Algebra II - zadania seria II
1. Wykaż, że zbiór form kwadratowych określonych na przestrzeni V tworzy przestrzeń wektorową.
2. Zbadaj określoność macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -2
ðÅ‚ ûÅ‚
a) 0 3 1
-2 1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚
b) 1 Ä… 0
-1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 -2
ðÅ‚ ûÅ‚
c) 0 -1 3
-2 3 2
3. Zbadaj określoność form kwadratowych:
a) f : R3 R. f(x) = -x2 - 2x2 - x2 - x1x3 + 2x1x2;
1 2 3
b) f : R3 R. f(x) = 5x2 + x2 + x2 + 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x3.
1 2 3
4. Udowodnij, że macierze Gramma AT A, AAT są nieujemnie określone, a jeśli A - kwadratowa nieosobliwa to określoność
jest ściśle dodatnia.
5. Udowodnij, że macierz symetryczna A jest nieujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy istnieje macierz B taka, że
A = BT B.
6. Udowodnij, że forma kwadratowa f : Rn R jest nieujemnie lub niedodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
{x " Rn : f(x) = 0}
jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni Rn.
7. Wykaż, że jeśli macierz A jest dodatnio określona , to istnieje macierz odwrotna A-1, która jest dodatnio określona.