Pole magnetyczne wywołane
przez przepływ prądu
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Podstawy Fizyki
Halliday, Resnick i Walker Rozdział 30
M.C. Esher grafik holenderski
Belvedere
Niemo\
liwy sześcian Eschera
Pole elektryczne wywołane
przez rozkład ładunku
Element o ładunku dq wytwarza pole
elektryczne o natę\
eniu dE równym
1 dq
dE = .
4Ą�0 r2
1 dq
dE = r .
4Ą�0 r3
Aby znalez
ć natę\
enie pola elektrycznego
wytwarzanego przez cały obszar zapełniony
ładunkiem nale\
y obliczyć całkę objętościową.
Indukcja magnetyczna wywołana przez
prąd elektryczny
Rozpatrzymy element ds
przewodnika liniowego
przez który płynie prąd o
natę\
eniu I.
Wprowadzimy wektor
ds o długości ds i
kierunku zgodnym z
przepływem prądu w
elemencie ds.
Indukcja magnetyczna wywołana przez
element prądu elektrycznego
Definicja elementu prądu:
dI = I�"ds .
Je\
eli wyznaczymy wektor
indukcji w punkcie P
dB(r)
o wektorze wodzącym r
pochodzący od elementu
prądu , to sumując
dI
wkłady od innych
elementów prądu
znajdziemy całkowity
wektor indukcji
wytwarzanej przez
przewodnik w punkcie P.
Prawo Biota-Savarta
W wyniku doświadczeń ustalono związek pomiędzy
elementem prądu i wektorem wodzącym punktu P. Element
dI = I�"ds r
prądu tworzący z wektorem wodzącym punktu
P kąt �, wytwarza pole magnetyczne charakteryzowane przez
dB
wektor indukcji o długości dB
�0 Ids �"sin� �0 Ids �"rsin�
dB = = ,
4Ą r2 4Ą r3
gdzie stała �0 jest nazywana przenikalnością
magnetyczną pró\
ni �0 = 4Ą�10-7 T �" m/A.
dB jest długością iloczynu wektorowego, który określa
dB .
kierunek wektora
�0 Ids �r
dB = (prawo Biota -Savarta).
4Ą r3
Jean-Baptiste Biot
Urodzony: 21 kwietnia 1774 w Pary\
u
zmarł: 3 lutego 1862 w Pary\
u
Felix Savart asystent Biota
urodzony: 30 czerwca 1791 w
M�ziŁres, Francja
zmarł: 16 marca 1841 w Pary\
u,
Pole magnetyczne wytworzone przez prąd
płynący w długim przewodzie prostoliniowym
Przewodnik mo\
na uznać za nieskończenie długi,
zatem wektor indukcji nie zale\
y od poło\
enia
elementu ds, a jedynie od jego długości i kąta
pomiędzy wektorami .
ds i r
dB
Wektor indukcji magnetycznej jest
prostopadły do płaszczyzny, w której le\
ą
wektory i skierowany jest za tę
ds i r
ds
płaszczyznę.
�
�
�
�
r
�0 Ids �"sin�
dB
dB =
I
4Ą r2
R
P
Wektor indukcji magnetycznej
wytwarzany przez element prądu
Ć
�0 Ids �r
dB = .
4Ą r2
Ć
�0 Ids �r
B =
+"
4Ą r2
Symetria pola magnetycznego nieskończonego
prostoliniowego przewodnika
W ka\
dej z płaszczyzn prostopadłych do
przewodnika pole wektorów indukcji jest takie
same. Ma ono symetrię walcową. Dowolny
obrót w płaszczyz
nie dookoła przewodnika nie
zmienia obrazu pola wektorów indukcji.
E
q
I
B
I
Pole magnetyczne Pole elektryczne
Porównanie pola elektrycznego ładunku
punktowego i pola magnetycznego prądu
E
q
I
B
Pole radialne
Pole wirowe
Obydwa pola mają symetrię kolistą  nie zmieniają
się gdy dokonujemy dowolnego obrotu dookoła osi
przechodzącej przez środek współśrodkowych
okręgów, prostopadłej do płaszczyzny rysunku.
