" "
a) (1 - 3i) + (4 - 5i) b) (1 + 2i) - ( 3 - 6i)
" " " "
2+3i
c) ( 7 - 3i) · ( 7 + 3i) d)
1+i
z2 z - w z + i w
e) z · w, , , z = 5 - 2i, w = 3 + 4i
Å»
w z + w z + w
Å» Å»
x, y
a) x(2 + 3i) + y(5 - 2i) = -8 + 7i b) (2 + yi) · (x - 3i) = 7 - i
1+yi x+yi 9-2i
c) = 3i - 1 d) =
x-2i x-yi 9+2i
1+i 2-3i
a) z2 = 4z b) = c) z2 - 4z + 13 = 0
Å»
z z
Å»
d) (z + 2)2 = (z + 2)2 e) 2z + z = 6 - 5i f) (1 + i)z + 3(z - i) = 0
Å» Å»
" " "
4 4
Ä„ 1+3i
a) - 3i b) 6 - 8i c) 2 + 3i d) 1 + i Ä…, Ä… " (-Ä„ , ) e)
2 2 3-4i
z
Ä„ Ä„
a) |z| = 2 b) arg z = c) |z| = 3 < arg z < Ä„
4 3
1
d) |z| < 4 e) |z| < 2 0 < arg z < Ä„ f) |z - 3 + 4i| < 5
2
g) (iz + 2) 0 h) z2 < 0 i) (z - i) = z - 1
4 1+iz
j) = z k) = 1 l) zz + (5 + i)z + (5 - i)z + 1 = 0
Å» Å» Å»
z 1-iz


