Stany przejściowe w obwodach (I rzędu) o wymuszeniu sinusoidalnym
Dla te"0 równanie napięciowe obwodu ma postać:
R
t=0 di
L + Ri = Em �"sin(�t + �)
e(t)
L
dt
i
Dzieląc obustronnie przez R otrzymamy:
e(t) = Em �"sin(�t + �)
L di Em
+ i = �"sin(�t + �)
R dt R
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości prądu w elemencie indukcyjnym,
stosując go tu dla chwili t=0: -)= i(0+)= 0 - prąd nie płynął przed zamk-
i(0
nięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla prądu i(t). Nale-
żyrozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Składowa swobodna rozwiązania nie zależy od wymuszenia zatem ma
identyczną postać jak w obwodzie o wymuszeniu stałym:
t
-
t L
-
T R
is = A�"e = A�"e
(A  stała całkowania)
Składowa wymuszona jest to prąd w obwodzie w stanie ustalonym; można
go obliczyć metodą amplitud zespolonych:
Em Em �"ej� Em
Im = = = �"ej(�-�) gdzie: � = arc tg �L
Z Z
R
R2 +(�L)2 �"ej�
co po przejściu do postaci czasowej daje wynik:
Em
iw(t)= sin(�t + � - �)
Z
Rozwiązanie jest sumą składowej swobodnej i wymuszonej:
t
-
L
Em
R
i(t)= is + iw = A�"e + sin(�t + � - �)
Z
gdzie T=L/R jest stałą czasową obwodu. Dla wyznaczenia stałej całkowania
A korzystamy z warunku początkowego i(t=0+)=0, więc:
Em Em
0 = A + sin(� - �)�! A = - sin(� - �)
Z Z
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
t
�# ś#
-
L
ś# ź#
Em ś#-
R
i(t) = sin(� - �)�"e + sin(�t + � - �)ź#
ś# ź#
Z
ś# ź#
�# #
Należy zwrócić uwagę, że wielkość składowej swobodnej zależy od relacji
kątów � oraz �, tzn. od chwili załączenia łącznika.
Przy odpowiednim dobraniu chwili załączenia łącznika, tak aby: �=�, stan
przejściowy w obwodzie w ogóle nie wystąpi  składowa swobodna jest
równa zero, a prąd osiąga natychmiast sinusoidalny przebieg ustalony.
Z drugiej strony w przypadku, gdy stała czasowa T obwodu jest znacznie
większa od okresu napięcia zasilania (tzn. składowa przejściowa maleje
bardzo wolno w stosunku do okresu składowej wymuszonej), przy
niekorzystnym doborze chwili załączenia obwodu wartość maksymalna
prądu może osiągnąć prawie 2-krotną wartość amplitudy prądu
ustalonego. Taki przypadek może wystąpić np. przy załączeniu
transformatora na zwarcie, jeśli załączenie wystąpi przy przejściu napięcia
przez zero (R0, �H"90�, �=0�).
i
Em
Z
t
i
Przebiegi dla: Em=100V, R=10&!, L=200m, �=314s-1 �H"81�
�=�-Ą/2H"-9�
�=�-Ą/4H"36�
�=�H"81�
t
Stany przejściowe w obwodach wyższego rzędu
Dla te"0 równania opisujące obwód mają
postać:
di
R L
L + Ri + u = E
t=0
E u
dt
C
i
du
i = C
dt
Po wykonaniu podstawień otrzymujemy 1 równanie różniczkowe zwyczaj-
ne II-go rzędu (stąd określenie  obwód rzędu II-go ) z niewiadomą u:
d2u du
LC + RC + u = E
dt
dt2
Składowa wymuszona rozwiązania (napięcie w stanie ustalonym) jest stała
i równa w tym przypadku napięciu E.
