Rozwiązanie obwodu RLE w stanie nieustalonym  wyznaczenie przebiegu
prądu i(t):
Dla t e" 0 równanie napięciowe ma postać:
R
t=0
di
E L
L + Ri = E
i
dt
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości prądu w elemencie indukcyjnym,
stosując go tu dla chwili t=0: -)= i(0+)= 0 - prąd nie płynął przed zamk-
i(0
nięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla prądu i(t). Nale-
żyrozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Rozwiązanie jest sumą składowej swobodnej is(t) i składowej wymuszonej
iw(t) :
t
-
L t
-
E E
R T
i(t) = is + iw = A �"e + = A �"e +
R R
gdzie T=L/R nazywamy stałą czasową obwodu.
Pozostaje jeszcze wyznaczenie stałej całkowania A; korzystamy tu z
warunku początkowego i(t=0+)=0, więc:
0
-
E E E
T
0 = A �"e + �! 0 = A + �! A = -
R R R
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
t t
- - ś#
�#
L L t
ś# ź#
- ś#
�#
E E E E
R T
ś#
i(t) = - �" e + = =
ś#1 - e R ź#
ś#1 - e ź#
ź#
R R R R
ś# ź# �# #
�# #
i
E
R
t
T
Teoretycznie stan przejściowy trwa nieskończenie długo  rozwiązanie
zmierza asymptotycznie (funkcja exp) do wartości ustalonej; w praktyce
przyjmuje się, że po upływie ok. 4�5 stałych czasowych został osiągnięty
stan ustalony. Wartość prądu po upływie 5-ciu stałych czasowych wynosi:
5T
�# ś#
E E E
ś#1 - e- ź#
T
i(t) = = (1 - e-5)H" 0.993
ś# ź#
R R R
�# #
czyli prąd osiąga ponad 99% wartości, jaką miałby w stanie ustalonym (dla
L
T =
4 stałych czasowych jest to ponad 98%). Ponieważ stała czasowa:
R
zależy od parametrów R, L obwodu (nie zależy np. od napięcia E), stąd
tylko te wartości decydują o czasie trwania stanu przejściowego  im
większa indukcyjność, tym czas ten jest dłuższy (tzn. prąd wzrasta
wolniej), im większa rezystancja tym krótszy czas narastania prądu. Prąd
najszybciej rośnie na początku stanu przejściowego tzn. dla t=0+,
maksymalna stromość przebiegu prądu:
t t t
Ą# ń#
�# ś#
-
di d E E di E
ś#1 - e- ź#Ą# = E e-
T T T
ó#
= = e �! =
ś# ź#Ą# RT
dt dt R L dt L
ó#
max
�# #
Ł# Ś#
Załóżmy, że w naszym obwodzie parametry wynoszą:
E = 100 V, L = 50 mH, R = 100 &! .
W tym przypadku stała czasowa obwodu wynosi:
L 0,05 H
T = = = 0,5�"10-3 s = 0,5 ms
R 100&!
a zatem prąd osiągnie wartość ustaloną po czasie (w przybliżeniu) ok. 2 �
2,5 ms.
Maksymalna stromość tzn. szybkość narastania prądu  tuż po załączeniu
łącznika - wyniesie:
di E 100 V A A
= =
= 2000 = 2
dt L 0,05 H s ms
max
Ograniczenie stromości narastania prądu ma często znaczenie w układach
zawierających elementy półprzewodnikowe  można wówczas włączyć
szeregowo indukcyjność.
Przeanalizujmy przebieg procesu ładowania kondensatora w obwodzie
RCE:
przy założeniu, że kondensator nie był
uprzednio naładowany, czyli: u(t < 0) = 0
R
t=0
Dla t e" 0 równanie napięciowe ma postać:
C
u
E
u + Ri = E
i
du
du
ale: stąd:
i = C
RC + u = E
dt
dt
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości napięcia na elemencie pojemnoś-
u(0-)= u(0+)= 0 - napięcie nie
ciowym, stosując go tu dla chwili t=0:
występowało na kondensatorze przed zamknięciem łącznika; otrzymaliśmy
warunek początkowy dla napięcia u(t). Należy rozwiązać to równanie
różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Składową swobodną wyznaczamy poprzez rozwiązanie równania charakte-
rystycznego:
1 1
RC�"r + 1 = 0 �! r = - = -
RC T
Składowa swobodna wynosi zatem:
t t
- -
T RC
us = A �"e = A �"e
gdzie T=RC jest stałą czasową obwodu, zaś A jest stałą całkowania (mając
obie składowe rozwiązania wyznaczymy jej wartość korzystając z warunku
początkowego).
Pamiętając, że składowa wymuszona jest rozwiązaniem obwodu w stanie
ustalonym, można łatwo stwierdzić, że napięcie na kondensatorze w stanie
ustalonym musi być równe napięciu E z
ródła zasilającego.