z-2i
m) |z - 3 + 4i| = 1 n) = 1 o) |z + 1 - 2i| 3 |z - 3| < 4
z+1


z+i
p) 2 |iz - 5| < 3 r) 1
z2+1
a) - 5 b) 2i c) 1 + i
" "
d) 3 + i e) 7 + 7i f) - 5 + 5 3i
Ä„ Ä„
g) 1 + i Ä…, 0 < Ä… < h) sin Ä… + i cos Ä…, 0 < Ä… <
2 2
" "
a) (1 - i)12 b) (1 + 3i)8 c) (2 3 - 2i)30
(1+i)22
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
"
d) (cos - i sin )10 e) f) (sin + i cos )24
4 4 6 6
(1-i 3)6
( )26
"
1 1 1+i
"
a) (1 + i)10 b) (2 + i 12)5 c) (1 + cos Ä„ + i sin Ä„)6 d)
3 3
2
( " )26
" "
(1+i)n
3-i 3
e) f) , n " N g) -1 + i h) 3 + 4i
2 (1-i)n-2
"
"
" " "
4
6
3
i) -27 j) (3 + 4i)3 k) -8 + 8i 3 l) -11 + 60i
"
"
"
" "
5
4 3
m) -4 n) 32i o) -1 + 3i p) (2 - i)6
a) z4 - 1 = 0 b) z4 - i = 0 c) z6 + 64 = 0
d) z5 - 1024 = 0 e) z4 + 4 = 0 f) z3 + 8 = 0
( ) "
"
2+i2 3
"
g) 2z2 + 2 -1 + i 3 z + = 0 h) z|z| = 2z
Å»
1-i 3
"
6
-1 = {w0, w1, w2, w3, w4, w5}
w0 + w1 + w2 + w3 + w4 + w5,
w0 · w1 · w2 · w3 · w4 · w5.
(a) z2 + (3 - 2i)z + 1 - 3i = 0 (e) z4 + 5z2 + 4 = 0
1
(b) iz2 + (1 + i)z - = 0 (f) z2 - (3 - 2i)z + (5 - 5i) = 0
2
(c) z4 - iz2 + 2 = 0 (g) z4 + 8z2 + 15 = 0
(d) z2 + 2iz + 3 = 0 (h) z4 - 3iz2 + 4 = 0
(a) z4 + 2z3 + 5z2 + 6z + 6 = 0 z1 = -1 + i
(b) z4 + z3 + 2z2 + z + 1 = 0 z1 = i
(c) z5 - 5z4 + 18z3 - 18z2 + 17z - 13 = 0 z1 = 2 - 3i z2 = i
"
z = x + iy x, y " R i = -1
z = x + iy Re z = x Im z = y
z = x + iy z = x - iy
Å»
"
z = x + iy |z| = x2 + y2
8
{ x arg z z = x + iy = 0 Ć " R
cos Ć =
|z|
y
sin Ć =
|z|
z = x + iy z = |z|(cos Ć + i sin Ć) Ć = arg z
z = |z|(cos Ć + i sin Ć) zn = |z|n(cos(nĆ) + i sin(nĆ))
eiĆ = cos Ć + i sin Ć
z = |z|(cos Ć + i sin Ć) n
"
n
n z = {z0, z1, . . . , zn-1}
( )
"
Ć + 2kĄ Ć + 2kĄ
n
zk = |z| cos + i sin
n n
k = 0, 1, . . . , n - 1
 (2, 0, 6), (0, 1, 0), (1, -1, 3) R3
(2, 0, 6), (0, 1, 0), (1, 1, 1) R3
(0, 2, 3), (-1, 1, 1), (2, 0, 1) R3
(3, 2, 3), (2, 0, 2), (1, -1, 5) R3
(1, 0, 0, . . .), (1, 1, 0, . . .), (1, 1, 1, . . .), . . . R"
(1, 2, 0, 4), (-1, 0, 5, 1), (1, 6, 10, 14) R4
(1, 2), (2, 3), (3, 4) R2
(1, 2, 3), (2, 3, 4), (1, 1, 1) R3
V P
R
P = R3, V = {(x, y, z) " R3 : x > 0},
P = R3, V = {(x, y, z) " R3 : x + y + z = 0},
P = R3, V = {(x, y, z) " R3 : x + 2y - z = 1},
P = R3, V = {(x, y, z) " R3 : x " Q},
P = R3, V = {(x, y, z) " R3 : yz 0},
P = R3, V = {(x, y, z) " R3 : x + y + z = x - y = 0},
P = R4, V = {(x, y, z, t) " R4 : x = z y = t},
P = R4, V = {(x, y, z, t) " R4 : x = z y = t},
P = R5, V = {(2x, x + y, 7, 13, x - y) " R5 : x, y " R}
{(2, 5), (3, 1), (6, -7)}, R2
{(2, 3, -1), (1, -3, 2)}, R3
 {(1, -1, 4), (3, 0, 1), (2, 1, -2)}, R3
{2x + 4, 3x - x2, -2x2 + 4x - 4}, R2[x]
{(1, 1, 2, 1), (1, -1, 0, 1), (0, 0, -1, 1), (1, 2, 2, 0)}, R4
{(1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)}, R5
V = {(x, y, z) " R3 : 4x - y + 2z = 0}
V = {(2r + s - t, t - u, r + 3s + u, s + u, t - u): r, s, t, u " R}
V = {(x, y, z, t) " R4 : x - y = y - z = z - t}
V = {(x, y, z, t) " R4 : y = 2x, z = 0}
V = {(x, y, z, t) " R4 : x + 2y - z + t = 0}
(R, V, +, ·)
V = {(x, y, z) " R3 : x + 2y + 3z = 0} ‚" R3
(R, R3, +, ·) e1 = (-2, 1, 0)
e2 = (-3, 0, 1) V V
V
e1 = (1, 2, 0), e2 = (2, 1, -1), e3 = (-4, -5, -1), e4 = (3, -3, 1)
dim Lin(e1, e2, e3, e4) Lin(e1, e2, e3, e4)
W = Lin(v1, v2, v3, v4)
