3582474690

jaw*** *¹

!.**■

_. _S~**»^m' *^4h dU **_c -*>«•*■*«* «*>    Cj*,, ;

,Jm_u ^

,.». z***⁰*

<V,HUV. , fankę,. «r,p.<k>r'-H

>5

s^¹

* *" ; A- będzie /Norem wypukły,* ^L*. ' -“* "*£, ** dewoto^ <*«** ^ *^j,

ftp#** "**    *+

to -*■*■* ^wówcz“’ * ^runkci* ^

«• ^ -/** w"* *, ^£f"^Tołnic- ***-

Jta*? »?P“^Ł*⁷

"^VAT ,1 / ' *    ^WW,,,>m    wypoklytn

ft|.S)>ny- ^{tc f}    ^ wypukU. *6wc,», funkc„ / *»« c,ą«U

1J>*‘^T J;³;*²: ^N,*?^h £l *"**’ ^będ,‘« funkcją f/.łnc/kow.lną ora/ Łsr *«=*“ ^będł'‘^{C 7b,0łCTn Wy}P^uk*>^m F-nkcp. f wypukła wtedy

* _|WO wtedy, gdy    *

/»>/W+<W>,«-Ą,    V*.*»eY;

1.7. As^ftMr: -> ^ »?T*** W funkcja nicwypukła, c) funkcja

(t.17)

5Ł<**) <’^7,,nc7“ ^,u *^{^,}*^d*^{n, f}«nkcji / w punkcie X*

K Jełli n.crównoić (1.37) jest cwr, dU dowolnych x.f«X. p«y ceym $E y *». «° funkcja / jen iciile wypukU . odwrotnie

r powód CsęU 1 Niech będą dane dowolnie wybrane x*. x € X oraz M. (0; D- Oznaczmy k - x-x*. Ponieważ zbiór X jest wypukły. więc

+ żh ^c ^

| Załóimy najpierw. Ze / jest wypukła na X. a zatem

/(^+Ah)<4/iX)+(l‘-X)|/(*).    (1.3*)

HLiejniując A<V/(X*). b> od obu mon (1.38). po prostych przefcsztaice-

||i.,ch mamy:

/(*• + Ab)-fiu*) - A<V/(**>. b>

-J-< /U)-/(jf)-(9/V).fc'_/ (l .39)

Z założenia funkcja / jest różniczkował na. więc gdy A—O*. Yewa ^Łrona (1 -39) dąży do zera. Tym samym prawa strona staje się równoważna Kjleźności (1.37), co kończy pierwszą część dowodu.

Czfść 2. Załóżmy teraz, że nierówność (1.37) zachodzi dla dowolnych lr.se X. Niech x\x*e X, przy czym x» * x^ł oraz mech 0<A<\ Pod-

•wmy

X* - *X*+(!-*)*,

x‘ — jT .

m £2*jr jcjpjaz domknięty, jeżeli dla dowryłnego rbtcźocgo ^C,V^U t*^,* Punkió*

z *c*d rtwro ma®? xⁱ-*-x* oraz

* » dałnr: cł«u »Si>*kje przytaczane rmerdzewa będą dotyczyły funkcj, wypukłyct. Azijcpczac można sformułować dla funkii wklęsłych.

fatem

X*-

(\40)