(Ponieważ w obwodzie prądu stałego w
R
stanie ustalonym kondensator stanowi
E C
uC
przerwę, prąd nie płynie, więc spadek
napięcia na rezystancji jest zerowy. Aby
spełnione było II prawo Kirchhoffa napięcie
u(t ") = E
u musi być równe E.)
A zatem składowa wymuszona jest równa: uw = E
Rozwiązanie jest sumą obydwu składowych:
t t
- -
RC T
u(t) = us + uw = A �"e + E = A �"e + E
Teraz wyznaczamy stałą całkowania A, korzystając z warunku
początkowego u(t=0+)=0, więc:
0
-
T
0 = A �"e + E �! 0 = A + E �! A = -E
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
t t t
�# ś# �# ś#
- - -
ź# ź#
RC RC T
u(t) = -E�"e + E = Eś#1 - e = Eś#1 - e
ś# ź# ś# ź#
�# # �# #
Ponieważ stała czasowa: T = RC zależy od parametrów R, C obwodu (nie
zależy np. od napięcia E), stąd tylko te wartości decydują o czasie trwania
stanu przejściowego  im większa pojemność lub rezystancja, tym czas ten
jest dłuższy (tzn. napięcie wzrasta wolniej). Napięcie najszybciej rośnie na
początku stanu przejściowego tzn. dla t=0+, maksymalna stromość
napięcia:
t t t
Ą# ń#
�# ś#
- - -
du d du E
ó#Eś#1 - e T ź#Ą# = E e T = E e T
= �! =
ś# ź#Ą# T
dt dt RC dt RC
ó#
max
�# #
Ł# Ś#
uw
E
us
E
u
E
t
T
Rozważmy obwód nieco bardziej złożony:
t=0
W obwodzie tym chcemy wyzna-
czyć przebieg napięcia u(t) na ele-
i3
R1 i1
u
mencie pojemnościowym. Zakła-
C
E i2
dając, że przed komutacją łączni-
R3
ka w obwodzie był stan ustalony,
R2
otrzymamy dla t<0 :
0
R1 i=0
u(t)=E
Korzystamy z warunku ciągłości napięcia na
C
elemencie pojemnościowym, stosując go tu
E
dla chwili t=0: ; otrzyma-
u(0-)= u(0+)= E
0
R2
liśmy warunek początkowy dla napięcia u(t).
Aby obliczyć napięcie dla czasów t>0 skorzystajmy z metody Thevenina.
Wyłączając z obwodu kondensator, możemy obliczyć parametry ET i RT
zastępczego z
ródła napięciowego:
R1
R1 �" R3
RT = R2 +
R1 + R3
R3
R2
R1
E�" R3
ET
ET = UR3 =
E
R3 UR3
R1 + R3
R2
Zatem obwód sprowadziliśmy do takiej samej postaci jak poprzednio,
tylko zamiast E mamy ET, zaś w miejscu R pojawiło się RT. Zatem
rozwiązanie - w ogólnej postaci  wynosi:
t
-
RTC
RT
u(t) = us + uw = A�"e + ET
ET C
uC
u(0-)= u(0+)= E
przy czym:
Teraz wyznaczamy stałą A, korzystając z warunku początkowego
u(t=0+)=E, więc:
0
-
R1
T
E = A�"e + ET �! E = A + ET �! A = E�"
R1 + R3
Po podstawieniu stałej A oraz obliczonych ET i RT do ogólnej postaci
rozwiązania i po uporządkowaniu wyrazów otrzymamy następujący
przebieg napięcia:
t
�# ś#
-
R1R2+R1R3+R2R3
ś# ź#
C
R3 R1
R1+R3
ź#
u(t) = E�" �"ś#1+ e
ź#
R1 + R3 ś# R3
ś# ź#
�# #
Dla przykładowych danych: E=100V, R1=80&!, R2=40&!, R3=20&!, C= 50�F
mamy T = 2,8 ms, więc:
u(t) = 20�"(1+ 4�"e-357.14�"t) V
u
t
Ograniczenie stromości narastania napięcia jest niekiedy konieczne w
układach przekształtnikowych zawierających elementy półprzewodnikowe
 można wówczas włączyć równolegle układ RC.
