Ćwiczenia 2
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f określonej wzorem:
1 5x-6-x2
a) fŻ�x�� =� x2 +� 2x - 15 ; b) fŻ�x�� =� ; c) fŻ�x�� =� log2 x2+�4x+�11 ; d) fŻ�x�� =� log2��logxŻ�x +� 1��ą�.
x2-4
2. Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji f określonej wzorem:
2Ż�-x+�3��
a) fŻ�x�� =� 4 - x2 ; b) fŻ�x�� =� 2x - 6 +� 6 - 2x ; c) fŻ�x�� =� - 1; d) fŻ�x�� =� 5 +� x +� 2 ;
| |
x+�1
x
e) fŻ�x�� =� .
3x2+�5
x2+�2
3. Dana jest funkcja fŻ�x�� =� określona w zbiorze ż�. Wykaż, że zbiorem wartości tej funkcji
x2+�1
jest przedział Ż�1, 2 .
��
4. Czy funkcje f i g są równe?
|x-2|
x4
a) fŻ�x�� =� x2 , gŻ�x�� =� x; b) fŻ�x�� =� x2, gŻ�x�� =� ; c) fŻ�x�� =� , gŻ�x�� =� 1;
x-2
x2
x4-1
d) fŻ�x�� =� , gŻ�x�� =� x2 - 1.
x2+�1
5. Na podstawie definicji sprawdzić, że funkcja f jest:
1
a) fŻ�x�� =� x +� 1 �!rosnąca; b) fŻ�x�� =� dla x " ż�+� �! malejąca;
x
x+�2
c) fŻ�x�� =� x2 dla x " ż�- �! malejąca; d) fŻ�x�� =� dla x " Ż�-K�,1�� �! malejąca.
x-1
x-2
6. Czy funkcja fŻ�x�� =� ma miejsce zerowe?
x2-2x
ax+�b
7. Wykazać, że funkcja fŻ�x�� =� , ad `" bc, c `" 0 jest różnowartościowa.
cx+�d
8. Zbadać parzystość funkcji f:
cos x sin x
a) fŻ�x�� =� x6 - 2x4 +� 8; b) fŻ�x�� =� x 6� x; c) fŻ�x�� =� sin2x; d) fŻ�x�� =� ; e) fŻ�x�� =� ;
| |
x x
1 3x4
f) fŻ�x�� =� ; g) fŻ�x�� =� .
x-3
Ż�x-2��Ż�x+�1��
9. Pokazać, że funkcja f posiada w punkcie xo:
1
a) fŻ�x�� =� 1 - 2x - 3x2, xo =� - maksimum; b) fŻ�x�� =� x2 - 2x - 5, xo =� 1 minimum.
3
10. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji fŻ�x�� =� x3 w przedziale 1 .
)#-1, ��
11. Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji f:
ax+�b x
3
a) fŻ�x�� =� , ad `" bc, c `" 0; b) fŻ�x�� =� log 3x ; c) fŻ�x�� =� 24x+�1; d) fŻ�x�� =� .
cx+�d 1-|x|
12. Dane są funkcje f i g. Wyznaczyć f " g oraz g " f:
1
a) fŻ�x�� =� , gŻ�x�� =� x ; b) fŻ�x�� =� cosx +� 3, gŻ�x�� =� x2 +� 2x; c) fŻ�x�� =� sin24x, gŻ�x�� =� log3x;
x3
d) fŻ�x�� =� log x , gŻ�x�� =� x2; e) fŻ�x�� =� 1 - sin 2x , gŻ�x�� =� log2x.
13. Określ obraz i przeciwobraz zbioru A, wyznaczony przez funkcję f:
1
a) A =� ,1 , fŻ�x�� =� x2 +� 1; b) A =� 0 , fŻ�x�� =� x2; c) A 0, 1 , fŻ�x�� =� x2.
)#- �� )#-1, �� )# ��
2
Odpowiedzi do niektórych zadań:
1a) Df : x " Ż�-K�, -5 W� 3, +�K� ; 1b) Df : x " Ż�-K�, -2�� W� Ż�2, +�K���; 1c) Df : x " Ż�2, 3��;
�� )# ��
1c) Df : x " Ż�1, +�K���; 2a) Df : x " 2 , W : y " 0, 2 ; 2b) Df =� ��3��, W =� ��0��;
)#-2, �� )# ��
15 15
2c) Df : Ż�-1, 3 ; 2d) Df =� ż�, W : y " 5, +�K���; 2e) Df =� ż�, W : y " - , ;
�� )#
30 30
4a) nie; 4b) nie; 4c) nie; 4d) tak; 8a) parzysta; 8b) nieparzysta;
8c) parzysta; 8d) nieparzysta; 8e) parzysta; 8f) nie ma własności parzystości;
-dx+�b a
8g) nie ma własności parzystości; 11a) f-1Ż�x�� =� , Df-1 : x " ż� " �� ��;
cx-a c
1 1 1 x
11b) f-1Ż�x�� =� 103x; 11c) f-1Ż�x�� =� Ż�log2x�� - ; 11d) f-1Ż�x�� =� .
3 4 4 1-|x|