Przykład:
3�60&!
3�10&! 3�240&!
A
B
C
220V/380V
3�100&!
Obliczyć prądy w obwodzie.
Wszystkie odbiorniki połączone w trójkąt zamieniamy na równoważne
układy połączone w gwiazdę. W przypadku symetrii mamy:
ZY
Z"
Z" �" Z" 1
ZY
ZĄ = = Z"
Z"
Z" + Z" + Z" 3
Z"
ZY
3�60&!
3�10&!
EA
3�80&!
A
EB
B
V V
EC
C
3�220V
3�100&!
V
Do obliczenia prądów np. w fazie A zastosujemy schemat jednofazowy:
220ej0� 60&!
10&! 80&!
IA1
IA IA2
100&!
Rozwiązujemy np. metodą podobieństwa:
60&!
10&! 80&!
0.4+j0.8
4+j8
j60
80
-0.6+j0.8
1ej0�=1+j0
100&!
84+j68
80+j60
o
80 + j60
'
IA1 = = -0.6 + j0.8 = 1ej126.9
- j100
o
'
IA = 1 - 0.6 + j0.8 = 0.4 + j0.8 = 0.894ej63.4
o
'
EA = 84 + j68 = 108.1ej39
Współczynnik podobieństwa:
o
o
EA 220ej0
k = = = 2.04e-j39
o
'
EA 108.1ej39
Po przeskalowaniu mamy:
60&!
10&! 80&!
1.82ej24.4�
2.04ej87.9�
2.04e-j39�
220ej0�
100&!
W pełnym trójfazowym obwodzie otrzymamy (w odpowiadających sobie
gałęziach moduły te same, kąty fazowe zmienione o ą120�):
3�60&!
3�10&! 3�240&!
A
1.82ej24.4� 2.04e-j39�
2.04ej87.9�
Iab=?
B
1.82e-j95.6� 2.04e-j159�
2.04e-j32.1�
Ica=?
Ibc=?
C
1.82ej144.4� 2.04ej81�
220V/380V
3�100&!
2.04e-j152.1�
Trzeba jeszcze obliczyć prądy w gałęziach trójkąta !
Obliczmy najpierw napięcie Uab w układzie przekształconym:
80&!
IA2 IA2
2.04e-j39�
Uab 240&!
Uab 80&!
IB2 IB2
Iab
240&!
2.04e-j159�
240&!
Ica
80&!
IC2 IC2 Ibc
o o o o
Uab
Uab = 2.04e-j39 �" 80 - 2.04e-j159 �" 80 = 282.7e-j9 Iab = = 1.18e-j9
stąd:
240
Można łatwo wykazać, że prądy dopływające do węzłów trójkąta (np. IA2)
muszą być co do modułu "3-razy większe od prądów płynących w
gałęziach trójkąta (np. Iab). Pozostałe prądy wynoszą:
o
o o o
IA2 2.04e-j39
Ibc = �" e-j90 = �" e-j90 = 1.18e-j129 A
3 3
o
o o o
IA2 2.04e-j39
Ica = �" ej150 = �" ej150 = 1.18ej111 A
3 3
Moc w obwodach trójfazowych symetrycznych
Całkowita moc obwodu jest sumą
EA Z
IA
A
mocy w poszczególnych fazach
EA
układu, tzn. PŁ=PA+PB+PC, przy
EB
Z
IB
czym moc w jednej fazie (np. A)
V
B
V
wynosi:
EB
EC Z
IC PA = EA �" IA �" cos( "(EA , IA))
C
EC
Ponieważ w każdej fazie wartości skuteczne prądu i napięcia są identyczne,
również kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem jest taki
sam  jest to kąt fazowy � impedancji Z odbiornika (dla Z=Zej�), stąd moc
w każdej fazie odbiornika będzie identyczna:
Pf = Uf �" I �" cos� PŁ = 3 �" Pf = 3 �" Uf �" I �" cos�
oraz:
gdzie: Uf  wartość skuteczna napięcia fazowego, I  wartość skuteczna
prądu fazowego.
U
PŁ = 3 �" U �" I �" cos�
Ponieważ: stąd:
Uf =
3
gdzie U jest napięciem przewodowym.
Podobną analizę można przeprowadzić dla całkowitej mocy biernej i
pozornej układu, otrzymując wzory:
QŁ = 3 �" U �" I �" sin� SŁ = 3 �" U �" I
Pomiar mocy w układach trójfazowych symetrycznych:
W przypadku sieci czteroprzewodowej
IA
A
(z wyprowadzonym przewodem zero-
W
wym) do pomiaru mocy całkowitej
Odb.
wystarczy 1 watomierz  podłączony
B
jak na rysunku mierzy moc czynną w
3-faz.
jednej fazie odbiornika; aby uzyskać
UAf
symetr.