v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (4, 7, 10, 13), v3 = (2, 3, 4, 5), v4 = (3, 5, 7, 9)
v = (2, 1, 1, 2) W
V = {(x + y + z, x - y, x - z, y - z): x, y, z " R}
V = {(x + 2y + z, 3x - y + 2z, 5x + 3y + 4z): x, y, z " R}
V = {(x, y, z, t) " R4 : 2x - y = z - t = 0}
V = {(2x, x + y, 3x - y, x - 2y): x, y " R}
 V = {(x - 2y - z, 2x + y - 3z, 3x + 4y - 5z): x, y, z " R}
V = {(x, y, z, t) " R4 : x + y = z - y}
× = (1, 4) " R2, B = {(1, 5), (1, 6)}
v
× = (0, 1) " R2, B = {(1, 2), (2, 6)}
v
× = (8, 1, 7, 5) " R4, B = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}
v
p = x2 - 3x + 3 " R2[x], B = {x2 + 3x - 1, -x2 + x + 3, 2x2 - x - 2}
V = {(x - 5y, x + y, 2x + y, x + y): x, y " R}, × = (-2, 4, 7, 4)
v
V = {(x, y, z, t) " R4 : x - 2y = y - 2z = 0}, × = (8, 4, 2, 9)
v
V = {(x, y, z, t) " R4 : x + y = z + t = 0}, × = (1, -1, -1, 1)
v
v " R3 (2, 1, 0), (1, 1, 1), v
R3
e1 = (1, 1, 1) e2 = (1, 1, 2) e3 = (1, 2, 3)
R3 x = (6, 9, 14)
u, v " R3 (2, 0, 1), u, v
R3 (0, 1, 0) -1, 1, 2 (0, -1, 5)
2, -1, 2
× B2
v
B
[4, -3], B = {× b2}, B2 = {2× -× b1 + 2×
b1,× b1 b2,× b2}
[1, 1, -2], B = {x, x + 1, x2 + 1}, B2 = {1, 1 + x2, x + x2}
Y ‚" X X (Y, +, ·) K
Y
'"
x + y " Y
x,y"Y
'" '"
a · x " Y
x"Y a"K
 X K x1, x2, . . . , xn " X
'"
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = 0 Ò! a1 = a2 = . . . = an = 0
a1,...,an"K
x1, x2, . . . , xn
x1, x2, . . . , xn " X x = a1x1+a2x2+. . .+anxn
a1, a2, . . . , an " K
lin {x1, x2, . . . , xn}
x1, x2, . . . , xn X
X x1, x2, . . . , xn " X
X = lin {x1, x2, . . . , xn} .
X e1, e2, . . . , en " X
X = lin {e1, e2, . . . , en}
e1, e2, . . . , en
X = {0} X X
8
dim X
dim {0} = 0 dim X = " X
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 3 0 0 1 3 -1 1 0 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 4 1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 - , ïÅ‚ śł - 4 ïÅ‚ śł , ïÅ‚ śł + 2 ïÅ‚ śł
1 1 0 2 4 0 2 0 3 -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
5 -1 3 -2
1 0 1 1 0 1 0 3 -2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 -2 3 4 1 5 0 5 7 4 3 -28 93 7 3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· , · , · ·
5 -4 2 5 3 2 1 2 3 7 5 38 -126 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
2 2 -2 3 2 2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
śł ïÅ‚
1 0 2 ïÅ‚ 6 4 -3 5 -1 -5 3 11 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
· ïÅ‚ śł , ·
7 5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 5 1 9 2 -3 4 16 24 8 -8
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 2
7 6 -4 7 8 16 0 -16
AB-1 - 2CT
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 2 5 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = , B = , C = .
0 1 1 3 2 -3
2AT B - C-1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -1 1 1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = , B = , C = .
2 1 3 0 2 5
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚
1 0 0 1 0 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚
X + = X -
2
0 2 0 0 4 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 1 1 0 1 2 0 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2Y · ïÅ‚ śł = ïÅ‚ śł + Y · ïÅ‚ śł
0 4 0 0 1 0 0 4 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 2 1 0 1 2 0 0


