PODSTAWY
METROLOGII
Wykład 10
Niepewność pomiarowa
Wprowadzenie
Przy omawianiu błędów wygodnie jest przypomnieć
na wzór terminologii stosowanej w literaturze
zachodniej rozró\
nienie pomiędzy pojęciami
dokładność i precyzja.
Wynik pomiaru określamy wówczas jako dokładny,
gdy jest on wolny od błędów systematycznych,
natomiast jako precyzyjny, gdy jego błąd
przypadkowy jest bardzo mały.
Dokładność pomiaru - określa, jak bardzo rezultat
pomiaru jest zbli\
ony do wartości prawdziwej.
Wyniki o du\
ej dokładności otrzymuje się stosując
mierniki i wzorce o małej niepewności wzorcowania
Precyzja pomiaru - określa, jak dobrze został
określony rezultat pomiaru, bez odnoszenia się do
wartości prawdziwej.
Wyniki o du\
ej precyzji otrzymuje siÄ™ poprzez takÄ…
modyfikację warunków pomiaru, aby niepewności
przypadkowe były jak najmniejsze.
Precyzja
Dokładność
Precyzja i dokładność
Precyzja i dokładność z
grubym błędem.
precyzja mówi nam coś o jakości działania przyrządu.
dokładność mówi nam coś o jakości lub poprawności otrzymanego
wyniku.
Dokładność i precyzja
Ka\
dy eksperyment, ka\
dy pomiar i prawie
ka\
da operacja składowa pomiaru daje
wyniki obarczone ró\
nymi typami błędów
 dlatego podanie wyniku pomiaru bez wartości
oszacowanego przedziału niepewności jest
błędem
Pomiar
Pomiar  pewna sekwencja czynności
doświadczalnych i obliczeniowych, prowadząca do
wyznaczenia liczbowej wartości wielkości fizycznej.
Pomiar jest zawsze operacją niedokładną, to znaczy
estymata wartości prawdziwej mezurandu
otrzymana jako wynik pomiaru ró\
ni się na ogół od
wartości prawdziwej, równość estymaty i
estymowanej wartości jest zdarzeniem wyjątkowym,
a fakt jego zajścia pozostaje nieznany.
 IstotÄ… pomiaru jest jednak to, \
e niedokładność
wyniku pomiaru mo\
na zawsze oszacować, to
znaczy mo\
na zawsze określić graniczną
odległość między znanym wynikiem pomiaru a
nieznaną wartością prawdziwą mezurandu.
Szacowanie niedokładności pomiaru jest jedną z
podstawowych czynności, która powinna być
wykonywana w procesie mierzenia.
Wynik pomiaru
wartość pomiaru ą błąd pomiarowy
BÅ‚Ä…d pomiaru
Błąd pomiarowy niepewność pomiarowa,
dokładność pomiaru
Błąd w pomiarach = pomyłka.
Rodzaje błędów
Rozró\
nia siÄ™ trzy rodzaje miar
błędu:
błędy prawdziwe,
błędy umownie prawdziwe
błędy graniczne
BÅ‚Ä…d pomiaru
Bezwzględny błąd pomiaru - jest ró\
nicÄ… miedzy
wynikiem pomiaru a wartością prawdziwą wielkości
mierzonej:
X = Xs - Xp ,
gdzie:
Xs  wynik surowy,
Xp  wartość prawdziwa wielkości mierzonej.
Ma on jakąś konkretną wartość, ale niestety nie zawsze jest ona znana,
poniewa\
we wzorze definicyjnym występuje nie zawsze znana wartość
prawdziwa.
BÅ‚Ä…d pomiaru jest wskaz
nikiem stopnia zgodności wyniku pomiaru i
wartości prawdziwej.
Wynik surowy jest to wynik pomiaru przed
korekcją błędu systematycznego.