Składową swobodną wyznaczamy w oparciu o pierwiastki równania
charakterystycznego, które przyjmuje tu postać prostego równania
kwadratowego:
2
LC �" r + RC �" r + 1 = 0
Charakter rozwiązania zależy od wartości "  wyróżnika trójmianu
kwadratowego:
2
�# ś#
�# ś#
�# ś#
ś# ź#
ś# ź#
2
ś# ź#
R R
ś#
2
ś# ź#
" = (RC )2 - 4LC = LC ś# - 4 ź# = 4LC - 1ź# = 4LC(� - 1)
ś# ź#
L
L
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
2
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
�# C #
C
�# #
�# #
gdzie � nazywamy tłumieniem obwodu, w naszym obwodzie:
R
� =
L
2�"
C
Rzeczywiste pierwiastki tego równania występują tylko dla tłumienia � e" 1
i wówczas składowa swobodna jest sumą 2 składników o przebiegu
eksponencjalnym i różnych stałych czasowych.
Jeżeli tłumienie � < 1 pierwiastki równania charakterystycznego są
wartościami zespolonymi i wówczas składowa swobodna ma charakter
oscylacji tłumionych; dla � = 0 (brak tłumienia przy zerowej rezystancji)
oscylacje nie są tłumione (trwają teoretycznie nieskończenie długo).
Zobaczmy jak wyglądają przebiegi napięcia oraz prądu w tym obwodzie
dla różnych wartości tłumienia.
u
i
t
�=5 �=2 �=1
u
i
t
�=0.8 �=0.5 �=0.1 �=0
Wyłączanie prądu zwarciowego  napięcie powrotne na wyłączniku
t=0
Załóżmy, że rozważamy przypadek
i wyłączania zwarcia po stronie wtór-
R L
up
nej energetycznego transformatora
dużej mocy. Wówczas elementy R i
C
u
L modelują uzwojenia transforma-
e(t) = Em �"cos�t tora, zaś C jest wypadkową pojem-
nością doziemną uzwojeń transfor-
matora i doprowadzeń (kabel lub
Przyjmijmy więc następujące
linia napowietrzna). Rezystancję
dane dla rozważanego obwodu:
można przyjąć kilka razy mniejszą
od reaktancji indukcyjnej (dla
Em = 6000 2 V = 8485 V, � = 314 s-1
pulsacji �).
R = 0.4 &!, L = 5 mH, C = 200 nF.
di
Dla t e" 0 napięcie na otwartym
L + Ri + u = Em �"cos(�t)
wyłączniku (tzw. napięcie powrotne) jest
dt
równe napięciu na pojemności C, więc
du
i = C
równania opisujące obwód mają postać:
dt
d2u du
przy czym u=up, a stąd:
LC + RC + u = Em �"cos�t
dt
dt2
Tłumienie obwodu ma bardzo małą wartość, jest równe:
R 0.4
� = = = 1.265�"10-3 << 1
L
5�"10-3
2�"
2
C
200�"10-9
Przy tak małym tłumieniu oscylacje zanikają powoli, zaś częstotliwość
drgań własnych obwodu jest równa w przybliżeniu częstotliwości
rezonansowej tego obwodu:
1 1
�0
�0 = = = 31623 s-1
f0 = H" 5 kHz
LC
2Ą
5�"10-3 �" 200�"10-9
i jest ok. 100 razy większa od częstotliwości napięcia sieci zasilającej.
Przed zadziałaniem wyłącznika prąd w indukcyjności L był równy:
E E�"e-j �1
�L
I = =
gdzie:
�1 = arc tg
R + j�L
R
R2 + (�L)2
Em �L
ś#
i(t)= �"cos�#�t - arc tg =
ś# ź#
a w funkcji czasu:
R
�# #
R2 + (�L)2
Ą
ś#
= 5234.7 �"cos�#314�" t - 75.71o �"
ś# ź#
�# 180o #
Zatem w chwili otwarcia wyłącznika prąd osiąga znaczną wartość:
i(0-) = i(0+) = 1292 A
(- ) oraz:
i(0-)= 5234 .7�"cos 75.71o H" 1292 A
co wiąże się z dużą wartością energii zgromadzonej w indukcyjności
uzwojeń transformatora. Energia ta  po zadziałaniu wyłącznika 
oscyluje między indukcyjnością i pojemnością, stopniowo rozpraszając się
w rezystancji, dając  przy niewielkiej pojemności  duże wartości
przepięć.