1 3 4 5 0 5 0 2 0 a b c


3 0 0 2 8 3 4 5 1 x 0 0

a) b) c)


5 1 2 7 7 2 1 4 1 0 y 0



2 0 0 3 0 4 0 1 1 0 0 z



2 1 4 3 5 3 7 6 5 4 4 2 2 3 0 0 1 -1



5 6 7 8 4 2 9 7 8 9 3 3 9 4 0 0 3 7



8 9 7 6 0 0 7 4 9 7 0 0 4 5 1 -1 2 4

d) e) f)

2 3 5 4 0 0 5 3 6 1 0 0 3 8 3 7 6 9



4 3 0 0 0 0 0 0 5 6 0 0 1
-1 0 0 0 0



6 5 0 0 0 0 0 0 6 8 0 0 3 7 0 0 0 0


2 1 2 3 2 3 4 -3 -1 2 1 1 1 0 0



3 -2 7 5 -1 -5 6 5 2 3 1 2 3 0 0


g) -1 -5 -3 -2 4 0 1 1 1 1
h) -9 -3 7 -5
i)
3



5 -6 4 2 -4 -1 -4 1 1 -2 0 x1 x2 x3 x4



2 -3 3 1 -2 -3 7 5 2 3 0 x2 x2 x2 x2
1 2 3 4



-1 2 -3 4


1 i 1 + i i 1 + i 2


0 5 3 -7


j) -i 1 0 1
k) - 2i 3 -i
l)



