1636661161

6-12

Skompilował Janusz Mierczyński

Wybierzmy teraz chwilę początkową to i wartości początkowe (Xo,yo) położone na tej poziomicy. Niech (<£, ip): (a, fi) —> M² będzie nieprzedłużalnym rozwiązaniem układu (6.6) odpowiadającym powyższym warunkom początkowym. Dla każdego t E (a, fi) punkt (ip(t),ip(t)) należy do zbioru zwartego Hc- Z twierdzenia o przedłużaniu rozwiązań (Tw. 6.4) wynika, że (a, fi) = (—00,00).

Spójrzmy na nasze rozwiązanie jak na parametryczny opis ruchu punktu na płaszczyźnie: czas t to parametr, (<^(i), ip(t)) to położenie punktu w chwili t. Tor ruchu zawarty jest w zbiorze Hc- Dalej, w każdym momencie t prędkość (<//(£), i/j'(t)) (7^ 0) jest styczna do owalu Hc- Co więcej, ruch odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Owal Hc ma skończoną długość, zaś szybkość (tzn. długość wektora prędkości) ruchu punktu jest zawsze niezerowa. Skoro Hc jest zbiorem zwartym, i szybkość zależy w sposób ciągły od położenia, minimalna szybkość jest dodatnia. Zatem istnieje takie T > 0, że (tp(to + T),ip(t₀ + T)) = {(p{to),ip{t₀)) = {x₀,y₀). Prostym wnioskiem z jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego jest to, że rozwiązanie jest funkcją okresową, o okresie T.

W konsekwencji, każde niezerowe rozwiązanie wyjściowego równania (6.5) jest (nietrywialną) funkcją okresową o okresie T.

Interpretacja fizyczna równania x" + x³ = 0 to ruch cząstki w polu potencjalnym. W definicji całki 4>, człon |y² to energia kinetyczna, zaś człon x⁴ to energia potencjalna. Fakt, że całka <E> zachowuje stałą wartość wzdłuż rozwiązań układu, to zasada zachowania energii.