzeniu nowej zmiennej nasze liniowe funkcje kształtu miałyby postać:
1
N1 = (1-x)
2
(8.19)
1
N2 = (1+ x)
2
Metody Komputerowe  Dominika Mejbaum, Anna Snela, Marek Komosa


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WYKL10 SEM1
Podstawy metr wykł10
WYKŁ10 Fale w Ośr Sprężyst

więcej podobnych podstron