up
t
up
t
Jak widać przepięcia (o charakterze zanikających eksponencjalnie
oscylacji) mają bardzo wielką wartość amplitudy, wielokrotnie
przekraczającą amplitudę napięcia zasilania  wynika to z przerwania
prądu indukcyjnego przy dużej wartości chwilowej. Wyłącznik o prostej
konstrukcji nie mógłby poprawnie zadziałać. W praktyce wyłączniki
zwarciowe dla dużych mocy, dzięki specjalnemu układowi sterowania,
przerywają prąd w chwili jego przejścia przez zero.
W tym przypadku przepięcia na wyłączniku (wartości szczytowe) są
kilkanaście razy mniejsze !
up
t
up
t
SPRZ
ŻENIE INDUKCYJNE OBWODÓW
Dotychczas zakładaliśmy, że w rozważanych obwodach występuje
wyłącznie sprzężenie elektryczne, tzn. energia przekazywana jest do
kolejnych elementów obwodu wskutek przepływu do nich prądu ze z
ródła
(konieczne do tego jest połączenie galwaniczne elementów).
LRL R2
R
R1 i(t)
e(t) C
Jednak zgodnie z prawami Maxwell a i prawem indukcji elektromagne-
tycznej Faraday a, energia może być przekazywana także za pośrednic-
twem zmiennego w czasie pola magnetycznego, które w zamkniętym obwo-
dzie indukuje siłę elektromotoryczną (napięcie) o wartości:
d�
e = -
dt
Nie zachodzi tu konieczność połączenia galwanicznego elementów.
�1 �2 �21
�12
�11 �22
1 2
1 2
1 2
1 2
Rozważmy 2 cewki umieszczone w niewielkiej odległości, tak, że część
strumienia magnetycznego wytwarzanego przez jedną z nich przenika
przez uzwojenia drugiej cewki. Mamy więc:
�1 = �11 + �12 �2 = �22 + �21
�11 = L1 �" i1 �12 = M12 �" i2 �22 = L2 �" i2 �21 = M21 �" i1
Współczynniki L1, L2 to znane już indukcyjności własne cewek, natomiast
M12 oraz M21 nazywamy indukcyjnościami wzajemnymi cewek. Jednostką
indukcyjności wzajemnej jest henr (H).
d�1 d�11 d�12 d�2 d�22 d�21
e1 = - = - - e2 = - = - -
dt dt dt dt dt dt
Kwestia strzałkowania i znaków
d�
Siła elektromotoryczna opisana we wzorze Faraday a: e = - jest ro-
dt
zumiana jako napięcie z
ródłowe, stąd jest strzałkowana zgodnie z kie-
runkiem prądu. Jeśli traktujemy ją jako tzw.  spadek napięcia na
indukcyjności odbiornika, strzałkujemy przeciwnie do kierunku prądu;
czyli: u = - e . Uwzględniając poprzednie
u
zależności dla strumieni skojarzonych mamy więc:
e
di1 di2 di2 di1
uL1 = L1 + M12 uL2 = L2 + M21
dt dt dt dt
i
�
uwaga: pominięto tu rezystancje cewek
M = k �" L1 �" L2
M12 = M21 = M
Można wykazać, że: przy czym:
gdzie k nazywamy współczynnikiem sprzężenia cewek (obwodów). Dla
współczynnika sprzężenia zawsze spełniona jest zależność:
0 d" k d" 1
Jeżeli w jednej z cewek zmienimy kierunek napięcia zasilania  i w
konsekwencji zmieni się kierunek prądu, albo przy nie zmienionym
kierunku prądów odwrotnie nawiniemy uzwojenie cewki, strumienie
magnetyczne pochodzące od prądów obydwu cewek  zamiast się
dodawać, będą się odejmować. We wszystkich wzorach na napięcia, przy
wyrazach zawierających indukcyjność wzajemną znak  + należy zastąpić
w takim przypadku znakiem  - . W przypadku sumowania się strumieni
mówimy o sprzężeniu o charakterze dodatnim, zaś gdy strumienie się
odejmują, sprzężenie ma charakter ujemny.
