Zadania z przedmiotu
Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr
seria 5
1. Wyznaczyć baze i wymiar podprzestrzeni Lin{v1, v2, . . . , v5} ą" K4, jeżeli v1 = (1, 0, 0, -1),

v2 = (2, 1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1, 1), v4 = (1, 2, 3, 4), v5 = (0, 1, 2, 3).
2. Wyznaczyć wymiary sumy i cześci wspólnej podprzestrzeni Lin(X) i Lin(Y ), jeżeli

(a) X = {(1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0)}, Y = {(1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1)};
(b) X = {(1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1), (1, 3, 1, 3)}, Y = {(1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1)};
(c) X = {(2, -1, 0, -2), (3, -2, 1, 0), (1, -1, 1, -1)}, Y = {(3, -1, -1, 0), (0, -1, 2, 3),
(5, -2, -1, 0)};
3. Roz przestrzeÅ„ liniowa R4 nad R na sume prosta U •" W , tak żeby
lożyć

U = Lin{(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0)}.
4. Czy dla przestrzeni R[x]5 (wielomianów stopnia co najwyżej 5-ego) zachodzi równość:
R[x]5 = U •" V •" W,
gdzie U = Lin(1, x3), V = Lin(x2 + 1, 2 + x), W = Lin(x4 + 1, x5 + x2)?
5. Roz podprzestrzeń
lożyć
V = {(x1, x2, x3, x4) " R4 | x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0}
przestrzeni liniowej R4 nad R na sume prosta podprzestrzeni jednowymiarowych.

6. Wykazać, że zbiór {(x, y, z) " R3 | x + 2y + 3z = 2} jest warstwa pewnego wektora v " R3
wzgledem pewnej podprzestrzeni V przestrzeni liniowej R3 nad R. Czy v i V sa wyznaczone

jednoznacznie?
7. Niech podprzestrzenie U, V ą" Rn beda określone nastepujaco:

U = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + x2 + · · · + xn = 0},
V = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 = x2 = · · · = xn}.
Wykazać, że Rn = U •" V oraz wyznaczyć rzuty wektorów jednostkowych na podprzestrzeÅ„ U
wzd podprzestrzeni V (Uwaga: Jeżeli V = U •" W oraz v = u + w, gdzie u " U, w " W , to u
luż
nazywa sie rzutem wektora v na U wzd podprzestrzeni W ).
luż

8. W przestrzeni R4 określamy podprzestrzenie
U = Lin{(1, 1, 1, 1), (-1, -2, 0, 1)}, V = Lin{(-1, -1, 1, -1), (2, 2, 0, 1)}.
Wykazać, że R4 = U •" V i znalez
ć rzut wektora (2, 1, 2, 2) na podprzestrzeń U wzd V .
luż
9. Niech V bedzie jednowymiarowa przestrzenia liniowa nad cia K. Wyznaczyć wszystkie
lem

przekszta liniowe Õ : V - V .
lcenia
10. Niech Õ : R3 - R3 bedzie takim przekszta
lceniem liniowym, że

Õ((1, 1, 1)) = (2, 1, 2), Õ((1, 1, 0)) = (0, 1, 0), Õ((1, 0, 0)) = (3, 1, 5).
Zalez
ć Õ((0, 0, 1)), Õ((3, 2, 1)), Õ((1, -1, 0)).
11. Dla danego przekszta liniowego Õ wyznaczyć wymiary Ker Õ, Im Õ, jeżeli
lcenia
(a) Õ : R3 - R2, Õ((x, y, z)) = (x, y + 2z);
(b) Õ : R3 - R4, Õ((x, y, z)) = (x, y + 2z, x - y, 2z);
(c) Õ : R3 - R3, Õ((x, y, z)) = (x, y + z, x + y + z);
(d) Õ : R4 - R2, Õ((x, y, z, t)) = (x + z, y + t).
12. Wykazać, że jeÅ›li Õ : V - W jest przekszta
lceniem liniowym i U jest podprzestrzenia
przestrzeni liniowej W , to przeciwobraz Õ-1(U) jest podprzestrzenia przestrzeni V oraz jeÅ›li
U Ä…" Im Õ, to
Õ(Õ-1(U)) = U.