Ćwiczenia 3
x2-9
1. Obliczyć na podstawie def. Heinego granicę funkcji lim .
x-3
x3
x3-1
2. Obliczyć na podstawie def. Cauchyego granicę funkcji lim .
x-1
x1
3. Obliczyć granicę funkcji:
x2-25 x3-8 x2+ð2x-3 x3-2x-1 x2+ð1 x2+ð2x+ð3
a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim ; e) lim ; f) lim ;
x-5 x-2 x+ð3 x+ð1
x2-1 3x2+ð3x-1
x+ðKð
x5 x2 x-3 x-1 x1
3 1
1+ð x
cos x sin 3x
5x
g) lim x2 - x - x2 +ð x ; h) lim ; i) lim Å»ð1 +ð xÞð ; j) lim ; k) lim ;
^ð
5 ^ð 2x- 4x
1+ð x
x
2
x-Kð
x-1 x0 2 x0
1-cos 2x
l) lim .
x sin x
x0
4. Obliczyć granice jednostronne funkcji:
1 1 1 2x x x x
a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim ; e) lim ; f) lim ; g) lim ;
x x
x-1 x-2 |x| |x|
x2-1
x0+ð x0- x1+ð x2- x0- x0+ð x1-
x+ð2 cos x x2+ðx-3 1
h) lim i) lim ; j) lim Å»ð1 - x2Þð; k) lim ; l) lim Å»ð1 +ð Þðx;
x
sin x
x2-2x x2-2x-1
x+ðKð x-Kð
x0- x2- x1+ð
5x+ð2-3 5x+ð2-3
m) lim ; n) lim .
4x+ð1+ð3x+ð2 4x+ð1+ð3x+ð2
x+ðKð x-Kð
5. Zbadać ciągłość funkcji:
x2-1 x2+ð1
dla x`"1 dla x`"1
x-1 x-1
a) fÅ»ðxÞð =ð ; b) fÅ»ðxÞð =ð .
3 dla x=ð1 1 dla x=ð1
6. Dla jakiej wartości parametru a funkcja f jest ciągławxo:
sin 3x x2-4
dla x`"0 dla x`"3
2x x-3
a) fÅ»ðxÞð =ð , xo =ð 0; b) fÅ»ðxÞð =ð , xo =ð 3.
a dla x=ð0 a dla x=ð3
x3+ðx2-2x
dla x`"1
x-1
7. Wskazać przedziaÅ‚y ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji fÅ»ðxÞð =ð .
2 dla x=ð1
8. Udowodnić, że wielomian fÅ»ðxÞð =ð 2x5 - 3x3 +ð x2 +ð 4 ma w przedziale Å»ð-2, -1Þð co najmniej jeden
pierwiastek.
9. Wykazać, że we wskazanym przedziale równanie ma co najmniej jeden pierwiastek:
2 ^ð 3^ð
a) e-x =ð sin x, x " Å»ð0, 1Þð; b) x5 - 4x +ð 1 =ð 0, x " Å»ð0, 1Þð; c) 6ð x - sin x, x " , .
)# ×ð
^ð
4 4
10. Obliczyć za pomocÄ… metody bisekcji pierwiastek funkcji fÅ»ðxÞð =ð x3 - x2 +ð 2x - 1 w
przedziale 0, 1 z dokładnością do 0, 01.
)# ×ð
Odpowiedzi do niektórych zadań:
1
1) 6; 2) 3; 3a) 10; 3b) 12; 3c) -4; 3d) 1; 3e) +ðKð; 3f) ; 3g) 1;
3
5 1 3
5
3h) ; 3i) e ; 3j) - ; 3k) ; 3l) 2; 4a) +ðKð; 4b) -Kð; 4c) +ðKð;
3 2 4
4d) -Kð; 4e) -1; 4f) 1; 4g) -Kð; 4h) -Kð; 4i) +ðKð; 4j) -Kð; 4k) -Kð;
3 3
4l) e; 4m) +ðKð; 4n) - ; 5a) nieciÄ…gÅ‚awxo =ð 1; 5b) ciÄ…gÅ‚awżð; 6a) a =ð ;
2 2
6b) a =ð 6; 7) x " Å»ð-Kð,1Þð Wð Å»ð1, +ðKðÞð; 10) xo H" 0, 57.