Przy powtarzaniu pomiarów wartość błędu będzie
się zmieniała, co uwidoczni się w zmienności,
poniewa\
błąd pomiaru jest wypadkową dwóch
składowych:
" błędu systematycznego sX,
" błędu przypadkowego pX,
czyli:
X = sX + pX
Podział błędów
Wyniki pomiarów podlegają pewnym
prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla
zmiennej losowej. Z tego względu błędy
dzielimy na:
" Błędy grube (pomyłki), które nale\
y eliminować
" Błędy systematyczne, które mo\
na ograniczyć
udoskonalÄ…jÄ…c pomiar
" Błędy przypadkowe, które podlegają prawom
statystyki i rachunku prawdopodobieństwa,
wynikają z wielu losowych przyczynków i nie
dają się wyeliminować
BÅ‚Ä…d systematyczny
Błąd systematyczny zdefiniowany jest następująco:
 Błąd systematyczny jest ró\
nicą między wartością
średnią żśr z nieskończonej liczby wyników
pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonanych w warunkach powtarzalności, a
wartością prawdziwą wielkości mierzonej żp ":
sż = żśr - żp .
BÅ‚Ä…d przypadkowy
Błąd przypadkowy ma następującą definicję:
 Błąd przypadkowy jest ró\
nicą między wynikiem
pomiaru X a średnią żśr z nieskończonej liczby
wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonanych w warunkach powtarzalności"
pż = ż - żśr .
Krzywe rozkładu błędu
BÅ‚Ä…d systematyczny BÅ‚Ä…d przypadkowy
Rodzaje błędów
Wartość oczekiwana błędu
przypadkowego jest równa zeru,
- właściwość ta nie zawsze jest zgodna z sensem
fizycznym błędów przypadkowych.
Całkowity błąd pomiaru
ż = sż + pż .
Względny błąd pomiaru zdefiniowany jest jako
stosunek bezwzględnego błędu pomiaru do
wartości prawdziwej, czyli:
Poprawka
Je\
eli znana jest wartość błędu systematycznego, to
mo\
na go wyeliminować z wyniku pomiaru poprzez
wprowadzenie poprawki.
Poprawka ma wartość błędu systematycznego, ale ze
znakiem przeciwnym:
p(X) = - sX
Poprawka jest wartością dodawaną algebraicznie do surowego wyniku
pomiaru w celu skompensowania błędu systematycznego.
Wynik pomiaru po korekcji błędu systematycznego nazywamy wynikiem
poprawionym.
Rodzaje błędów
Podział błędów ze względu na fizyczne przyczyny
powstawania błędu - wyró\
nia siÄ™ tu m.in.:
błąd wzorcowania,
błąd niestałości,
błędy kwantowania,
błędy próbkowania,
błędy zliczania,
itd.
Charakterystyka metrologiczna
Á Ä = e-0.23Ä Ä w godzinach Ã2 =1.58
( ) ( )
Rozkład prawdopodobieństwa błędu niestałości
Przebieg błędu niestałości i jego prognoza
Je\
eli pomiary pewnej wielkości x nara\
one sÄ… na
wpływ wielu niewielkich i przypadkowych zaburzeń,
to rozkład wyników jest rozkładem normalnym lub
rozkładem Gaussa.
Niepewność pomiaru
Niepewność mo\
emy określić w ro\
ny sposób:
-przyjmujÄ…c model statystyczny,
- posługując się deterministyczną teorią niepewności
maksymalnej.
Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru zawarta w
dokumencie Guide to the Expression of Uncertainty Measurements
opracowanym przez ISO)posługuje się w opisie niepewności
modelem statystycznym.