Geometria zagadnienia
Wybierzemy początek układu współrzędnych
w punkcie 0 przewodnika. Element ds dolny i
górny dają taki sam wkład.
ds
�
�
�
�
" "
�0I sin�
B = 2 dB = ds
+" +"
r 0 0
s
2Ą r2
dB
Lecz:
0
R
P
r2 = s2 + R2 .
R
sin� = sin Ą - � =
( )
ds
s2 + R2
Obliczenie całki
" "
�0I 1 R
B = 2 dB = ds =
+" +"
0 0
2Ą s2 + R2 s2 + R2
"
�0I R
ds =
3/2
+"
0
2Ą
s2 + R2
�0I
( )
Ostateczny wynik : B =
2ĄR
"
�ł łł
�0I s �0I 1
�ł śł
= lim =
1/2 1/2
s"
�ł śł
2ĄR 2ĄR
s2 + R2 1+ R2/s2
( ) ( )
�ł �ł0
�0I �0I
lim 1- R2/2s2 = .
( )
s"
2ĄR 2ĄR
Sprawdzenie poprawności obliczenia całki
R s
F(s) = =
3/ 2 1/2
+"ds s2 + R2
R s2 + R2
( ) ( )
du(x)/dx v(x) - u(x) dv(x)/dx
�ł łł
d u(x) [ ] [ ]
=
�ł śł
dx v(x) v2(x)
�ł �ł
1/2
ds 2s
s2 + R2 �" + s
( )
1/2
�ł łł
ds
s2 + R2
( )
dF(s) 1 d s 1
�ł śł
= = �" =
1/2
�ł śł
ds R ds R
s2 + R2
( )
s2 + R2
( )
�ł �ł
1/2
2s
s2 + R2 - s
( )
1/2
2 s2 + R2 s2 + R2 - s2
( ) ( )
1 1 R
�" = �" = .
3/ 2 3/ 2
R R
s2 + R2
( )
s2 + R2 s2 + R2
( ) ( )
Pole magnetyczne prostoliniowego
przewodu z prądem
I
Pole magnetyczne
przewodników z prądem
Spirala
Pojedyncza pętla
Reguła prawej dłoni
B
B
B
B
I
I
Nale\
y uchwycić przewód prawą dłonią w taki sposób,
aby kciuk wskazywał kierunek płynięcia prądu. Wtedy
palce wskazują kierunek linii pola magnetycznego
B
wytworzonego przez element przewodnika. Zmiana
kierunku płynięcia prądu powoduje zmianę zwrotów
wektorów.
Dwa równoległe długie przewody z prądem
Wielkość wektora indukcji pola magnetycznego
wytwarzanego przez przewód a w ka\
dym punkcie
prostej, na której le\
y drugi przewód (przewód b):
�0Ia
Ba =
2Ąd
Siła z którą przewód a działa na przewód b

Reguła prawej dłoni wskazuje na to, \
e wektor
indukcji magnetycznej w punktach prostej b jest
prostopadły do płaszczyzny  w której le\
ą przewody
i skierowany za nią. Siła z którą działa przewód a na
Fba = IbLb �Ba
odcinek L przewodu b:
Siły działające między dwoma odcinkami
o długości L równoległych, długich
przewodów z prądem
Kierunek siły
Fba :
Fba = IbLb �Ba
Lb
Fba
�0Ia
Ba =
Ba
2Ąd
�0Ia �0LIbIa �0Ib
Fba = IbL sin90o = = IaL = IaLBb = Fab
2Ąd 2Ąd 2Ąd
Bb
Oddziaływanie przewodników
liniowych z prądem: wnioski
Obserwacja : Fba = -Fab .
Dwa równoległe przewody, w których płyną prądy
o jednakowym zwrocie przyciągają się.
Gdy zwroty prądów są przeciwne
La
to a zatem tym razem
La = -Lb,
Fba
Fba siła oddziaływania le\
y w
płaszczyz
nie  i jest siłą
Lb
odpychania. Przewód b odpycha
Ba
przewód a. Podobnie a odpycha b.
