Metoda zastępczego z
ródła napięciowego
A I
Liniowy
R0
U
rezystancyjny
układ z
ródłowy
B
A A I
Liniowy Liniowy
R0
rezystancyjny rezystancyjny
U
�!
U0
układ układ
U0
U0
z
ródłowy z
ródłowy
B B
Z superpozycji:
0
A
A I
Liniowy
Liniowy
0 R0
R0
rezystancyjny
rezystancyjny
+
U0 U
układ
układ
U0 U0
z
ródłowy
bezz
ródłowy
B
B
A I
Liniowy
rezystancyjny
R0
=
U
układ
z
ródłowy
B
ale do obliczenia prądu I wystarczy rozwiązać obwód:
A
I
A I
RT=RW
Liniowy
R0
rezystancyjny
R0
U
U
=
układ
ET=U0
U0
bezz
ródłowy
B
B
Twierdzenie Th�venina o zastępczym z
ródle napieciowym:
Dowolny liniowy dwójnik rezystancyjny (z wyjątkiem idealnego
z
ródła prądowego) możemy zastąpić równoważnym z
ródłem
napięciowym o sile elektromotorycznej ET i rezystancji
wewnętrznej RT, przy czym:
- siła elektromotoryczna ET jest równa napięciu U0 na rozwartych
zaciskach dwójnika;
- rezystancja wewnętrzna RT jest równa rezystancji zastępczej
RW dwójnika bezz
ródłowego mierzonej z zacisków
wejściowych.
Dwójnik bezz
ródłowy otrzymujemy zastępując z
ródła ich
rezystancjami wewnętrznymi, tzn. niezależne z
ródła napięciowe -
zwarciami, a niezależne z
ródła prądowe  rozwarciami.
Przykład: Korzystając z twierdzenia Th�venina obliczyć prądy w
podanym obwodzie.
Najpierw obliczymy prąd w rezystorze R3. W tym celu wprowadzamy
pomocniczo zaciski A-B, między które włączony jest ten rezystor, a
następnie  usuwamy rezystor z obwodu:
Obliczamy napięcie ET na otwartych zaciskach A-B oraz  po zastąpieniu
z
ródeł napięciowych ich zerowymi rezystancjami wewnętrznymi 
obliczamy rezystancję RT między zaciskami A-B:
I
A
E2
Ponieważ w tak powstałym obwodzie:
E1
20V
30V
E1 + E 2 50
ET
I = = = 3.33 A
R2
R1
R1 + R 2 15
U1
10 5
B
więc:
ET = E1 - I �" R1 = 30 - 33 .3 = -3.3V
oraz:
R1 �" R 2 50
RT = = = 3.33&!
R1 + R 2 15
Teraz tworzymy schemat z zastępczym z
ródłem napięciowym, aby
obliczyć prąd rezystora R3. Ponieważ wartość ET, strzałkowana
wstępnie w kierunku zacisku A, jest ujemna, na schemacie odwracamy
kierunek ET i wstawiamy wartość dodatnią:
Możemy już obliczyć prąd I3:
A
ET 3.3
I = = = 0.14 A
I3
3
ET
RT + R 3 23 .33
3.3V
R3
RT
20
3.33
B
Następnie wracamy do obwodu pierwotnego, wstawiając obliczony już
prąd I3, a następnie obliczamy pozostałe prądy w obwodzie:
Poprawność obliczeń sprawdzamy wykonując bilans mocy:
PZ = 30�"3.28 + 20�"3.42 = 166.8 W
PR = 3.282 �"10 + 3.422 �"5 + 0.142 �"20 = 166.5 W
czyli : PZ H" PR
Dopasowanie mocowe odbiornika do dwójnika z
ródłowego
Liniowy
R
dwójnik
z
ródłowy
Jaką rezystancją R należy obciążyć dwójnik,
aby moc w niej wydzielona była maksymalna?
Na mocy twierdzenia Th�venina możemy dowolny dwójnik liniowy
zastąpić równoważnym z
ródłem o parametrach ET i RT :
Iobc
ET
Liniowy
R �!
dwójnik
R
z
ródłowy
RT
ET
Iobc =
RT + R
Moc pobierana przez rezystancję R:
2
Podb
�# ET ś#
Podb = R �" = f (R)
ś# ź#
RT + R
�# #
Należy znalez
ć ekstremum !