Podstawowe terminy i definicje
" wartość oczekiwana  wartość zgodna ze
zdefiniowana, jest nazywana często
wartością rzeczywista; jest to wartość, która
mo\
e być uzyskana w wyniku doskonałego
pomiaru;
" wartość oznaczana  wartość uzyskana w
wyniku zastosowania danej procedury
analitycznej; wynik pomiaru to najczęściej
średnia arytmetyczna z uzyskanych
wartości oznaczanych;
" dokładność pomiaru  stopień zgodności
pomiędzy wynikiem pojedynczego pomiaru a
wartością rzeczywista;
" poprawność pomiaru  stopień zgodności
pomiędzy wynikiem analizy (średnią) a
wartością rzeczywistą;
" precyzja pomiaru  zgodność pomiędzy
uzyskiwanymi niezale\
nymi pomiarami;
 niepewność pomiaru (uncertainty) 
parametr związany z wynikiem pomiaru, który
określa przedział wokół wartości średniej, w
którym mo\
e (na zało\
onym poziomie
istotności) znalez
ć się wartość oczekiwana;
standardowa niepewność pomiaru
(standard uncertainty)  u(xi) - niepewność
pomiaru przedstawiona i obliczona jako
odchylenie standardowe;
 zło\
ona standardowa niepewność (combined
standard uncertainty)  uc(y)  standardowa
niepewność wyniku y pomiaru, której wartość jest
obliczona na podstawie niepewności parametrów
wpływąjących na wartość wyniku analizy z
zastosowaniem prawa propagacji niepewności;
rozszerzona niepewność (expanded uncertainty)
- U  wielkość określająca przedział wokół
uzyskanego wyniku analizy, w którym mo\
na, na
odpowiednim, przyjętym poziomie istotności
(prawdopodobieństwa) oczekiwać wystąpienia
wartości rzeczywistej;
" współczynnik rozszerzenia (coverage factor) 
k  wartość liczbowa u\
yta do wymno\
enia
zło\
onej standardowej niepewności pomiaru w
celu uzyskania rozszerzonej niepewności,
wartość współczynnika zale\
y od przyjętego
poziomu prawdopodobieństwa (np.: dla 95 %
wynosi 2) i najczęściej jest wybierana z
przedziału liczb 2-3;
Niepewność
W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych
wielkości mierzonych i szacujemy niepewności
pomiarowe wynikajÄ…ce ze statystycznych praw
rozrzutu pomiarów.
Niepewność pomiaru jest związanym rezultatem
pomiaru parametrem, charakteryzujÄ…cym rozrzut
wyników, który mo\
na w uzasadniony sposób
przypisać wartości mierzonej.
 Niepewność u lub u(x) (ang. uncertainty)
posiada wymiar, taki sam jak wielkość
mierzona
Niepewność względna ur(x) to stosunek
niepewności (bezwzględnej) do wielkości
mierzonej:
Niepewność względna jest wielkością
bezwymiarowÄ… i mo\
e być wyra\
ona w %
Niepewność
Istnieją dwie miary niepewności
pomiaru:
niepewność standardowa u(x)
niepewność maksymalna "x
Niepewność standardowa
Rezultat pomiaru jest zmiennÄ… losowÄ… xi ,
której rozrzut wokół wartości średniej x
charakteryzuje parametr zwany odchyleniem
standardowym
Dokładnej wartości odchylenia
standardowego nie znamy. Niepewność
standardowa jest jego niezbyt dokładnym
oszacowaniem (estymatorem, ocenÄ…).
Niepewność maksymalna
Jest miarÄ… deterministycznÄ…, gdy\
zakłada, \
e mo\
na
określić przedział wielkości mierzonej x, w którym na
pewno znajdzie się wielkość rzeczywista.
W tym przypadku staramy się określić przedział,
xo - "x < xi < xo + "x
w którym mieszczą się wszystkie wyniki pomiaru xi,
aktualnie wykonane i przyszłe.
