3582319894

1)

Definicja funkcji konsekwencji

Cn P(F) „x -> CnlX) - PCF)

X - jakiś podzbiór zb; F. F- zb Formuł, P(F) - rb. wszystkich podzb. F Drf

A=Cn(X) - a n*N BAuĄj.....A,-- F A„=»Aoraz t icn AeTkf# lub rk,j<l

Ą«=A.->A.

gdzie A;.'do zb konsekwencji X czyli A ma dowód na gruncie X.

X - założenia. T - aksjomaty. A_: A„ - kroki dowodowe Własności funkcji konsekwencji:

1)    XuT Cn(X) założenie i

A- => Ae Cn(X). n=l. A:=A arazAeTi.X

2)    TcCnm - Cn(o)=o Cni X)

1)

X»T

1) X*T; AaT-jT-T

Problem pełności KRZ W jakim stosunku jest zbiór twierdzeń do

dwuelementowej algebry zdańT = E(M)

twierdzenie o trafności aksjomatyzacji

twierdzenie o pełności I każda prawda da się udowodnić)

Problem pełności KRZ:

1)    twierdzenie o trafności aksjomacjr TcE{M) - t jest tautologią

1    A jest aksjomatem KRZ => A- El Mi =»A jest tautologią

2    A. A*>Bc E(M) => B-.E(M)

2)    twierdzenie o pełności Jeżeli

RO:

(Al)e EłM)

(A2)-(A9) = E(M) - oredog f.A->Bt EtM) •> BnE(M)

11A,A->- EIMl(zal)

2)

3) X «=Y =»> Cn(X) c.Cn(Y)

4jCn(X)vCniY)cCn(XvYł

₅, LjCn(X)<=Cn( k.j X)

xeK    ajeK

6)    Cn({A } )a Cni {8}) «Cn({AvB»

7)    C n(( A vB) )»C n( { A •- B })

8) Cn«A -A>M

9) Cn((AJV' Cn({«A})t»T

10) Cn(Cn(X))c.CnlX)

2) X«o: AeTuo =T

Aksjomatyka Łukasiewkza:

tl) (A->B)-:>[(&->C)->fA->C))

L2)(-A->A)->A

L3) A-»(-A->Bl    - prawo przepełnienia

RO) A. A-»B tT »> B=T

Im wiece) założymy, tym wlec ej udowodnimy (3 wł. f. konserw.)

Z- XcY

T: Cn(X)c£n(Y) Dowód:

A=Cn(X) »il ncN JA_V.A>.....A^= F A-*»Aoraz v l<.nAeToX lub vk.)<l

Ą=A_k->A,. jeżeli X--iY «> TuXrTuY-?>A*T'UY s'.fdef) AeCn(Y)

TDW BeCn(Xu{A3. AZ An))->Al-»(A2-> ->An->B). )=Cn(X| TDNC -ĆeCn(Xo(Al. ... An. -B}) -> Ał-»lA2->... ->An->B)...)i:Cn

Opis aksjomatyczny zbioru twierdzeń T ^ F

T-zbiór twierdzeń. Niech A B.C .. £ F. WówczasT jest najmniejszym

zbiorem |vv sensie mnogościowym) spełniającym poniższe warunki:

(Al) A-»(B->A)

(A2I [A->(B->C)]->|lA->B)->lA-»C)|

(A31A '• B -»A (A.ł)A ^A B •> B

5)    (4) I (3) sprzeczne

6)    B^E(M| (1-5 TDN)

Własności zbioru zdań XcF    (KRZ)

1)    Pełność T=E(Mi (artm niepełna Ełarrml -T

2)    system dedukcyjny Xc:F jestsys dedukcyjnym '»(def) Cn(X)=

3) X_F jest mesprzeczny a(def) -3AeF A. -A*Cn(X) (inaczej Cn(X)«F) | wlasnościzb mesprzecznych:

1)    o • mesprzeczny (Cn(i>)=T-*F)

2)    podzbioty zb. mesprzecznycń są zb. meso rzeczny mi (monotonicznośc Cn)