Andr� Marie AmpŁre
ur: 20 stycznia 1775 w Lyonie,
zm. : 10 czerwca 1836 w Marsylii,
Andr� Marie AmpŁre
AmpŁre był francuskim fizykiem,
który poło\
ył podwaliny pod rozwój
elektrodynamiki. Zajmował się
matematyką  napisał dzieło
poświęcone teorii gier i rachunkowi
wariacyjnemu, równaniami
ró\
niczkowymi i geometrią
analityczną. Zajmował się tak\
e
AmpŁre
chemią. Wykładał analizę
i Arago
matematyczną w paryskiej the Ecole
powtarzają
Polytechnique i w prowadził własne
doświadczenie
wykłady w słynnym CollŁge de
�rsteda
France.
Prawo AmpŁre a  magnetyczny
odpowiednik prawa Gaussa
W przypadku elektrostatyki ładunek elementu dq daje
wkład do natę\
enia pola elektrycznego:
-1
dE = 4Ą�0 dqr / r3 .
( ) ( )
Po wykonaniu na ogół skomplikowanego całkowania
mo\
na znalez
ć pole elektryczne rozkładu ładunków.
W szczególnych przypadkach jednak mo\
na było
zastosować całkowe twierdzenie Gaussa.
Istnieje twierdzenie całkowe, które pozwala znalez
ć
wypadkowe pole magnetyczne układu prądów bez
u\
ywania wzoru i całkowania.
dB = �0 / 4Ą Ids �r /r3
( )( )
Prawo AmpŁre a
(Jemesa Clerka Maxwella)
prąd przed płaszczyznę
prąd za
płaszczyz-
C
nę
Kontur C obejmuje przewody (na sąsiednim
rysunku dwa, nie obejmuje trzeciego).
prąd przed płaszczyznę
prąd za
płaszczyz-
C
nę
Prawo AmpŁre a: Całka z wektora indukcji po
konturze zamkniętym obejmującym przewodni-
ki liniowe jest proporcjonalna do całkowitego
natę\
enia prądu IP przepływającego przez
powierzchnię płaszczyzny ograniczonej
konturem:
Bds = �0Ip .
+"
C
Wyznaczenie znaku prądu:
reguła prawej dłoni
Ułó\
prawą dłoń wzdłu\

konturu, tak aby palce
wskazywały kierunek
obiegu konturu. Je\
eli
prąd płynie w
przewodniku
przecinającym
płaszczyznę konturu i
jest skierowany w
C
+I3
kierunku kciuka 
przypiszemy mu znak
 + , je\
eli w kierunku
przeciwnym  znak  - .
Sumę algebraiczną
IP=I1-I2.
prądów
przepływających przez
Prąd I3 nie przecina obszaru
kontur oznaczymy
ograniczonego przez kontur
przez IP.
Pole magnetyczne na zewnątrz długiego
prostoliniowego przewodnika z prądem
Przez długi prostoliniowy
przewód płynie prąd przed
płaszczyznę rysunku.
Wtedy pole magnetyczne ma
symetrię walcową i B ma tę
samą wartość we wszystkich
punktach współśrodkowych
okręgów. Obieg konturu
jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Wektory
ds , B
są w ka\
dym punkcie okręgu styczne do okręgu i równoległe
do siebie, zatem � = 0, cos� = cos0 = 1.
B ds �"cos0 = B ds = 2ĄrB =�0Ip �! B = �0Ip / 2Ąr.
+" +"
C C
Uwaga
Zwrot wektora nie jest określony. Gdybyśmy
B
otrzymali ujemną wartość B, to nale\
ałoby zmienić
kierunek obiegu konturu.
Pole magnetyczne wewnątrz długiego
prostoliniowego przewodu z prądem
Zastosujemy prawo
AmpŁre a do wyznaczenia
pola magnetycznego
wewnątrz prostoliniowego
przewodu o przekroju
kołowym, R jest jego
promieniem. Przez przewód
płynie prąd elektryczny o
natę\
eniu I i stałej gęstości.
Kontur całkowania w
kształcie okręgu o promieniu
r znajduje się wewnątrz
przewodu (rPole magnetyczne wewnątrz długiego
prostoliniowego przewodu z prądem
Ze względu na równomierny rozkład prądu w przewodzie
towarzyszące pole magnetyczne musi mieć symetrię walcową.