Zaleca się obecnie niepewność maksymalną
specyfikowaną przez producenta zamieniać na
niepewność standardową wg wzoru:
Typy oceny niepewności
Typ A
Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów:
" wymaga odpowiednio du\
ej liczby powtórzeń pomiaru
" ma zastosowanie do błędów przypadkowych
Typ B
Opiera siÄ™ na naukowym osÄ…dzie eksperymentatora
wykorzystujÄ…cym wszystkie informacje o pomiarze i z
ródłach
jego niepewności
" stosuje siÄ™ gdy statystyczna analiza nie jest mo\
liwa
" dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru
Typ A
Seria wyników (próba)
x1,x2, & .xn obarczonych
niepewnością
przypadkowÄ… jest du\
a
gdy 30próbie takiej wyniki się
powtarzajÄ…: nk jest
liczbą pomiarów, w
których wystąpił wynik xk,
nk/n jest częstością
występowania wyniku
Opracowanie serii pomiarów
bezpośrednich du\
ej próby
Rozkład normalny Gaussa
Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości
x lub jej błędu "x podlega rozkładowi Gaussa
x0 jest wartością najbardziej prawdopodobną i mo\
e
być nią średnia arytmetyczna, jest odchyleniem
standardowym, jest wariancją rozkładu
 Pomiar o większym à charakteryzuje się
większym rozrzutem wyników wokół wartości
średniej a zatem mniejszą precyzją
Typ B
Dla oceny typu B wykorzystać mo\
na m.in.:
" dane z pomiarów poprzednich,
" doświadczenie i wiedzę na temat przyrządów
i obiektów mierzonych,
" informacje producenta przyrządów,
" niepewności przypisane danym z literatury.
Gdy informacja o pomiarze i z
ródle jego niepewności jest
dobra, dokładność oceny typu B jest porównywalna z
dokładnością oceny typu A.
Metoda ró\
niczki zupełnej
Dla wielkości zło\
onej y=f(x1,x2,...xn) gdy
niepewności maksymalne "x1 , "x2 , ... "xn są
małe w porównaniu z wartościami zmiennych
x1,x2, ... xn niepewność maksymalną
wielkości y wyliczamy z praw rachunku
ró\
niczkowego:
Prawo przenoszenia niepewności
Niepewność standardową wielkości zło\
onej
y=f(x1,x2,...xn) obliczamy z tzw. prawa
przenoszenia niepewności jako sumę
geometryczną ró\
niczek czÄ…stkowych
Zasady wyznaczania niepewności
pomiaru
Wyznaczanie niepewności pomiaru składa się z
następujących kroków:
Określenie wielkości mierzonej (wielkość wyjściowa), wielkości
wpływających na wynik pomiaru i jego niepewność (wielkości
wejściowe) oraz zale\
ności pomiędzy wielkościami wejściowymi a
wielkością wyjściową (model pomiaru)
Zebranie informacji o wartościach i niepewności wielkości wejściowych (np.
błędy graniczne przyrządów pomiarowych, niepewności wzorców lub
materiałów odniesienia, serie wyników powtarzalnych pomiarów)
Wyra\
enie niepewności związanych z wielkościami wejściowymi za pomocą
odchyleń standardowych (niepewności standardowe wielkości
wejściowych). Stosowane są metody: A  statystyczne oraz B  inne
Przeliczenie standardowych niepewności wielkości wejściowych na
standardowe niepewności składowe wielkości wyjściowej (wyniku
pomiaru) z wykorzystaniem modelu pomiaru i obliczanych
automatycznie pochodnych czÄ…stkowych
Połączenie standardowych niepewności składowych w standardową
niepewność zło\
onÄ… wyniku pomiaru
Obliczenie niepewności rozszerzonej wyniku pomiaru
Normy
PN-EN ISO 10012:2004 Systemy zarzÄ…dzania
pomiarami. Wymagania dotyczące procesów
pomiarowych i wyposa\
enia pomiarowego
PN-ISO 497:2002 Przewodnik wyboru ciÄ…gu liczb
normalnych i ciągów zawierających kolejne
zaokrąglone wartości liczb normalnych
PN-ISO 5725-1:2002 Dokładność (poprawność i
precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Część 1: Ogólne zasady i definicje
PN-ISO 5725-2:2002 Dokładność (poprawność i
precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Część 2: Podstawowa metoda określania
powtarzalności i odtwarzalności standardowej metody
pomiarowej
Normy
PN-ISO 5725-3:2002 Dokładność (poprawność i
precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Część 3: Pośrednie miary precyzji standardowej metody
pomiarowej
PN-ISO 5725-4:2002 Dokładność (poprawność i
precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Część 4: Podstawowe metody wyznaczania
poprawności standardowej metody pomiarowej
PN-ISO 5725-5:2002 Dokładność (poprawność i
precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Część 5: Alternatywne metody wyznaczania precyzji
standardowej metody pomiarowej
PN-ISO 5725-6:2002 Dokładność (poprawność i
precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Część 6: Stosowanie w praktyce wartości określających
dokładność
Normy
PN-ISO 7976-1:1994 Tolerancje w budownictwie. Metody
pomiaru budynków i elementów budowlanych. Metody i
przyrzÄ…dy
PN-ISO 11095:2001 Kalibracja liniowa z zastosowaniem
materiałów odniesienia
PN-ISO 11843-1:2003 Zdolność wykrywania. Część 1:
Terminologia
PN-ISO 11843-2:2003 Zdolność wykrywania. Część 2:
Metodologia w przypadku kalibracji liniowej
PN-ISO 11843-3:2007 Zdolność wykrywania. Część 3:
Metodologia określania wartości krytycznej zmiennej
odpowiedzi bez u\
ycia danych z kalibracji
PN-ISO 11843-4:2007 Zdolność wykrywania. Część 4:
Metodologia porównywania minimalnej wartości.