3)    X'_'{-A> jest niesprzeczny =» A*Cn(Xl il d 3) prawa strona

1) A:Cn(X)    zal mewprost

2) A=Cn(X'.v{—A/) (1 monot. Cn)

3)    -AcCn(X-..{-A}) (1 własność Cn)

4)    kroki 2) - 3)sa sprzeczne D)A*Cn(X) (1-4. TDN) d-d Iowa strona

1)    Xu{-A> sprzeczny

2) AeCn(Xw{-Ą»

3)    (—A-»A) -- Cn(X)

4)    (-A->A)->AtCn(o)s.Cn(X) (KRZ)

5)    AeCn(X) (3.4. RO)

6)    5 sprzeczna z zatarzemem (strona prawa??)

(zal mew prost)

(1, def mesprzecznosci) (2 TDW)

Zenon z lilel - Dychotomia - pokonanie każdego odcinka zabiera jakiś czas dlatego pokonanie całego dystansu zabierze nam nieskończenie wiele czasu (cabść dzielimy na pól potem połówkę na pół potem ćwiartkę na pół,, mamy w ten sposob nieskończenie wiele odcinków) Arystoteles klasyczna definicja prawdy-prawdziwy jest sad lubadanie zgodne z rzeczywistością Ograniczenia : zgodność - jak sad maże być zgodny ze stanem rzeczywistym 2 w pki sposób stwierdzić zgodność -brak kryterium zgodności Semantyko Najwyższe prawdy myślenia

1)    Zasada toisant ości A - A. wszelkie A jest tożsame (p -^s p)

2)    Zasada sprzeczności

•Wersja ontoiogiczna: me może być jakoś i zarazem me być -Wersja logiczna zdania sprzeczne me mogą być prawdziwe -(p*-p) -Wersja psychologiczna me podobne jest by ktokolwiek był przekonany ze jakoś tam jest a zarazem nie jest

3)    Zasada wtaczanego środka: nie ma mc pomiędzy zdaniami

p v~p (logika zdania sądwuwartosciowel Logika to wiedza która dsieii się na pojęcia (drfinlcje)i sądy(dowody)PaJecia aby określić rodzaj podaj się rodzaj bliższy ♦ tóżnicęgatunkową (kwadrat = prostokąt ♦ wszystkie boki równa)

Sady sad szczegółowy odwołuje się do bardziej ogólnych Sokrates - |ego teoria logiki, była teoria poszukiwania wiedzy Stosował metodę składającą się z 2 części Pierwsza z nich to metoda elenktyczna Izbijania). druga to metoda maieutyczna

Met. Elenktyczna - fałszywą tezę Sokrates przyjmował poważnie i pytaniami zmuszał do wyciągana z tezy konsekwencji tak długo aż doprowadziły do stwierdzenia sprzecznego z tezą,

Met Maieutyczna - (nazywał ją met położniczą), Mniemał, ze każdy czbwiek nosi w sobie prawdziwą wiedzę, trzeba tylko wydobyć zeń prawdę Sokrates postępował w an sposób. 2e zbrone pytania dzieli! r«a naj pros trze i dawał im formę rozjemczą, tak iż odp niewiele wymagała samodzielności i sprowadzała się do powiedzenie : tak lub me.

Szkoła megarejska (Euklides z Megaiy) - antynomie semantyczne:-ancynomia kłamcy, czy mówi prawdę ten kto mówi, że mówi nieprawdę? Antynomia hetero logiczny:

Wyraz - W jest heterologczny •-* „W" me jest W

Wyrazy oznaczaja realne przedmioty np. .kreda" me jest kredą - wyraz heterologiczr.y wyrazem me fetsrologicznym jest „wyraz", bo Jest tym samym co wyraz Jeśli za W i „W" podstawimy hetero logiczny, to otrzymamy sprzeczność.