Lewa strona wzoru reprezentującego prawo AmpŁre a
przyjmuje postać:
B �"ds = B ds = 2ĄrB.
+" +"
C C
Nale\
y obliczyć natę\
enie prądu płynącego przez kontur:
gęstość prądu j = I/(ĄR2). Prąd przez kontur IC=j Ąr2=I (r/R)2.
r2 �0I
2ĄrB = �0I �! B = r .
R2 2ĄR2
�0I �0I
Gdy r=R otrzymujemy znany wynik:
B = R = .
2ĄR2 2ĄR
Solenoidy

Solenoid, w którym płynie prąd I.
Oś solenoidu le\
y w płaszczyz
nie .
Linie pola magnetycznego w solenoidzie
2R
Warunek: L>>R
L
Przekrój solenoidu i wytworzonego w nim pola
magnetycznego otrzymany przy pomocy
płaszczyzny  przechodzącej przez oś solenoidu.
W punktach
bliskich zwojom
pole magnetycz-
2R
ne jest bliskie
polu przewodów
prostoliniowych.
L
W tych punktach linie sił pola elektrycznego są
współśrodkowymi okręgami. Wewnątrz solenoidu i na
zewnątrz w punktach odległych od zwojów linie sił
pola magnetycznego są niemal równoległe. Gęste
wewnątrz (du\
y gradient B) i rozrzedzone na zewnątrz
(mały gradient B).
Linia sił pola magnetycznego
wewnątrz rzeczywistego solenoidu
Słabo zmienne
pole magnetyczne
Silnie zmienne
pole magnetyczne
Idealny solenoid
W przypadku idealnego, długiego solenoidu całe
pole magnetyczne skoncentrowane jest wewnątrz
niego. Na zewnątrz solenoidu pole znika.
Kontur całkowania
Zastosujemy twierdzenie AmpŁre a. Wybierzemy
kontur całkowania abcd w formie prostokąta z
kierunkiem obiegu przeciwnym do wskazówek
zegara. Długość boku prostokąta || do granicy
solenoidu wynosi h. Kontur obejmuje obszar na
zewnątrz solenoidu  bez pola i obszar w jego
wnętrzu, gdzie B`"0.
Pole magnetyczne wewnątrz
idealnego, długiego solenoidu
b c d a
Bds = Bds + Bds + Bds + Bds.
+" +" +" +"
+"
a b c d
Na odcinku ab:
B || ds �! Bds = Bds.
Na odcinku bc:
B Ą" ds �! B �"ds = 0.
Na odcinku cd:
B = 0 �! 0�"ds = 0.
Na odcinku da:
w solenoidzie : B Ą" ds, po za solenoidem B = 0 �! B �"ds = 0.
b
Ostatecznie: Bds = Bds = Bh
+"
+"
a
b
Bds = Bds = Bh
+"
+"
a
Przyjmijmy, \
e gęstość zwojów wynosi n m-1.
Wybrany kontur obejmuje nh zwojów. Natę\
enie
prądów IP przechodzących przezeń równe jest Inh.
Z twierdzenia AmpŁre a otrzymujemy
Bh = �0I0 = �0nhI �! B = �0nI (idealny solenoid).
Wewnątrz dostatecznie długiego solenoidu pole
magnetyczne jest jednorodne i nie zale\
y od jego
średnicy ani od długości.
Toroid - wybór konturu AmpŁra
Solenoid nawinięty na okrąg nazywa się toroidem.
W ka\
dym punkcie konturu:
B || ds .
Bds = B ds = B(2Ąr).
+" +"
Przekrój idealnego toroidu. Linie sił pola B tworzą
współśrodkowe okręgi. Wybierzemy kierunek
przepływu prądu tak, aby linie sił pola skierowane
były przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Niech konturem całkowania będzie okrąg o
promieniu r, współśrodkowy z liniami sił pola.
W twierdzeniu AmpŁre a nale\
y uwzględnić
wszystkie zwoje. Niech N będzie ich liczbą
�0N �" I
2ĄrB = �0IP = �0N �" I �! B = (idealny toroid) .
2Ąr