Transformator
ÅšM
Åšr1 Åšr2
i1 i2
u1 u2
z1 z2
Ś1i  strumień magnetyczny przenikający przez i-ty zwój pierwszego
uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dŚ1i
e1i = -
dt
z1, z2  liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu pierwszym:
z1
dÅš1
Åš1j H" Åš1k H" Åš1
e1 = e1i H" -z1
" przy założeniu, że:
dt
i=1
OznaczajÄ…c symbolem ¨1 tzw. strumieÅ„ magnetyczny skojarzony z
pierwszym uzwojeniem, gdzie: , mamy: .
d¨1
¨1 H" z1Åš1
e1 = -
dt
Zależności dla drugiego uzwojenia są analogiczne.
Biorąc pod uwagę, że w każdym z uzwojeń na strumień wypadkowy Ś
składa się strumień główny, przenikający przez rdzeń ferromagnetyczny
(wspólny dla obydwu uzwojeń) oraz strumień rozproszenia (inny dla
każdego uzwojenia), otrzymamy:
di1 dÅšM
e1 = -Lr1 - z1
¨1 = z1(Åšr1 + ÅšM ) = ¨r1 + z1ÅšM = Lr1i1 + z1ÅšM
dt dt
¨2 = z2(Åšr2 - ÅšM ) = ¨r2 - z2ÅšM = Lr2i2 - z2ÅšM e2 = -Lr2 di2 + z2 dÅšM
dt dt
2
1
2
1
Równania napięciowe
(z uwzględnieniem re-
zystancji uzwojeń):
u1 1
2
2
u1 - R1i1 + e1 = 0
u2 + R2i2 - e2 = 0
di1 di2
u1 = R1i1 + Lr1 + u1M u2 + R2i2 + Lr2 - u2M = 0
dt dt
dÅšM dÅšM
przy czym:
u1M = z1 u2M = z2
dt dt
Jeżeli założymy, że transformator jest idealny, tzn. pominiemy rezystancję
uzwojeń i strumienie rozproszenia - R1=R2=0 i Lr1=Lr2=0, to otrzymamy:
u1 u1M z1
H" = = Ń
u2 u2M z2
Ń nazywamy przekładnią zwojową transformatora; przekładnia
napięciowa transformatora idealnego jest równa przekładni zwojowej, dla
transformatora rzeczywistego w normalnych warunkach pracy zależność
ta jest spełniona w przybliżeniu.
Ze względu na własności ferromagnetyka
ÅšM
(µr" stÄ…d Rm0), aby strumieÅ„ ÅšM nie byÅ‚
nieskończony, wypadkowy przepływ (ampe-
Rm
i1·z1 i2·z2 rozwoje) musi być bliski zera (dotyczy to
typowych warunków pracy transformatora):
i1 z2 1
H" =
i1z1 - i2z2 H" 0
i2 z1 Ń
Dla napięć i prądów sinusoidalnych strumień ŚM jest też taką funkcją:
dÅšM
u1M(t) = z1 = Éz1ÅšmaxcosÉt
ÅšM(t) = ÅšmaxsinÉt
stÄ…d:
dt
Przyjmując jednorodność pola magnetycznego w rdzeniu (indukcja B jed-
nakowa w każdym punkcie przekroju poprzecznego, którego pole wynosi
SFe), czyli: otrzymamy:
É = 2Ä„f
Åšmax = BmaxSFe oraz podstawiajÄ…c:
u1M(t) = 2Ä„fz1SFeBmaxcosÉt
a więc wartość skuteczna sem indukowanej w uzwojeniu pierwotnym przez
strumień główny ŚM wynosi:
2Ä„
U1Msk = fz1SFeBmax H" 4.44fz1SFeBmax
2
zaś w uzwojeniu wtórnym:
2Ä„
U2M = fz2SFeBmax H" 4.44fz2SFeBmax
sk
2
Wzór ten jest przydatny m.in. przy projektowaniu transformatora.
Opisując transformator dla napięć sinusoidalnych, bez zakładania jego
idealnego charakteru, otrzymamy  dla wartości zespolonych - równania
napięciowe:
U1 = R1I1 + jXr1I1 + U1M
ż#
¨#U + R2I2 + jXr2I2 = U2M
/ Å" Ń
©# 2
Uwzględniając wyprowadzone wcześniej przybliżone zależności:
U1M = ŃÅ" U2M I2 = ŃÅ" I1
otrzymamy:
U1 = R1I1 + jXr1I1 + ŃU2 + Ń2R2I1 + jŃ2Xr2I1
'
'
'
PrzyjmujÄ…c:
Ń2R2 = R2 Ń2X2r = X2r
ŃU2 = U2
'
' '
otrzymujemy: U1 = R1I1 + jXr1I1 + R2I1 + jXr2I1 + U2
I1 R1 X1 X2 R2 I2 =I1
U1 U2
Wyprowadziliśmy uproszczony schemat zastępczy transformatora
Pełny schemat zastępczy transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym:
I1 R1 X1 X2 R2 I2
U1 RFe Xµ
U2
IFe
Iµ
U1M=U2M
1
'
' '
'
I2 = I2 R2 = Ń2R2 X2 = Ń2X2
U2 = ŃU2
gdzie:
Ń
Postulat zerowej (w przybliżeniu) wypadkowej wartości przepływu:
i1z1 - i2z2 H" 0
nie może być speÅ‚niony  konieczny jest pewien prÄ…d Iµ (tzw. prÄ…d
magnesujący  i związana z nim moc bierna), niezbędny do wytworzenia
strumienia magnetycznego; na schemacie zastępczym reprezentuje to gałąz

poprzeczna z reaktancjÄ… Xµ. Straty mocy czynnej, zwiÄ…zane głównie z
prądami wirowymi w rdzeniu, wywołanymi indukowaną w nim siłą
elektromotoryczną, reprezentuje gałąz
poprzeczna z rezystancjÄ… RFe.
