3582350690

Algebra H II zadania domowe, seria 3

Zadanie* 1. Znak^r/x- macierz formy kwadratowej r/ w łx*zie dana jest raran y(.r).11² 4- r * - 4.r_;,² 4- 2zi/j 4 6r*11 4

1		1		1
1	.	2	•	3
0		2		1
1 4	fi*a.

.jeaiy:R*-R

Zadank* 2. Niech := Rj|*]. Sprawdzić, że

«:K-R.    ?(») := ('v(t')v{l - t)óf

JO

jest formą kwadratowy. Obliczyć (?(u.r). jeśli u(f) = U 4* a)-. e*(f) := (f - a)², gilzie (<> jest symettyczną f«>nua dwitfiniw^v4 odpowiadającą formie*?. Znaleźć macierz Q\_r formy Q w łvwio jednomianow l. 1.1².

Zadanie 3. Napisać macierz •/ w bazie standardowej przestrzeni R¹ oraz znaleźć metodą La-sygnaturę formy kwadratowej q : R^ł — R. danej wzorem (.1) q(i) X|²-+-z^+ l.r.ł* 4 2xirj 4- 6li*jJ*:i 4- b|Zj. (b) <j(a) := ‘2/iJj - Łr_a* - 2j iz.i 4- 3/_s². W obu przykładach podać przykład bazy (przestnrctii R\l diAft<>n*lizHją<\'j formę y, tzn. takiej, w której macierz formy >] jc*t diagonalna.

Zadanie 4. Niech >>: V' x V' • [< łiędzw* symetryczną formą dwudniowa na V Sprawdzić, że jc-<li W C V j<*t podpr»otrxema| wektorowy, to

,w • 1'* * R* — R je*t niewlcjpwrriwAiia) <■> (irnir¹ - {0}) gdzie W¹ = {v € V': Vu* £ W : lĄv. u*) = 0}.

Zadanie .^r>. w /A.    i •! parametrów ai,o*_ta$ r £ makii sygnaturę formy kwadratowej

q : V = R³ — R. okrttUone) wzorem •/(/) := /^rAr. gdzie

A

«l -ł- łl| <l'j 4 rt| <l_;ł -f H|

tli 4 aj

rt -j 4- (*• a.i 4- a j

ai -f a, aj 4 aj a * 4 ai

Znaleźć k»T<«> - {/ : Qy r) - 0), jeśli Q jot symetryczną formą dwuliniową stowarzyszoną / formą kwadratową q.

I