�1 �2 �21
�12
�11 �22
1 2
1 2
1 2
1 2
di1 di2 di2 di1
uL1 = L1 - M uL2 = L2 - M
dt dt dt dt
Całkowita energia zgromadzona w takim układzie 2 sprzężonych cewek
wynosi:
1 1
2
WŁ = L1I1 + L2I2 ą MI1I2
2
2 2
(znak przed trzecim składnikiem sumy wynika z charakteru sprzężenia)
Oznaczenie sprzężenia indukcyjnego i jego charakteru na schemacie
ideowym obwodu elektrycznego:
M
i1 R1 i2
R2
L1 L2
u2
u1
Kropką (niekiedy innym symbolem graficznym) oznacza się tzw. zacisk
początkowy uzwojenia (umowny). Jeżeli prądy w obydwu sprzężonych
cewkach są tak samo zorientowane względem tego zacisku (w obydwu prąd
wpływa przy kropce lub w obydwu wypływa) - symbolizuje to sprzężenie
indukcyjne o charakterze dodatnim; jeżeli prądy w obydwu sprzężonych
cewkach są odwrotnie zorientowane względem tego zacisku (w pierwszej
prąd wpływa przy kropce zaś w drugiej wypływa lub odwrotnie) -
symbolizuje to sprzężenie indukcyjne o charakterze ujemnym.
Sprzężenie dodatnie: Sprzężenie ujemne:
i1 M i2 i1 M i2
i1 M i2 i1 M i2
L1 L2 L1 L2
L1 L2 L1 L2
M
M
i1 R1
i1 R1
R2 i2
R2 i2
L1 L2
L1 L2 u1 u2
u1 u2
di1 di2
di1 di2
u1 = R1i1 + L1 - M
u1 = R1i1 + L1 + M
dt dt
dt dt
di2 di1
di2 di1
u2 = R2i2 + L2 - M
u2 = R2i2 + L2 + M
dt dt
dt dt
M
I1 R1 I2
R2
U1 U2
L1 L2
+ 
Dla napięć sinusoidalnie przemiennych o pulsacji � mamy równania:
U1 = R1I1 + j�L1I1 ą j�MI2 = R1I1 + jX1I1 ą jXM I2
U2 = R2I2 + j�L2I2 ą j�MI1 = R2I2 + jX2I2 ą jXM I1
Wielkość: XM = �M nazywamy reaktancją sprzężenia, ma ona
charakter indukcyjny i jest wyrażona w omach.
Rozważmy przypadek, gdy druga cewka nie jest zasilana  do jej
zacisków podłączono odbiornik o impedancji Z.
XM
I1 R1 I2
R2
U1
X1 X2 Z
Oznaczenie charakteru sprzężenia indukcyjnego przez zaznaczenie
umownych zacisków początkowych nie jest tu konieczne  w tym
przypadku sprzężenie ma w sensie fizycznym zawsze ujemny charakter, co
wynika z reguły Lenza. Prąd wywołany w drugiej cewce napięciem
indukowanym przez strumień pochodzący od prądu cewki pierwszej
wytwarza strumień skierowany przeciwnie  przeciwdziałający przyczynie,
która go wywołała. Zatem:
U1 = R1I1 + jX1I1 - jXM I2
ZI2 + R2I2 + jX2I2 - jXM I1 = 0
Sprzężenie indukcyjne  aspekty praktyczne
Va `" Vb `" Vc
i(t)
Prawidłowy sposób podłączenia miernika