R
dPodb (RT + R)2 - 2�" R �"(RT + R)
2
= ET �" =
dR
(RT + R)4
RT + R - 2�" R RT - R
2 2
= ET �" = ET �" = 0
(RT + R)3 (RT + R)3
czyli: R = RT
2
2
Moc pobrana:
�# ET ś# ET
Podb = R �" =
ś# ź#
RT + R 4RT
�# #
Moc tracona w rezystancji wewnętrznej dwójnika:
2
ET
Pstrat _ wew. = = Podb
4RT
Przykład: W podanym obwodzie dobrać wartość rezystancji
odbiornika R0 tak, aby moc w tym odbiorniku była maksymalna i
obliczyć tę moc.
7
6 5
2
1 3
0
1 4
Korzystając z twierdzenia Th�venina najpierw  usuwamy rezystor R0 z
obwodu i obliczamy rezystancję między zaciskami A-B dla dwójnika
bezz
ródłowego:
1
RT = R4 + = 50&! = R0
1 1 1
+ +
R2 R5 R6 + R7
Napięcie ET obliczamy np. korzystając z metody potencjałów węzłowych:
�# 1 1 1 ś# 1 1
przy czym:
V1 �" + + ź# -V2 �" - E3 �" = 0
ś#
R5 R6 R2 # R6 R5
�#
ET = I1 �" R4 +V1
�# ś#
1 1 1 1
V2 �" + ź# -V1 �" - E3 �" = I1
ś#
R6 R7 # R6 R7
�#
Po podstawieniu danych i wykonaniu obliczeń otrzymamy V1 = 27.5 V,
V2 = 47 V, stąd ET = 46.2 V , a ponieważ  zgodnie z wyprowadzoną
zależnością  aby uzyskać maksymalną moc czynną w odbiorniku, należy
dobrać jego rezystancję: R0 = RT = 50 &!, zatem:
ET 46.2
IR0 = = = 0.462A
R0 + RT 2�"50
PR0(max) = IR0 2 �" R0 = 0.4622 �"50 H" 10.7W
Odpowiedz
do zadania: aby w rezystorze R0 wydzielała się maksymalna
moc jego rezystancja winna wynosić 50 &!, wartość mocy wyniesie
wówczas ok. 10.7 W. Zarówno przy zwiększeniu, jak i przy zmniejszeniu
rezystancji uzyskamy zmniejszenie mocy wydzielanej w tym odbiorniku.
Zauważmy także, że znając prąd rezystora R0 możemy łatwo obliczyć
wszystkie prądy (i ewentualnie napięcia) w obwodzie:
7
6 5
0
1 3
2
1 4
Bilans mocy: PZ = 66.95 W, PR = 66.93 W, a zatem: PZ H" PR
Uogólniając - jeżeli należy rozwiązać problem:
Jaką rezystancją R0 należy obciążyć dwójnik, aby moc wydzielona
w niej była maksymalna?
to można posłużyć się gotowym wzorem:
Liniowy
dwójnik
R0 R0 = RT
z
ródłowy
natomiast w zagadnieniu:
Jak należy dobrać rezystancję R, aby moc wydzielona w innej
rezystancji R0 była maksymalna?
próba skorzystania z tej zależ-
Liniowy
ności daje błędny wynik !!!
R
dwójnik
R0
z
ródłowy
Obwody nieliniowe
Załóżmy, że dany jest obwód, w którym występuje tylko jeden element o
nieliniowej charakterystyce napięciowo-prądowej, danej zależnością:
UN = f(IN).
Ponieważ pozostała część obwodu ma charakter liniowy (zawiera tylko
liniowe elementy), możemy skorzystać z tw. Th�venina i sprowadzić
układ do następującej postaci:
IN
Liniowy ET
dwójnik
UN=f(IN)
UN= f(IN)
�!
z
ródłowy
RT
Zapisując funkcję opisującą charakterystykę elementu nieliniowego
krótko UN(IN) oraz korzystając z II prawa Kirchhoffa otrzymujemy:
ET = RT �" IN +UN (IN )
UN (IN ) = ET - RT �" IN
lub:
UN
UN(IN)  charakterystyka elementu
ET
punkt pracy (PP)
UPP
ET-RT�IN  prosta obciążenia
IPP
IN
ET
Izw =
RT
Spośród iteracyjnych metod rozwiązywania równań nieliniowych
najbardziej rozpowszechnioną jest metoda Newtona.
metoda Newtona
Jeżeli dla równania o postaci f(x)=0, określonego w pewnym
przedziale istnieją ciągłe pochodne f (x) i f (x), które nie
zmieniają znaku w tym przedziale, to tworząc proces iteracyjny:
f (xk )
xk+1 = xk -
f '(xk )
wyznaczymy pierwiastek tego równania w przedziale . Punkt
początkowy procesu iteracyjnego x0 powinien spełniać warunek:
f(x0)�f (x0) > 0 .