1 3 -5 9



1 - i 0 1 -4 1 - i 3 + i


2 -2 4 6



3 2 0 0 0 2 7 -1 3 2



3
-2 0 5


0 3 2 0 0 0 0 1 0 1


-2 1 -2 2


m) n) o) -2 0 7 0 2

0 0 3 2 0


-2 55 0

0



0 0 0 3 2 -3 -2 4 5 3



5 0 3 4


2 0 0 0 3 1 0 0 0 1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 0 1
ïÅ‚ śł
0 4 7 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 0 1 0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 7 13 0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a) b) ïÅ‚ śł .
0 0 1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
5 0 0 13
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
0 1 0 0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
4 0 0 11
1 0 0 0 2
x " R
îÅ‚ Å‚Å‚
x 1 1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 1 x + 2 1 1 śł
ïÅ‚ śł
det = 0.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 1 x - 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
1 i -i
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a b 2 4 ïÅ‚ 1 1 -1 -1 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
a) b) c)(E) ïÅ‚ -1 -1
śł d)
1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ -1 1 -1
śł
c d 9 18 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 1
1 -1 -1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 -2 -1 2 4 6 1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
a) X · = b) · X =
5 -4 -5 6 6 9 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚T îÅ‚ Å‚Å‚
3 6 2 4 1 1 0 0 2 1 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
c) X · = d) · · X =
4 8 9 18 0 1 0 1 1 0 2 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 4i 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
e) X = XT · f) X - iXT =
-2 -3 6 - 2i -2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 1 2 7 3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
g) ïÅ‚ śł · X = ïÅ‚ śł h) · X =
2 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 1 1 4 1
3 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 3 1 4 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
i) X2 = j) · X = X ·
0 0 0 1 3 0
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -3
ðÅ‚ ûÅ‚
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚
[ ]
-1 6
1 4 -3
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚
k) · · X · =
2, 1 -

2 -2 6
1 0 1 + i




0 1 i



1 - i -i 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚T îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 3 4 1 -1 0 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
= · + 2 ·
3 -7 5 2 0 1 3 -5



1 0 1 2 12



2 1 -1 2


2 0 1 1 4 1 -1 0


-1 2 1 4


a) b) c)
2 1 1 -1 3 2 3 5



1 0 1 -1



3 2 -1 1 8 -4 0 6



3 -1 4 0


1 1 1 0 6



4 2 1 1 1 0 1 -1


-1 4 0


-1 0 2 2 1 -1 2
1


d) e) f)
2 5 -2


-1 2 1 3

3 0 1 3



-3 0 3


2 2 0 3 3 -1 4 0


1 2 -1 0 3 2 7 -1 3 2



2 4 5 1 -6 0 2 1 3 1


g) -1 -2 3 0 -2
h) -2 4 7 2 2




-2 -2 1 -1 1 -3 -2 4 5 3



2 4 -2 0 3 1 2 0 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 0 4 1 0 0 1 1 2 3 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 2 0 1 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 0 1 śł ïÅ‚ 0 0 2 1 śł ïÅ‚ 2 3 1 2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) ïÅ‚ śł b) c) ïÅ‚ śł d) e)
2 3 0 2 1 -2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 1 2 -2 1
-1 0 1 0 2 1 1 2 1 0 -2 -6






0 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3 0






2 12 4 2 7 3 3 12 4 2 7 3






1 0 4 0 9 0 0 0 4 0 9 0


(a) +



1 12 5 3 7 6 7 12 5 3 7 6






2 0 8 0 27 0
-1 0 8 0 27 0




-3 12 5 4 3 10 12 12 5 4 3 10

-1


24 11 13 17 19



35 59 71 52



51 13 32 40 46




12547 13447 42 70 77 54


(b) + +
61 11 14 50 56



28523 28423 43 68 72 52



62 20 7 13 52



29 49 65 50


80 24 45 57 70

ëÅ‚
öÅ‚2009
1 2 3 4 22 -6 -26 17

ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ -17 5 20 -13 ÷Å‚
2 3 1 2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(c) ·
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1 1 -1 -1 0 2 -1

