3582318186

Powtórka: macierze i rozkłady, 2012/2013, U rok Barbara Będowska-Sójka, Katedra Ekonometrii

1 Macierze

1.1    Transpozycja macierzy

(AB)^r = B^rA^r

1.2    Macierz symetryczna

to macierz kwadratowa, o tej samej liczbie wierszy i kolumn, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są równe;

A = [a_tf] stopnia n, która dla i, j = 1 spełnia a_ij = a_fi A^r = A

Czy macierz (X'X)jest macierzą symetryczną?

Dla dowolnej macierzy A macierz AA^T jest symetryczna; ponadto AA^r = (AA^T)^T a więc macierz ta również jest symetryczna

1.3    Ślad macierzy tr(A) to suma elementów na głównej przekątnej.

Podstawowe własności: tr(cA) = c(ó*(A))

tr(cA) = c(tr(A)) tr(A') = tr(A) tr(A+B) — tr(A) + tr(B) tr(l_K) = K_tr{l_n) = n tr( AB) = tr(BA) a'a = /r(a'a) = n(aa')

tr{ A'A) = V_a;a, = XS^a5

/=!    i=l j=\

rr(C AC) = /r(ACCj = /r(AI) = rr{ A) = /r(A)

1.4    Rząd macierzy

- maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy (największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy)

r(AB) == min{r(A); r(B)}

1.5    Wyznacznik macierzy:

suma iloczynów elementów dowolnej kolumny (wiersza) macierzy i odpowiadających im dopełnień algebraicznych (dla macierzy kwadratowej, n>l) det(AB) = det(A)*det(B)