W rozpatrywanym tu przypadku mamy równanie:
UN (IN )+ RT �" IN - ET = 0
czyli: (IN ) = UN (IN )+ RT �" IN - ET
f
UN (INk )+ RT �" INk - ET
INk+1 = INk -
więc:
dUN
+ RT
dIN INk
Przykład: W podanym obwodzie wyznaczyć punkt pracy elementu nieli-
niowego, a następnie obliczyć pozostałe prądy. Charakterystyka
napięciowo-prądowa elementu nieliniowego wyrażona jest wzorem:
5 3
UN = a �" IN + b �" IN + c �" IN
gdzie: a = 0.5 V/A5, b = 1.8 V/A3, c = 8 V/A.
IN
R3
UN
R1
10
40
R4
50
E1
I2
R5
80V
1A
20
Korzystając z tw. Th�venina  usuwamy element nieliniowy, zaś pozostałą
liniową część obwodu sprowadzamy do zastępczego z
ródła napięciowego.
3
ET
1
A
R3
4
R1
10
B
40
R4
1
2
5
50
R5
20
1 3
(R1 + R5)�"(R3 + R4)= 30&! 4 5
RT =
R1 + R5 + R3 + R4 2
1
50
Iy
I = 2.6�" = 1.083A
y
70 + 50
Ix
IN
T
UN
ET
T
5 3
UN = 0.5�" IN +1.8�" IN + 8�" IN
5 3
0.5�" IN +1.8�" IN + 8�" IN + 30�" IN - 55 = 0
Musimy zatem rozwiązać równanie:
5 3
f (IN ) = 0.5�" IN +1.8�" IN + 38�" IN - 55 = 0
Ustalmy przedział poszukiwania rozwiązania, czyli dziedzinę funkcji:
IN > 0 - co wynika z polaryzacji z
ródła ET, oraz:
ET
IN < H" 1.83A - co jest prądem zwarcia z
ródła zastępczego.
RT
W rozpatrywanym przedziale: IN " 0 ; 1.83 pochodne:
4 2 3
oraz:
f '(IN ) = 2.5�" IN + 5.4�" IN + 38 f "(IN ) = 10�" IN +10.8�" IN
są ciągłe i nie zmieniają znaku. Wybieramy punkt startowy procesu
iteracyjnego np. INk=0= 1.5 A, dla którego mamy: f(1.5)�f  (1.5) > 0,
możemy zatem utworzyć zbieżny proces iteracyjny:
5 3
0.5�" INk +1.8�" INk + 38�" INk - 55
INk+1 = INk -
4 2
2.5�" INk + 5.4�" INk + 38
W kolejnych krokach procesu iteracyjnego otrzymamy:
0.5�"1.55 +1.8�"1.53 + 38�"1.5 - 55
IN1 = 1.5 - = 1.311
2.5�"1.54 + 5.4�"1.52 + 38
0.5�"1.3115 +1.8�"1.3113 + 38�"1.311- 55
IN2 = 1.311- = 1.296
2.5�"1.3114 + 5.4�"1.3112 + 38
0.5�"1.2965 +1.8�"1.2963 + 38�"1.296 - 55
IN3 = 1.296 - = 1.296
2.5�"1.2964 + 5.4�"1.2962 + 38
Jak widać proces iteracyjny jest zbieżny, rozwiązaniem jest IN = 1.296 A.
Podstawiając obliczony prąd w punkcie pracy elementu nieliniowego do
wzoru opisującego jego charakterystykę napięciową prądową :
5 3
UN = 0.5�" IN +1.8�" IN + 8�" IN = 0.5�"1.2965 +1.8�"1.2963 + 8�"1.296
wyznaczamy napięcie elementu nieliniowego w punkcie pracy UN = 16.12 V.
Dla elementu nieliniowego w danym punkcie pracy (PP) definiuje się:
UNPP
-rezystancję statyczną :
RSPP = ~ tg(ą)
INPP
dUN
-rezystancję dynamiczną:
RDPP = ~ tg(� )
dIN PP
Interpretacja graficzna:
charakterystyka elementu
UN
sieczna
UPP
styczna
punkt pracy (PP)
ą
�
IPP
IN
Aby obliczyć pozostałe prądy w obwodzie prądu stałego w stanie
ustalonym, możemy element nieliniowy zastąpić jego rezystancją
statyczną, wyznaczoną w punkcie pracy w tym obwodzie:
UNPP 16.12V
RSPP = = H" 12.4&!
INPP 1.296A
Bilans mocy: Pz
r = 114.85 W, Podb = 114.85 W, czyli: Pz
r = Podb.