íÅ‚
Å‚Å‚

1 0 -2 -6 4 1 5 3


2
-1 3 4 -5



1 20092008 20082009 4 -2 7 8 -7



(d) · -6

0 20092009 20092009 4 -9 -2 3


1

0 02009 3 -2 4 1 -2
20092009


-2 6 5 4 -3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 -3 0 1 0 1 -2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
(a) ïÅ‚ śł · X + ïÅ‚-5
śł = ïÅ‚ śł
3 2 -4śł ïÅ‚ -1 -3śł ïÅ‚5 1 4śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 -1 0 -4 -3 -3 6 4 5
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚T îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
[ ]
1 0 0 -2 3 1 0 0 -1
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(b) · + · X · = + 2
2 1
2 -6 -2 -1 1 0 0 0 0
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚T
1 2 0 0 3 5
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
(c) + · X =
0 1 3 3 5 9
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚T îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 1 -8 0 -2 0 3 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(d) X · ïÅ‚ -3 -2śł ïÅ‚ 0 9 15
śł = ïÅ‚ śł + ïÅ‚-5 0 0
śł
1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
5 2 1 1 0 1 0 0 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 3 5 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
2 1 1 0 2 -2 4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 2 1 ïÅ‚ -1 -3 4 śł
2
ïÅ‚ ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
(a) ïÅ‚ śł ; (b) ïÅ‚ śł ; (c) ; (d) ;
2 1 -1śł 2 3 -4 6śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
2 1 1 5 1 -1 7
ðÅ‚ ûÅ‚
2 -2 1 -4 0 2 0
7 7 9 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 1 1 1 1 1 1 3 -1 3 2 5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł îÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚ śł
ïÅ‚-3 2 0 1śł ïÅ‚ śł 2 -4 3 ïÅ‚ -3 2 3 4 śł
śł 2 2 3 -1śł 5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ śł
(e) ; (f) ; (g) ; (h) .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ -3 -5 0 -7
śł
1 4 2 3 0 0 1 -3 1 -2 1
2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 1 1 4 3 3 5 -3 7 -5 1 4 1
a " R
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
a 1 1 1
ïÅ‚ śł
-2 -1 - a 1
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 a 1 1śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
(a) ïÅ‚ śł , (b)
a 0 -aśł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
1 1 a 1
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 a + a2 1
1 1 1 a
a) b)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
a 0 0 1 2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 5
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
(a) ; (b) ïÅ‚ śł ; (c) ïÅ‚ śł ;
0 b 0śł 0 2 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 3
0 0 c -2 -2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 -1 2 -2 0 2 -1 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ ïÅ‚
(d) ïÅ‚ śł ; (e) ïÅ‚-2 1 -2śł 3
śł ; (f) ïÅ‚ -2 -3śł
śł .
1 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 0 1 0 -2 0 -1 1 2
 p " R
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 2px + 4y - pz = 4
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
(p + 1)x - py = 1
a) b)
2x + y + pz = 1
ół ôÅ‚
ôÅ‚
2x + (p - 1)y = 3p
ôÅ‚
ół
(4 + 2p)x + 6y + pz = 3
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
x
ôÅ‚ - y - z - t = px
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ px + 3y + pz = 0 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
-x + y - z - t = py
c) -px + 2z = 3
d)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ -x - y + z - t = pz
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
x + 2y + pz = p
ôÅ‚
ół
-x - y - z + t = pt
(a) 5x - 2y = 6, 3x + y = 4
(b) x + 2y + 3z = 14, 3x + y + 2z = 11, 2x + 3y + z = 11
(c) 2x - y + z = 1, 3x + y - 2z = 0, x - 3y - z = 2
(d) 5x - 3y + 2z = 3, 4x + 5y - 3z = 21, 5x - 2y - 3z = -12
(e) 3x + 12y + 5z + 43 = 0, 5x - 3y - 10z + 76 = 0, 4x - 17y + 2z - 23 = 0
(f) x + 2y + 3z = 1, 2x + 3y + z = 3, 3x + y + 2z = 2
(g) x + 2y + 3z = 14, 4x + 3y - z = 7, x - y + z = 2
(h) x + 2y - 4 = 3y + 4z - 6 = 5z + 6s = 7s + 8t = x + y + z + s + t - 2 = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 3x + 7y + 2z + 4t = 0 ôÅ‚ x + 3y + 3z + 3t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2y + z = 0 3x + y + 3z + 3t = 1
(i) (j)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + 4y + z = 1 3x + 3y + z + 3t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
5x + 3y + 2z = 0 3x + 3y + 3z + t = 1
(k) 12 + x + y = 10 + y + z = 8 + z + u = 6 + u + v = 10x + v = 15
(l) 9x - 8y = 4, 7x + 2y = 3
(m) x + 2y - z = 1, 3x + y + z = 2, x - 5z = 0
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + y + z = 5
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x - y = 3
a) b)
2x + 2y + z = 3
ół ôÅ‚
ôÅ‚
3x + y = 2
ôÅ‚
ół
3x + 2y + z = 1
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ y + z + t = 4
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + y + z = 4 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x + z + t = -1
c) d)
2x - 3y + 5z = -5
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + t = 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
-x + 2y - z = 2
ôÅ‚
ół
x + y + z = -2
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x - 2y + 3z = -7
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x + 7y = 2
e) f)
3x + y + 4z = 5
ół ôÅ‚
ôÅ‚
2x - y = 9
ôÅ‚
ół
2x + 5y + z = 18
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + y = 1
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x + 3y = 1
a) b)
x + 2y - 3z = -3
ół ôÅ‚
ôÅ‚
3x + y = 0
ôÅ‚
ół
2x + 4y + z = 1
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + y + z + t = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 3x + y + z = -1 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x + 2y + z + t = 0
c) d)
x + 2z = -6
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 2y + 3z + 2t = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
3y + 2z = 0
ôÅ‚
ół
6x + 4y + 3z + 2t = 2
Å„Å‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚ - 2y + 3s + t = 1
ôÅ‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 2x + 3y + 2z = 1 ôÅ‚ 2x - 3y + z + 8s + 2t = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
e) f)
3x + 4y + 2z = 2 x - 2y + z + 3s - t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
4x + 2y + 3z = 3 y + 3s + 5t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x - 2y + 5s + 8t = -1
Å„Å‚
ôÅ‚
2x + 3y + 2z - t = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 5x + 2y - 2z = 5 ôÅ‚ 2x + y + z + 2s + 3t = 6
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
a) b)
3x + y + 2z = 1 3x - z + s + t = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
2x + 3y + 2z = 5 y + 4s + t = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2x + y + z - 2s + 5t = 8
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
2x + y + z + t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x
ôÅ‚ - 2y + z - t = -4 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ y + z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x - y - z + t = 1
c) d)
2x + y + z + s = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + 2z - t = 5
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
y + z + s + t = 4