Alfred Tars ki tworzy semantyczna definicje prawdy odróżniając j^yk przedmiotowy od metajęzyka który opisuje język przedmiotowy

KRK

1 Alfabet

1)    <xi>. e lo- zmienne indywiduows w Ilaści lo (zm boobwskie)

2)    (cl), lel_f -stałe indywiduowe łPi e.CLl)

3)    {Fi}. 1=1.    - symbole funkcyjne(działań) i-te działanie jest co

najmniej 1-dno argumentcaye (v ** t -)

4)    {Pi} isl, -symbole relacji (predykatów) (* <>)

5)    {- .->}    - stałe logiczne

6)    {•■'. 3}    -stale logiczne (symbole kwantyfikatoiów)

{ci) {Fi}, (Pi} - stale doiwlrse {xij - zmienne

Zbiór taimów -T formula kat naavowej -jest najmniejszym zbiorem spelmajacym warunki

l.tdęT vie lo a.cbT-rfcll

3.tl,,..tkiti T =»FI( tl,,.tki)eT Viel2 Zasada abstrakcji

Każda relacja równoważności wyznacza podział logiczny (klasyfikacje)

zboru na który jest ona określona tzn podział na takie podzbbry

które są parami rozłączne i w sum le dają każdy obszar określonosci

rozważanej relacji

(l)xRx [R zwrotna I

(2 )xRy (R-symetrycznal

(3)xRy.-xRz «> xRz (R przechodnia)

Niech X=i.' 5c;X*X rownowązncsc Wówczas dla dowolnego xl.x2- X

1) **- |X1

2) {xl)=|x2|^xl5x2

3) |xlHx2J=» (xlWx2j-£! adl S zwrotna =»xSx =sx=(Xl

ad2 (1)*> xl^Ixll»> lzal)xl= |X2J = (df |))xlSx2 (”: “)Niech x*(xl) =*(df N) xSxl •.x1Sx2=xSx2=h,|x21 ad3 zal nwp |xl|- |x2) r. d-d :De=X;*.- |X 1 }•- x=|X2| — Idf |)) xSxI ,xSx2=3(S sym) xlSx2 •> (S prze-ch) [xlj=|x2] spaecz z zal

Rozdzielanie małego kwantyfikatora wzg koniunkcji:

Kontrprzykład tzbory):

1)    (A->B)->[(A->-B)->-Al

(1)    A->B (zal)

(2)    A-> --B łzą!)

(3)    --A (zal meworost)

(4)    A (XXII'. RO)

(5)    B11.4R0)

(6) -B (2 ARO)

(7)    5 16sprzeczne

(8)    1 € T (1-8 TDN)

2)    (A*’B)0( B* A)

2‘ (A^AB)->(B^AI

(1)    A^B (zal)

121 A"B->A (A3)

(3) A ^AB->B (A4)

(41 A(1.2.R0)

(5)    B (1.3.RO)

(6)    B*>(A->B‘^NA)(A5)

(71 A->B^A(5,6.RO)

I8)B^A (4.7.RO)

(9) 2-e T (1-8 TDW)

2" (B^AA)->!A'B)ĆT(2'WB. 37A)

(112-(2)2 '

(3) 2 ->(2'-->2^,A2^M) IA5)

(4)    2"->2^,'"2" (13.R0)

(5) 2' *■ 2'¹ (2.4.RO)

(6)    2 € T fl-5 TDW)

3) [( A->B)->C]->(-A ->C)

(1)    (A->B)->C (zal)

(2)    -A (zal)

(3)    -A->(A->B) (A9‘ I (41 A->B (2.3, RO)

(5)    C (L4.R0)

(6)    3€T (1-5 TDW)

4)    AO(A vA)

4' A-> (A v A)

II) A (zal)

(2)    A -> A v A (A6)

(3)    A v A (1.2.RO)

(41 4-€T (1-3. TDW)

4" (A v A) -> A

(1)    Av A (żal)

(2)    A ->A (I)

(3)    A->A->|(A->A) ->( A V A) ->A]

(4)    A (3 x RO)

(5)    4" E T (1-4 TDW)

(1) 4

(2) 4-

f3)4->(4'->4’-4") (AS)

(4)    4 •>4^,-4" (1.3,RO)

(9) 4' ^ 4' (2.4,RO)

(6) 4 £ T (1-5 TDW)

5)    (-A*>a->{(B->C)*>[(A->B)->Cj

(1)    -A ->C (zal)

(2)    B->C (zal)

