1636661166

6-6

Skompilował Janusz Mierczyński

Wówczas „rozwiązaniem ogólnym” wyjściowego układu możemy nazwać wyrażenie

(x(t) = x(t;C, D)

\y(t) = v(x(t;C,D);C).

Przykład. Rozważmy autonomiczny układ dwóch równań różniczkowych zwyczajnych

Otrzymujemy zeń równanie różniczkowe w postaci Leibniza y dx + x dy = 0.

Funkcja $(#, y) = xy jest całką powyższego równania na zbiorze punktów regularnych R² \ {0}.

Zatem rj{x\C) = C/x. Z pierwszego równania układu otrzymujemy

/ c

x = —,

x

co można rozwiązać przy pomocy rozdzielenia zmiennych, dostając x = ±\/2Ct + D,

gdzie C ^ 0 i D jest dowolne, lub C = 0 i D > 0. Ostatecznie mamy „rozwiązanie ogólne”

( x(t) = ±y/2 Ct + D = 73S&S-

6.4 Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu

Definicja. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie

(RRZn)    z⁽ⁿ⁾ = f(t, x,x',..., a^"¹)).

Definicja. Rozwiązanie równania (RRZn) to funkcja ip: I —> R taka, że cp(ⁿ\t) = f(t, <p(t),    ..., ^(^n-1)(£)) dla każdego t G I.

Definicja. Warunki początkowe dla równania (RRZn) to (WPn)    ^(£o) = xq, x'(to) = Xi, ..., x^ⁿ~¹\to) = x_n-\.