wykrywalnej z wartością podaną
PN-71/N-02050 Metrologia. Nazwy i określenia
Przykład 1
Zaokrąglić liczbę 1953,5091 do formatów z ostatnią
cyfrÄ… znaczÄ…cÄ… kolejno na miejscach od trzeciego po
przecinku do czwartego przed przecinkiem.
StosujÄ…c zasady mamy kolejno:
1953,509; 1953,51; 1953,5; 1954;
Przykład 2
Mierzymy rezystancję opornika R z rozdzielczością
pozwalajÄ…cÄ… na otrzymanie wyniku czterocyfrowego,
podanie wyniku w postaci:
R = 29,82 Ä…0,02385 &! - z
le!!!
jeśli błąd dx = 0,02385 &!, wynik ten powinien być zaokrąglony do dx = 0,02 &!
R = 29,82 Ä…0,02 &! - dobrze!!!
Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:
Otrzymuje się układ równań liniowych dla
niewiadomych a i b
Rozwiązując ten układ równań otrzymuje się
wyra\
enia na a i b
Z praw statystyki mo\
na wyprowadzić wyra\
enia
na odchylenia standardowe obu parametrów
prostej:
Linearyzacja danych
eksperymentalnych
ZaokrÄ…glanie liczb
Zaokrąglanie jest operacją zastępowania cyfrowej
reprezentacji x liczby rzeczywistej x& cyfrowÄ…
reprezentacjÄ… y tej\
e liczby x& , ale o mniejszej
ilości cyfr znaczących.
Liczbę x będziemy nazywali liczbą zaokrąglaną, a
liczbÄ™ y  liczbÄ… zaokrÄ…glonÄ….
Niech liczba zaokrÄ…glona y ma ostatniÄ… cyfrÄ™
znaczÄ…cÄ… na pozycji J, niech dalej liczba
zaokrÄ…glana x jest zapisana w postaci ciÄ…gu cyfr
(dK-1 dK-2 ... dJ+1 dJ , dJ-1 dJ-2 ...)×10J .
Zaokrąglanie normalne jest określone zale\
nością:
gdzie roundJ ()  operator zaokrÄ…glania normalnego do
ostatniej cyfry znaczÄ…cej na pozycji J.
Zaokrąglanie w górę polega na utworzeniu y przez odrzucenie
wszystkich cyfr x po dJ i dodaniu doń 10J (je\
eli któraś z
odrzuconych cyfr jest ró\
na od zera) lub pozostawieniu tak
otrzymanej reprezentacji (je\
eli wszystkie odrzucone cyfry
sÄ… zerami).
Zaokrąglanie w dół czyli obcinanie polega na utworzeniu y
przez odrzucenie wszystkich cyfr x po dJ .
Ogólna reguła mo\
e więc przyjąć następującą formę:
Ostatnia cyfra znaczÄ…ca w ka\
dym wyniku powinna
być tego samego rzędu (stać na tym samym
miejscu dziesiętnym) co błąd.
Na przykład:
Wynik 92,81 z błędem 0,3 powinien być zaokrąglony
do 92,8 Ä…0,3.