Stany przejściowe w obwodach (I rzędu) o wymuszeniu sinusoidalnym
Dla te"0 równanie napięciowe obwodu ma postać:
R
t=0 di
L + Ri = Em �"sin(�t + �)
e(t)
L
dt
i
Dzieląc obustronnie przez R otrzymamy:
e(t) = Em �"sin(�t + �)
L di Em
+ i = �"sin(�t + �)
R dt R
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości prądu w elemencie indukcyjnym,
stosując go tu dla chwili t=0: -)= i(0+)= 0 - prąd nie płynął przed zamk-
i(0
nięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla prądu i(t). Nale-
żyrozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Składowa swobodna rozwiązania nie zależy od wymuszenia zatem ma
identyczną postać jak w obwodzie o wymuszeniu stałym:
t
-
t L
-
T R
is = A�"e = A�"e
(A  stała całkowania)
Składowa wymuszona jest to prąd w obwodzie w stanie ustalonym; można
go obliczyć metodą amplitud zespolonych:
Em Em �"ej� Em
Im = = = �"ej(�-�) gdzie: � = arc tg �L
Z Z
R
R2 +(�L)2 �"ej�
co po przejściu do postaci czasowej daje wynik:
Em
iw(t)= sin(�t + � - �)
Z
Rozwiązanie jest sumą składowej swobodnej i wymuszonej:
t
-
L
Em
R
i(t)= is + iw = A�"e + sin(�t + � - �)
Z
gdzie T=L/R jest stałą czasową obwodu. Dla wyznaczenia stałej całkowania
A korzystamy z warunku początkowego i(t=0+)=0, więc:
Em Em
0 = A + sin(� - �)�! A = - sin(� - �)
Z Z
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
t
�# ś#
-
L
ś# ź#
Em ś#-
R
i(t) = sin(� - �)�"e + sin(�t + � - �)ź#
ś# ź#
Z
ś# ź#
�# #
Należy zwrócić uwagę, że wielkość składowej swobodnej zależy od relacji
kątów � oraz �, tzn. od chwili załączenia łącznika.
Przy odpowiednim dobraniu chwili załączenia łącznika, tak aby: �=�, stan
przejściowy w obwodzie w ogóle nie wystąpi  składowa swobodna jest
równa zero, a prąd osiąga natychmiast sinusoidalny przebieg ustalony.
Z drugiej strony w przypadku, gdy stała czasowa T obwodu jest znacznie
większa od okresu napięcia zasilania (tzn. składowa przejściowa maleje
bardzo wolno w stosunku do okresu składowej wymuszonej), przy
niekorzystnym doborze chwili załączenia obwodu wartość maksymalna
prądu może osiągnąć prawie 2-krotną wartość amplitudy prądu
ustalonego. Taki przypadek może wystąpić np. przy załączeniu
transformatora na zwarcie, jeśli załączenie wystąpi przy przejściu napięcia
przez zero (R0, �H"90�, �=0�).
i
Em
Z
t
i
Przebiegi dla: Em=100V, R=10&!, L=200m, �=314s-1 �H"81�
�=�-Ą/2H"-9�
�=�-Ą/4H"36�
�=�H"81�
t
Stany przejściowe w obwodach wyższego rzędu
Dla te"0 równania opisujące obwód mają
postać:
di
R L
L + Ri + u = E
t=0
E u
dt
C
i
du
i = C
dt
Po wykonaniu podstawień otrzymujemy 1 równanie różniczkowe zwyczaj-
ne II-go rzędu (stąd określenie  obwód rzędu II-go ) z niewiadomą u:
d2u du
LC + RC + u = E
dt
dt2
Składowa wymuszona rozwiązania (napięcie w stanie ustalonym) jest stała
i równa w tym przypadku napięciu E.
Składową swobodną wyznaczamy w oparciu o pierwiastki równania
charakterystycznego, które przyjmuje tu postać prostego równania
kwadratowego:
2
LC �" r + RC �" r + 1 = 0
Charakter rozwiązania zależy od wartości "  wyróżnika trójmianu
kwadratowego:
2
�# ś#
�# ś#
�# ś#
ś# ź#
ś# ź#
2
ś# ź#
R R
ś#
2
ś# ź#
" = (RC )2 - 4LC = LC ś# - 4 ź# = 4LC - 1ź# = 4LC(� - 1)
ś# ź#
L
L
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
2
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
�# C #
C
�# #
�# #
gdzie � nazywamy tłumieniem obwodu, w naszym obwodzie:
R
� =
L
2�"
C
Rzeczywiste pierwiastki tego równania występują tylko dla tłumienia � e" 1
i wówczas składowa swobodna jest sumą 2 składników o przebiegu
eksponencjalnym i różnych stałych czasowych.
Jeżeli tłumienie � < 1 pierwiastki równania charakterystycznego są
wartościami zespolonymi i wówczas składowa swobodna ma charakter
oscylacji tłumionych; dla � = 0 (brak tłumienia przy zerowej rezystancji)
oscylacje nie są tłumione (trwają teoretycznie nieskończenie długo).
Zobaczmy jak wyglądają przebiegi napięcia oraz prądu w tym obwodzie
dla różnych wartości tłumienia.
u
i
t
�=5 �=2 �=1
u
i
t
�=0.8 �=0.5 �=0.1 �=0