ÅšM
ÅšM1<<ÅšM
Dla ograniczenia strat mocy w rdzeniu wywołanych prądami wirowymi
( nagrzewanie ! ) stosuje siÄ™ rdzenie z cienkich blach.
Wartości parametrów gałęzi podłużnej schematu zastępczego transforma-
tora wyznaczamy z tzw. próby zwarcia, zaś parametry gałęzi poprzecznej 
z tzw. próby biegu jałowego.
Próba biegu jałowego:
~0 ~0
2
U1n
RFe =
I0
"P0
I0 R1 X1 X2 R2
U1n
2 2
IFe =
Iµ = I0 - IFe
U1n RFe Xµ ~U1n
RFe
U1n
IFe Iµ
Xµ =
Iµ
Wykorzystuje się fakt, że impedancja gałęzi podłużnej jest wielokrotnie
mniejsza od impedancji gałęzi poprzecznej  pomijamy jej spadki napięć i
straty mocy.
Próba zwarcia:
Uwaga! Uz<2 2
Uz
' '
Zz = (R1 + R2) + (X1 + X2) =
~0
I1n R1 X1 X2 R2
I1n
"Pz
'
Uz RFe Xµ
~I1n R1 + R2 =
2
I1n
2
' '
X1 + X2 = Z2 -(R1 + R2)
z
Wykorzystuje się fakt, że impedancja gałęzi poprzecznej jest wielokrotnie
większa od impedancji gałęzi podłużnej  pomijamy jej prąd i straty mocy.
Przyjmuje się ponadto, że R1H"R2 oraz X1H"X2 .
W praktyce inżynierskiej, dla stanów znamionowego obciążenia transfor-
matora, w obliczeniach często pomija się gałąz
poprzeczną; wówczas
schemat zastępczy przyjmuje postać:
Rz Xz Xz
albo:
U1 U2 U1 U2
Drugi wariant, w którym uwzględniono tylko tzw. reaktancję zwarciową
Xz, zapewnia wystarczającą dokładność zwłaszcza dla transformatorów
dużej mocy, gdzie Rz<Znając dla transformatora następujące parametry znamionowe:
U1n Uz
Sn , Ń = Sn = U1nI1n = U2nI2n , uz% = Å"100%
, uz%
gdzie:
U2n U1n
2
uz% U1n uz% Å" U1n
można wyznaczyć Xz ze wzoru:
Xz = Å" =
Sn 100% Å"Sn
100%
U1n
Symbol transformatora stosowany Symbol transformatora stosowany
na schematach jednokreskowych na schematach ideowych obwodów
obwodów energetycznych: elektrycznych:
W skrajnym przypadku, jeśli transformator traktujemy jako idealny,
schemat zastępczy przyjmie postać:
U1 U2
Dla wszystkich elementów dołączonych do strony wtórnej należy pamiętać
o konieczności sprowadzenia ich parametrów do strony pierwotnej:
1
'
' '
'
I2 = I2 R2 = Ń2R2 X2 = Ń2X2
U2 = ŃU2
Ń
Przykład:
Tr Dane: E=100V, Ń=z1/z2=10,
R1 R2
R1=10&!, R2=0.9&!, X2=1&!.
TraktujÄ…c transformator
E
X2
jako idealny obliczyć
z1 z2
wskazania mierników.
A
Jeśli transformator jest idealny, schemat zastępczy przyjmie postać:
R1=10&! R2 =R2·Åƒ2=90&!
o
o
100ej0
I = = 0.707e-j45 A
100 + j100
X2 =X2·Åƒ2=100&!
E=100V
I
Ponieważ amperomierz jest włączony po stronie wtórnej, obliczony prąd
sprowadzamy z powrotem do strony wtórnej:
1
IAmp = ŃI = 7.07 A
I = IAmp
Ń
Maszyny elektryczne wirujÄ…ce
Działanie maszyn elektrycznych wynika z następujących zjawisk:
" indukcji elektromagnetycznej,
" pojawiania się pola magnetycznego wokół przewodów wiodących prąd,
" dynamicznego oddziaływania pola magnetycznego na przewodnik z
prÄ…dem.
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej obejmuje szerszy zakres sytuacji
niż to, co przedstawiono przy omawianiu cewek sprzężonych i transforma-
tora. W transformatorze napięcie (sem) było indukowane w uzwojeniu
wtórnym wskutek zmian strumienia magnetycznego w czasie  przyczyną
zmian było zmienne pole magnetyczne. Zmianę strumienia można uzyskać
w inny sposób (nawet przy stałym polu magnetycznym)  poprzez zmianę
powierzchni czynnej obwodu (uzwojenia), w którym indukowana jest siła
elektromotoryczna. Zmianę tę można uzyskać poprzez przemieszczenie
uzwojenia w polu. Napięcie może być również indukowane w otwartym
przewodzie (np. w pręcie miedzianym), jeżeli porusza się on w polu
magnetycznym  istotny jest ruch swobodnych nośników ładunku
(elektronów) względem wektora indukcji pola magnetycznego B.
Uproszczone przedstawienie zjawisk wykorzystywanych w:
prÄ…dnicy silniku