Jeśli błąd równy jest 3, to ten sam rezultat nale\
ałoby
zapisać jako 93ą3,
jeśli zaś błąd wynosi 30, to zapis powinien być 90 ą30.
Jest wyjątek od podanej tu reguły.
Jeśli pierwsza cyfra błędu jest mała (l lub być mo\
e 2),
to mogłoby być właściwe pozostawienie w
odpowiedzi jeszcze jednej cyfry znaczÄ…cej.
Przykładowo, wynik taki jak:
L = 27,6 Ä… l cm
jest zupełnie rozsądny.
jego zaokrąglenie do 28 ą l powodowałoby utratę
informacji.
PODSUMOWANIE
" Ka\
dy pomiar w laboratorium jest obarczony
niepewnością pomiarową, którą eksperymentator
musi określić zgodnie z pewnymi zasadami.
" W pierwszej kolejności nale\
y przeanalizować
z
ródła błędów, pamiętając, aby wyeliminować
wyniki obarczone błędem grubym. W laboratorium
studenckim błędy systematyczne z reguły
przewy\
szają błędy przypadkowe.
" Wielokrotne powtarzanie pomiarów, gdy dominuje
błąd systematyczny, nie ma sensu. W takim
przypadku dokonujemy tylko 3-5 pomiarów w
tych warunkach w celu sprawdzenia
powtarzalności.
" Gdy błąd przypadkowy dominuje w
eksperymencie, nale\
y sprawdzić czy rozkład
wyników mo\
e być opisany funkcją Gaussa czy
te\
nale\
y spodziewać się innego rozkładu. W
tym celu dokonujemy wielokrotnego (np. 100
razy) pomiaru w tych samych warunkach,
obliczamy średnią i wariancję rozkładu, rysujemy
histogram, etc.)
" Jako miarę niepewności stosujemy raczej
niepewność standardową, rzadziej niepewność
maksymalnÄ….
" W przypadku wielkości zło\
onej, stosujemy prawo
przenoszenia błędu. Staramy się przeprowadzić
analizę niepewności wielkości zło\
onej tak, aby
uzyskać informacje dotyczące wagi
przyczynków, jakie wnoszą do całkowitej
niepewności pomiary poszczególnych wielkości
prostych. W tym celu nale\
y analizować
niepewności względne.
" Wa\
nym elementem sprawozdania z przebiegu
eksperymentu (i to nie tylko w laboratorium
studenckim) jest wykres. Wykresy sporzÄ…dzamy
zgodnie z dobrymi zasadami, pamiętając o
jednoznacznym opisie.
" Zawsze, gdy to mo\
liwe, dokonujemy linearyzacji
danych eksperymentalnych, np. rysujÄ…c y i ln (x),
lub log y i log x, lub y i 1/x itp. Do tak
przygotowanych danych mo\
na zastosować
metodÄ™ regresji liniowej
" Je\
eli znane sÄ… podstawy teoretyczne badanego
zjawiska, na wykresie zamieszczamy krzywÄ…
teoretyczną (linia ciągła) na tle wyraz
nych
punktów eksperymentalnych (dobieramy
odpowiednie symbole i nanosimy niepewności
eksperymentalne). Mo\
emy wcześniej dokonać
dopasowania parametrów przebiegu
teoretycznego w oparciu o znane metody
 dopasowania
Zasada rysowania wykresów
2. Trzeba nanieść błąd pomiaru
3. Dobrać zakresy osi współrzędnych odpowiednio do
zakresu zmienności danych pomiarowych !!!
4. Właściwie opisać osie współrzędnych i dobrać
skalÄ™, tak aby Å‚atwo mo\
na było odczytać wartości
zmierzone.
5. Nie łączyć punktów eksperymentalnych linią
łamaną!!! Jeśli znany jest przebieg teoretyczny to
dokonać dopasowania teorii do doświadczenia
6. Zadbać o aspekt estetyczny wykresu (opis,
zamknięcie ramką, itp.)
Metoda najmniejszych kwadratów
Regresja liniowa