3582328138

Transformata Fouriera

Przykłady do zadania 1.1:

Korzystając z definicji wyznaczyć transformatę Fouriera podanej funkcji f(t):

-U

dla 0 < t < 1 dla pozostałych t

Dla u> 7^ 0 mamy

f(uj) — / cos (u>t)dt — if sin (u>t)dt = o    o

(a) /(£)

/(0) = /eft = l

o

II sposób: f(u>) — f e~^iMtdt —

(b) m

-i

e * dla t > 0 0 dla t < 0

u>

=1    . / cos(c

=°    ^% \ UJ

ut)

*=i sm uj

t—0

UJ

1 — cosn>^

u

	t=1 e^-^ - 1	ś^^-*^4' — 1)	sin u; .	fl — cosw^
—iu>	t=o — św	UJ	" u;	K uj )

e ^T(— cos(u>T) 4-u; sin (u>T))

/(w) — f e~* cos(u>t)dt — if e~* sin(ut)dt — Jim 1 4- uj²    )

Granice równe są O, bo e~^T -u O przy T —» oo, a reszta funkcji jest ograniczona

_e-t( i+faO _<=T    i

—i lim

T—oo

O    O    T-*oo    1 + UJ²

(—e^-T(sin(u/jT) 4- o> cos (u>T)) ^    . u _    1 .u

^Zl+u>² l + co²    11 4- u>²

+

1 4-u;²

II sposób: /(u;) = / e ^te~^Mtdt — lim    .

^    o    r—oo — (1 + iw)

1 4- św 1 4- w

1    . oj

— i-

1 4- uj²

Obl.pomocnicze:

/ — cos(wt) 9 — & f — —uj sin(u>£) g — — e~*

f — sin {ut)    g — e~*

f —uj cos (ui) g — — e^-t

— e~*(— cos (ut) 4- uj sin(wś)) —ui²f e~* cos (ujt)dt 4- c, cG

„ _{x P}    „ e~*(-cos(wś) 4-wsin(u>£))    „    _

Zatem Je * cos(ut)dt —---5-— 4- C, CG

1 4* u^A

_D , . . _r -_t ■ , ,_W, -e^_t(sin(u>t) 4-wcos(wś))

Podobme Je ^tsm(u;t)at —-7—— -— 4- C, C G

f e ⁴ cos (ut)dt —

(c) f{t)

4!

dla |ć| < 7r dla jtj > 7r

= —e * cos(w£) —ujfe * sin(ujt)dt —

— — e~* cos(cot) — uj (—e^-t sin(wć) 4- uj f e~* cos(ujt)dx) —

14-uj²

funkcja jest parzysta, zatem /(w) — 2 / cos(wś)cft — 2-

0

/(O) = 2fdt = 2?r

sin(wś) t=* 2sin(w7r)

w

t=o

w

dla uj O

II sposób: f(u) — f e~^iUdt —

—TT

—so;

t='7T t=—TT

—uo

2 sin(u>7r)

w

1