1109145327

1.3 Równania różniczkowe liniowe.Zadania

Uwaga. We wszystkich zadaniach należy sprawdzić poprawność uzyskanego rozwiązania wstawiając je do równania.

1.    Znaleźć rozwiązanie równania o zmiennych rozdzielonych spełniające warunek początkowy

(a)    x = 3x , x(0) = -2

(b)    x =    ^ , x(0) = 2

(c)    Ż =    , x(0) = 1

2.    Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego limiowego (rzędu jeden).

(a)    x + 2fx = e^_‘¹ ,    [x = (C + t)e~^a]

(b)    tx — 2x = t⁴ ,    [x = Ct¹ + 1/2 • t^A\

3.    Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu dwa;

(a) x" + 5x' + 6x = 0    [Cie^_3ł + Cae^-2*]

(b) x" + 6x' + 9x = 0    [(Cit + C2)e^-3t] ,

(c)    5x" — 12x' + 20x = 0    [(Ci cos ® + C₂ cos j)e^6t/⁵]

4. Znaleźć rozwiązania równania różniczkowego liniowego niejednorodnego :

(a)    x" — 3x' + 2x = 5t + 2    [(Cie^2t + C2e‘ +    + “]

(b)    x" + 4x' + 2x = 4e^_l    [(Cie^2ł + C₂e' + |e^_t]

(c)    x" + 2x' = cos 2t    [(Ci + C2e~^2t + | sin 2< - | cos 2t]

(d)    x" — 3x' + 2x = e^ł    [Cie^2< + C₂e‘ — te¹}

Następnym razem będziemy używać: całkowania przez części, całek niewłaściwych (gdy obszarem całkowania jest półprosta [a, oo)) oraz rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste. Zachęcam do roazwiązania zadań przygotowawczych.

1. Obliczyć całki niewłaściwe:

r

t ■ e~^łdt

1

Rozłożyć funkcje wymierne na ułamki proste: