3582461552

1. Wykład 2(1 III)

Suma. produkt, przestrzeń ilorazowa.

Definicja 1. Suma i produkt przestrzeni wektorowych.

Stwierdzenie 2. Jeśli l jest skończony, to ®_l€l Ij —    dcśli ^ntc* J^c>ft nietrgwialne zawieranie

®„, v. s n,_i( Vt

Definicja 3. Naturalne włożenia i rzutowania.

Stwierdzenie 4. Własność uniwersalna sumy i produktu.

Stwierdzenie 5. Miech V, będą przestrzeniami wektorowymi i niech li, będzie bazą V». Wówczas Yhcl &• jest bazą ®_ł£/ \\.

Uwaga. W przypadku nieskończonego produktu nie ma dobrego opisu bazy.

Definicja 6. Niech W C V będzie |>odpr/estrzenią wektorowy. Na V wprowadzamy relację o *v .t jeśli o - 3 € II'. Jest to relacja równoważności. Klasę równoważności tej relacji nazywamy warstwą i oznaczamy o + II'. Zbiór warstw ma określoną strukturę przestrzeni wektorowej; nazywamy ją przestrzenią ilorazową i oznaczamy Vf\V.

Definicja 7. Homomorfizm rzutowania p: V — V/\V.

Uwaga (*). Ciąg 0 IV -♦ V -* V/W — 0 jest dokładny, tj. obraz poprzedniego przekształcenia jest jądrem kolejnego.

Przykład 1. V/V = 0. P/0 Si V, V ® \V/V Si W.

Stwierdzenie 8. Własność uniwersalna przestrzeni ilorazowej: dla każdego hornomorjizmu / : V — Y takiego, że f\\y — 0 istnieje dokładnie jedno f' '. V/W —* Y takie, że f' 0 p = /. Inaczej:

Hom(vyił'. Y) Si ker ^Hom(V. Y)    Hom(lV. Y)

2. Wykład 3 (3 III)

Definicja 9. Niech / : V —» W będzie homomorfizmein.

• Jądro / to ker(/) = {a e V : /(«) = 0}

• Obraz f to im(/) = {(i € W : 3_o€V /(«) = J]

•    Kojądro f to coker(/) = W/ im(/)

•    Koobraz f to coim(/) = P/ker(/).

Stwierdzenie 10. Obraz i koobraz są naturalnie izomorficzne.

Stwierdzenie 11. Dla f \ V —* IV istnieją naturalnie ciągi

V - im(/) — W

oraz

0 - ker(/) -> V L W — coker(/) -» 0.

Stwierdzenie 12. Własność uniwersalna jądra i kojądra.

Kategorie(*).

Definicja 13. Kategoria C składa się z:

•    rodziny obiektów Ob(C) (niekoniecznie jest to zbiór).

•    dla każdej pary obiektów n.b € Ob{C) dany jest zbiór Morc{a.b) zwany zbiorem morjizmów z a do

b,

•    dla każdej trójki a,b.c£ Ob{C) dane jest działanie

Morc{a,b) x A/orc(b,c) 5 {/■&) ^ fff € Morda, c) zwane składaniem morfizmów.