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
x + y - z + t = 4
ôÅ‚
ół
x + z + t = 0
 m n
m n W
U
r = r(W ) = r(U)
r n
r n
n - r
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + y + 3z - 2t + 3u = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + 3y - 4z = 4 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x + 2y + 4z - t + 3u = 2
a) b)
3x + 2y - z = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 3y + 5z - 2t + 3u = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
x - 4y + 7z = 5
ôÅ‚
ół
2x + 2y + 8z - 3t + 9u = 2
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 5x + 3y - z = 3 ôÅ‚ x + 2y + 3z - 2t + u = 4
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x + y - z = 1 3x + 6y + 5z - 4t + 3u = 5
c) d)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ - 2y + 2z = -4 x + 2y + 7z - 4t + u = 11
ôÅ‚
3x
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x - y + 2z = -2 2x + 4y + 2z - 3t + 3u = 6
Å„Å‚
ôÅ‚
3x + 2y + 2z + 2t = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 4x - y = 7 ôÅ‚ 2x + 3y + 2z + 5t = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
e) f)
3x + y = 14 9x + y + 4z - 5t = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
2x + 3y = 0 2x + 2y + 3z + 4t = 5
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
7x + y + 6z - t = 7
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 3y + z + 2t = 4 8x + 6y + 5z + 2t = 21
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 4x + 3y + z + t = 5 ôÅ‚ 3x + 3y + 2z + t = 10
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
g) h)
5x + 11y + 3z + 2t = 2 4x + 2y + 3z + t = 8
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 5y + z + t = 1 3x + 5y + z + t = 15
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x - 7y - z + 2t = 7 7x + 4y + 5z + 2t = 18
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 3x - 2y + 5z + 4t - 2 = 0
ôÅ‚
òÅ‚
i)
6x - 4y + 4z + 3t - 3 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
9x - 6y + 3z + 2t - 4 = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 6x + 2y + 3z = 2 ôÅ‚ 4x - 2y + 8z = -6
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
j) k)
4x + 2y - z + 3t = 2 2x - y + 4z = -3
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
10x + 4y + 2z + 3t = 4 -6x + 3y - 12z = 9
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 6x + 4y + 5z + 2t + 3u = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
3x + 2y + 4z + t + 2u = 3
l)
ôÅ‚
ôÅ‚
3x + 2y - 2z + t = -7
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
9x + 6y + z + 3t + 2u = 2
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
3x
ôÅ‚ - 7y - z = 4
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 6x + 2y + 3z = 2 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x - 2y + 3z = -1
m) n)
4x + 2y - z + 3t = 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - 3y - 7z = 6
x
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
10x + 2y + 2z + 3t = 4
ôÅ‚
ół
3x - 6y + 9z = -3
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 3x - y + 2z = 0 ôÅ‚ x + 2y + z - s + 6t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
a) b)
4x + 2y - 5z = 0 3x + 8y + 5z + 3s + 10t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
2x - 7y + 11z = 0 5x + 12y + 7z + s + 22t = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 3x + 2y - z = 0 ôÅ‚ x - y + 2z - s + t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
c) d)
x + 3y - 4z = 0 3x + y + z + s + 2t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
2x - 4y + 7z = 0 5x - y + 5z - s + 4t = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + 2y - z = 0 ôÅ‚ x + 2y + 3z - 4s = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
e) f) -x + 8y + 11z + 12s = 0
4x - y + 2z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + 11y - 7z = 0 2x - y - z = 0
a) 2x - y + 5z + 3t = 0 b) x + 2y = 2x - y = x + z + t = 0
c) x + y = y + z = z + t = t + z d) x + y = y + z = z + s = s + t = t + y = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x
ôÅ‚ - 3y - z - t = 0 ôÅ‚ x + 2y + z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x + y + z + t = 0 3x - y + t = 0
e) f)
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
3x + 2y - z = 0 4x + y + z + t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
6x + 2y - z = 0 5x + 3y + 2z + t = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 4x + y - z + s - 2t = 0
ôÅ‚
òÅ‚
g)
x - y + z - s - 3t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3x - y + z - s - 5t = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x - 3y + z + t = 0 ôÅ‚ 2x + 2y - z + s = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
h) i)
2x + y + z - 7t = 0 5x + 6y + z + 2s + t = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x - y - z - 5t = 0 9x + 10y - z + 4s + t = 0
 p
(a) (p - 1)x + (2 - p)y = p, (1 - 3p)x + (p - 1)y = -6
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ (p + 1)x - y + pz = 1 ôÅ‚ px + y + 2z = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
(b) - p)x + 4y - pz = -4 x + py + 2z = 1
(c)
(3
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
px + 3y = -3 x + y + 2pz = 1
Å„Å‚
ôÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚ 2x + py + pz + pt = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ x + (p - 2)y - 2pz = 4
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x + 2y + pz + pt = 2
(d) (e)
px + (3 - p)y + 4z = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2x + 2y + 2z + pt = 3
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
(1 + p)x + y + 2(2 + p)z = 7
ôÅ‚
ół
2x + 2y + 2z + 2t = 4
p
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ px + 3y + z + t = 1
ôÅ‚
òÅ‚
2x - pz + t = -2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
7x + py - 5z + pt = -p
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ px + y + pz = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ - p)x + (2 - p)y + z = 1
(2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
px + y + pz = p2
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ px + y - 2z + t = p
ôÅ‚
òÅ‚
x + py + z = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2x + 2y + 2z + pt = 2
x, y, z  " R
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ x + y + 2z = 1 ôÅ‚ x + 2y + z = -
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
a) b)
x + y + 2z = 1 x + y - z = 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
x + y + 2z = 1 x + y = 1
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x + y + z = 1
ôÅ‚
òÅ‚
c)
x + y + z = 
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + z = 2
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x1 + 2x2 + x3 = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x1 + 3x2 + 4x3 = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
2x1 + 3x2 - x3 = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x1 + 4x2 + 7x3 = 1
 a " R
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2x1 + x2 - x3 = 1
ôÅ‚
òÅ‚
ax1 + ax2 + x3 = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x1 + x2 + ax3 = 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 0 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ -3 1 3
śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 3 4
x1 = 1 x2 = 0 x3 = -1 x4 = 3