C
moc całkowitą należy jego wskazanie
pomnożyć przez 3, czyli:
PŁ = 3PW
0
Uwaga! gdyby odbiornik nie był symetryczny, należałoby zmierzyć
niezależnie moc w każdej fazie i zsumować wyniki (3 watomierze).
W przypadku sieci trójprzewodowej
IA
A (bez wyprowadzonego przewodu zero-
W
wego) do pomiaru mocy całkowitej
także wystarczy 1 watomierz  punkt o
Odb.
B
zerowym potencjale możemy utworzyć
3-faz.
sami, łącząc w gwiazdę 3 identyczne
UAf
symetr.
impedancje Z (najczęściej rezystory);
C
watomierz podłączony jak na rysunku
mierzy moc czynną w jednej fazie
3�Z
odbiornika; moc całkowita:
V=0
PŁ = 3PW
Uwaga! gdyby odbiornik nie był symetryczny, nie można zastosować tej
metody, nawet używając 3 niezależnych watomierzy, gdyż potencjał
punktu środkowego w gwiazdowym układzie odbiornika nie jest zerowy 
watomierze nie mierzyłyby mocy w poszczególnych fazach.
ZA
ZB V`"0
ZC
Pomiar mocy dwoma watomierzami  układ Arona:
Moc chwilową p w układzie 3-fazowym
IA
A możemy wyrazić wzorem:
W1
p = uAf �" iA + uBf �" iB + uCf �" iC
UAC
Odb.
IB
B
gdzie uAf, uBf, uCf są wartościami chwi-
W2
3-faz.
lowymi fazowych napięć zasilania, zaś
iA, iB, iC - wartościami chwilowymi
UBC
C
prądów. Ponieważ w układzie
trójprzewodowym mamy:
iA + iB + iC = 0 iC = -iA - iB
więc: a zatem:
p = uAf �" iA + uBf �" iB - uCf �" iA - uCf �" iB = (uAf - uCf )�" iA + (uBf - uCf )�" iB
p = uAC �" iA + uBC �" iB
stąd:
Watomierze podłączone wg tej zależności dokonują uśrednienia wartości
chwilowej za okres; suma ich wskazań daje całkowitą moc czynną układu
PŁ = PW1 + PW2
(wskazanie pojedynczego watomierza nie reprezen-
tuje żadnej realnej wielkości fizycznej). Układ działa zarówno w układach
symetrycznych, jak i niesymetrycznych.
3 � Z
Przełącznik gwiazda - trójkąt
Załóżmy, że odbiornik złożony z trzech
impedancji Z=Zej� połączony jest w
gwiazdę. Wówczas na każdej gałęzi
odbiornika mamy napięcie fazowe, zatem:
U U U U2
PĄ = 3 �" �" I �" cos� = 3 �" �" �"cos� = cos�
3 3 3 �" Z Z
Jeżeli te same trzy impedancje połączymy
w trójkąt, to na każdej gałęzi odbiornika
mamy napięcie przewodowe, a więc:
Z=Zej� =Zcos�+jZsin�=R+jX
U U2
P" = 3 �" U �" IZ �"cos� = 3�" U �" �"cos� = 3 cos�
Z Z
Przełączenie faz odbiornika z połączenia w gwiazdę na połączenie w
trójkąt powoduje 3-krotny wzrost mocy tego odbiornika:
P" = 3�" PĄ
Przełączenie to zwiększa również 3-krotnie prąd pobierany ze z
ródła
U U
zasilania:
Y : I = " : I = 3 �"
3 �" Z Z
W klasycznych układach zasilania przełączniki te stosowano do rozruchu
indukcyjnych silników trójfazowych.
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
R R
t=0
E L E L
iL iL
E
iL(t < 0) = 0
iL(0 d" t < ") = ???
iL(t ") =
R
Stan przejściowy (nieustalony) w obwodzie występuje przy wszystkich
operacjach zmiany struktury połączeń elementów (komutacjach
łączników) oraz zmianach sygnałów sterujących elementami
przełączalnymi obwodu (np. tranzystorami lub tyrystorami). Analiza stanu
nieustalonego zmierza do wyznaczenia przebiegów czasowych prądów i
napięć w obwodzie w czasie przejścia między stanem ustalonym
początkowym (przed komutacją) a stanem ustalonym końcowym
(teoretycznie: nieskończenie długo po komutacji).
