1636662231

12 3. Zadania, I

ubezpieczony (x) będzie płacił składkę netto w postaci renty życiowej m-letniej ciągłej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto; po dożyciu wieku x + m zacznie otrzymywać emeryturę w postaci renty dożywotniej ciągłej z roczną intensywnością 1. Niech 0 < t < m oraz niech V(t) oznacza rezerwę składek netto po t latach. Wykazać, że wyraża się wzorem:

dV(t) _    i «*«*:*!

~dm~ ~    ' ‘ś|Z_|“

Rozwiązanie. Z definicji rezerwy

V(t) = _m~t\^ax+t - P^ax+tvm^i\ dla 0 < t < m,

gdzie

_ m|Ox

<W

Obhczamy odpowiednie pochodne

e-‘‘,p_x+t da =

e sPx+to

Ł^u'^a‘^]=Ł£^e~“-^p*^d3=

= Łr‘ ^e~“^{A+l is} =    *■+*•

Dalej

dV(t) -S(m-t)    \~^e 5rnmPx^xM\~^e    _    fu \ -S(m-t)

___ ₌ __e    -— j a_x+t—_trP{m)e ^t,m-tPx+

-S(m-t)    I ^e Sm,nP^x^^x**'x+t-m⁼i\ ^{e S<}'^m ^m-tPx+t ■ m|dx    e^-a*^m_^_m-tPx+tax .

-e ^v    1 m—tPx+t H--=2---_- =--_--h

~Qxfflx:m| - ę ^SttPxaxa_x+t:7^rt\

, ^e SmmPxO-xO-_x+t:m-t\ _ _A 1

P    ^- ~^Ax+t-^=l\

^ax:m\

6. Rozważmy grupę 100 osób w wieku (50). Każda z tych osób ubezpieczyła się kilka lub kilkanaście lat temu na życie i płaci regularne coroczne składki netto aż do śmierci (bieżący staż każdej z tych osób w ubezpieczeniu jest liczbą całkowitą). Obliczyć przeciętną liczbę polis, które nie przyniosą ubezpieczycielowi straty netto. Zakładamy, że wszystkie te osoby należą do tej samej populacji i że ich życia są niezależne. Można skorzystać z następujących danych:

•^50 = 0,37, i = 5%, k₀ = 96172, /₄₀ = 93348, l₅₀ = 86752, Z₆₀ = 73602, l₇₀ = 51989, ko = 24644, Z₉₀ = 4568.