(3)    A->B (zal)

(4)    A->C (II)

(5)    —C->A (1, VII)

(6)    -C->~A(4.VII)

(7)    (-C->A)->(-C->—AJ->C (A9)

(3) C (7, 2 x RO)

(9) 5 6 T( 1-8. TDWI

6)    -(A - -A)

(1) A ^A —A ->A (A3)

(21 A ^ - A -> —A (Arii

(3)    (A*-A->A)->(A^~A->~A)->-(A''-A)(A9)

(4)    -(A'^A -A) (3, 2x RO)

(5)    6 £ T (1-4 TDW)

7)    (A * -(B»C)) •>( (A -B)* -C)

(HA - ~(B v C) (zal)

(2)    A - -(B v C)->A (A3)

(3)    A (1.2.R0)

(4J A ^ -(B V C) -> -(B v C) (A4) (5)-(B v C) (1.4.RO)

(6l-(BvC) -> -B - -C (XXI¹)

(71-B ~ -C (5.8.RO)

(8)    -B (A3. RO)

(9) ~C(A4. RO)

(10)    A->(-B->A" - B) (AS)

(11)    A^ -B 12 x RO)

(12)    (A' -B)->(~C-XA~-Br -C) (A5)

(13) (A^A-Br-C (12. 2 X RO)

(14)    7£T (1-14.TDW)

8)    ({A~-Br-C)-»(A~- (BvC»

(1)    (A • -Br-C (zal)

(2) (A ^A-B)"-C->A^-B(A3)

(3)    (A ' -Br-C->-C (A4 j

(4)    A ^ -B (12,RC)

(5) -C (1.3 ROI

(6)    A ^A -B ->A (A3)

(7)    A ^A -B -> -BIA4)

(8)    A (4.6,RO)

(3) -B (4.7.RO)

(10)    -B-»(-C->-B ' -CJ IA5)

(11)    ~B * -C (1C 2 x RO)

12) -B “ -C -> - (BwC) (XXI -)

(13)    -iBvC) (11.12.R0J

(14)    A ->(-(BvC)->A *-(BvC))

(15)    A ' -(BvC) (14. 2 x RO)

(16)    B £ T (1-15 TDW)

9)    r(A->B) >C]->(B->C) (1I(A->B)->C (zali

(21 B (zal)

(3)    B-»(A*>B) (Al)

(4)    A->B (2.3.ROI

(5)    C (1.4 RO)

(6)    9 6 T (1-5. TDW)

10)    |(A*>B)->AJ->A

(1)    (A->B)->A (zal)

(2)    -A (zal niewpro5tl

(3)    -A ->(A->B) (A9")

(4)    A->B (2..3.RO)

(5)    A (1.4.ROI

(612 i 5 sprzeczne

(7)    10 £ T (1-6. TDN)

11)    (A->B)0(~B->-A)

II’ (A->B1 -> (-B->-A)

(ł) A->B (zali

(2)    ~B (zal)

(3)    —A (zal niewprost)

14)    A(XXir, RO)

15)    B (1,4. RO)

(6) 2 i 5 sprzeczne 17) 11 £ T (1-6, TDN)

11" |~B->~A)->(A->B)

(1)    —B->-A (zali

(2)    A (zal)

(3)    -B (zal niewprost)

* -A (1,3,R0)

(5)    2 14 sprzeczne

(6)    ll"€T(l-5. TDN)

(lin:

(2)11"

(3)    il'->(ll"->!l'~!l") (A5)

(4)    U^M->ll^,<‘ir (1.3.PO)

(5)    U' - li- (2^J.R0)

(6)    11 £T (1-5. TDW)

1)    (Xf I - x+x=x: x+y * y+x: x+|yfz)=»(xi-y)+z

2)    (X*) - x‘x«x: x«y = y »x: x'fy*z)=fx‘y)*z

3) Praiva pochłaniania x(xt ył <= x

xt(xyI= x

Prawa rozdzielności x(ytz) = xy ♦ xz x+(yz) = (x+y)(x+z)

Prawa de Morgana'

-(p v q) ->-p *• -q ~ip -q) •» -pv -q