W obwodzie przedstawionym powyżej łatwo podać wartości prądów w
stanach ustalonych przy otwartym i przy zamkniętym łączniku.
Rozważmy, czy przejście od stanu bezprądowego  przy otwartym
łączniku, do stałej wartości prądu iL=E/R - jaki będzie płynął w stanie
ustalonym przy łączniku zamkniętym, może nastąpić natychmiast, tzn. w
nieskończenie krótkim czasie. Energia WL zgromadzona w cewce o
indukcyjności L, przez którą w danej chwili t0 płynie prąd o natężeniu
iL(t0) wynosi:
1
WL = L[iL(t0)]2
2
W stanie bezprądowym dla t<0, a w szczególności dla t=0- energia ta jest
równa zero:
WLwyl = 0
,
natomiast w stanie ustalonym przy zamkniętym łączniku mamy:
2
1 E
WLzal = L�# ś# `" 0
ś# ź#
2 R
�# #
Gdybyśmy przyjęli, że wzrost prądu odbywał się przez czas bliski zera, to:
2
1 E
L�# ś#
ś# ź#
dWL "WL
2 R
�# #
p = = = "
lim
dt "t 0
"t0
Oznacza to, że z
ródło musiałoby dostarczyć nieskończenie wielkiej mocy
chwilowej, co nie jest w praktyce możliwe. Poza tym, napięcie na
indukcyjności wynosi:
diL
uL = L
dt
a zatem przy skokowej zmianie prądu napięcie na indukcyjności osiągnąć
musi (w impulsie) wartość nieskończenie wielką, co również nie jest
możliwe przy realnych elementach obwodu. Stąd wniosek, że obecność
indukcyjności nie pozwala na skokową (tzn. nieskończenie krótko
trwającą) zmianę prądu.
Analogiczne rozważania możemy przeprowadzić dla obwodu zawierają-
cego element pojemnościowy:
R R
t=0
C
uC
E E C
uC
uC(t < 0) = 0 uC(t ") = E
uC(0 d" t < ") = ???
przy założeniu, że kondensator nie był uprzednio naładowany.
Rozważmy, czy przejście od stanu beznapięciowego  przy otwartym
łączniku, do stałej wartości napięcia uC=E - jakie będzie na pojemności w
stanie ustalonym przy łączniku zamkniętym, może nastąpić natychmiast,
tzn. w nieskończenie krótkim czasie. Energia WC zgromadzona w konden-
satorze o pojemności C, na której w danej chwili t0 występuje napięcie
uC(t0) wynosi:
1
[
WC = C uC(t0)]2
2
W stanie beznapięciowym dla t<0, a w szczególności dla t=0- energia ta jest
równa zero:
WCwyl = 0
,
natomiast w stanie ustalonym przy zamkniętym łączniku mamy:
1
WCzal = CE2 `" 0
2
Gdybyśmy przyjęli, że wzrost napięcia trwał przez czas bliski zera, to:
1
dWC "WC 2 CE2
p = = = "
lim
dt "t 0
"t0
Oznacza to, że z
ródło musiałoby dostarczyć nieskończenie wielkiej mocy
chwilowej, co nie jest w praktyce możliwe. Poza tym, prąd elementu
pojemnościowego wynosi:
duC
iC = C
dt
a zatem przy skokowej zmianie napięcia na pojemności prąd osiągnąć musi
(w impulsie) wartość nieskończenie wielką, co również nie jest możliwe
przy realnych elementach obwodu. Stąd wniosek, że obecność pojemności
nie pozwala na skokową (tzn. nieskończenie krótko trwającą) zmianę
napięcia.
Reasumując  dla elementu indukcyjnego w obwodzie musi być spełniony
warunek ciągłości prądu, tzn. dla dowolnej chwili t mamy:
iL(t-)= iL(t+)
(równość prądu w granicy lewo- i prawostronnej). Jeżeli jednak indukcyj-
ność zmienia się skokowo, zachodzi bardziej ogólny warunek ciągłości
strumienia skojarzonego z cewką (cewkami):
�L(t-)= �L(t+)
przy czym: �L = L�"iL zatem przy stałej indukcyjności warunek ciągłości
strumienia sprowadza się do warunku ciągłości prądu.
Dla elementu pojemnościowego w obwodzie musi być spełniony warunek
ciągłości napięcia, tzn. dla dowolnej chwili t mamy:
uC(t-)= uC(t+)
(równość napięcia w granicy lewo- i prawostronnej). Jeżeli jednak pojem-
ność zmienia się skokowo, zachodzi bardziej ogólny warunek ciągłości
ładunku zgromadzonego w kondensatorze (-ach):
QC(t-)= QC(t+)
QC = C�"uC
przy czym: , zatem przy stałej pojemności warunek ciągłości
ładunku sprowadza się do warunku ciągłości napięcia.
Rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym oparte jest na równaniach,
wynikających z I-go i II-go prawa Kirchhoffa, przy czym dla elementów R,
L i C mamy dodatkowe zależności, wiążące prąd i napięcie na tych
elementach dla dowolnych przebiegów tych wielkości:
uR
-dla rezystancji R:
uR = R �"iR
iR
R
uL
diL
-dla indukcyjności L:
uL = L
dt
iL
L
uC
duC
iC = C
-dla pojemności C:
dt
iC
C
Ze względu na występowanie pochodnych w równaniach wiążących prąd i
napięcie w elementach L i C, równania Kirchhoffa stają się równaniami
różniczkowymi. Rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym sprowadza się
 w sensie matematycznym  do rozwiązania równania różniczkowego lub
układu równań różniczkowych.
Rozwiążmy przedstawiony na początku obwód RLE:
Dla t e" 0 równanie napięciowe ma postać:
R
t=0
di
E L
L + Ri = E
i
dt
Dzieląc obustronnie równanie przez R otrzymamy:
L di E
�" + i =
R dt R
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości prądu w elemencie indukcyjnym,
stosując go tu dla chwili t=0: -)= i(0+)= 0 - prąd nie płynął przed zamk-
i(0
nięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla prądu i(t). Nale-
żyrozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Rozwiązanie równania jest sumą dwóch składowych:
- składowa swobodna zwana też składową przejściową (w matematyce:
całka ogólna równania jednorodnego), niezależna od funkcji wymuszenia
po prawej stronie równania tzn. niezależna od przebiegu napięcia
zasilającego obwód,
- składowa wymuszona zwana też składową ustaloną (w matematyce: całka
szczególna równania niejednorodnego), zależna od funkcji wymuszenia po
prawej stronie równania tzn. wynikająca z przebiegu napięcia zasilającego
obwód; należy podkreślić, że składowa wymuszona jest rozwiązaniem
obwodu w stanie ustalonym.
Składową swobodną wyznaczamy poprzez rozwiązanie równania charakte-
rystycznego:
L 1 1
�"r +1 = 0 �! r = - = -
L
R T
R
Dla równań różniczkowych zwyczajnych 1-go rzędu zmiennej i, dla
których pierwiastkiem równania charakterystycznego jest wartość r,
składowa swobodna rozwiązania ma zawsze postać:
is = A�"ert
gdzie A jest stałą całkowania.
W naszym obwodzie mamy zatem:
t
-
t L
-
T R
is = A�"e = A �"e
Składową wymuszoną możemy wyznaczyć dwoma sposobami. Podchodząc
do problemu  czysto matematycznie możemy stwierdzić, że charakter
składowej wymuszonej musi być zgodny z charakterem funkcji wymu-
szenia. Ponieważ wymuszenie jest funkcją stałą (niezależną od czasu),
przewidujemy postać składowej wymuszonej również jako funkcję stałą:
iw = B
Składowa wymuszona musi samodzielnie spełniać równanie, więc podsta-
wiając jej ogólną postać do równania wyznaczamy stałą B:
L diw E L E E
�" + iw = �! �"0 + B = �! B =
R dt R R R R
a zatem:
E
iw =
R
Ten sam wynik uzyskaliśmy na początku naszych rozważań metodą
 obwodową , określając wartość prądu w stanie ustalonym, tzn. nieskoń-
czenie długo po zamknięciu wyłącznika.
Rozwiązanie jest sumą obydwu składowych:
t
-
L t
-
E E
R T
i(t) = is + iw = A �"e + = A �"e +
R R
gdzie T=L/R nazywamy stałą czasową obwodu. Pozostaje jeszcze
wyznaczenie stałej całkowania A; korzystamy tu z warunku początkowego
i(t=0+)=0, więc:
0
-
E E E
T
0 = A �"e + �! 0 = A + �! A = -
R R R
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
t t
�# ś#
- -
L ś# L ź# t
�# ś#
E E E E
ś#1 - e- ź#
ś#1 - e ź#
R R T
i(t) = - �"e + = =
ś# ź#
ś# ź#
R R R R
�# #
ś# ź#
�# #
iw
E
R
is
E
R
i
E
R
t
T