UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7
1. Uzasadnić na przykładzie podanej macierzy, że dwa poniższe zagadnienia nie są równoważne:
1. Wyznaczenie powłoki liniowej ( ustalenie bazy ) rozpiętej przez
1 0 1 2 1
éð Å‚ð
wektory kolumnowe macierzy metodÄ… operacji elementarnych.
Ä™ð1 -ð 2 -ð1 0 0Å›ð
2. Wybranie maksymalnego układu wektorów liniowo niezależnych
Ä™ð Å›ð
spoÅ›ród wektorów kolumnowych macierzy metodÄ… wyznacznikowÄ… Ä™ð Å›ð
0 1 1 1 1
Ä™ð Å›ð
( maksymalny minor różny od zera ).
-ð1 2 1 0 0
ëð ûð
2. Wyznaczyć macierz odwrotną do podanej macierzy A , korzystając ze wzoru na macierz
dopeÅ‚nieÅ„. RozwiÄ…zać ukÅ‚ad równaÅ„ liniowych postaci Ax =ð b , gdzie
a 1 a 1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð2Å›ð
A =ð -ð1 1 1Å›ð , b =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð
ëð-ð a 1 aûð ëð1Å›ð
ûð
korzystając z postaci macierzy odwrotnej oraz ze wzorów Cramera.
3. Obliczyć wyznaczniki:
1 1 1 -ð 4 a b b b a1 1 0 0
1 1 -ð 4 1 b a b b -ð1 a2 1 0
a) b) c)
1 -ð 4 1 1 b b a b 0 -ð1 a3 1
-ð 4 1 1 1 b b b a 0 0 -ð1 a4
4. Wykazać, korzystając z postaci wyznacznika Vandermonde a
1 x1 Lð (x1)n-ð1
Vn (x1,..., xn ) =ð Mð Mð Mð
1 xn Lð (xn )n-ð1
że wielomiany: wi =ð xi , i =ð0,1,...,n -ð1 sÄ… liniowo niezależne.
5. Niech (a1...an ) oznacza wyznacznik z macierzy o elementach: aii =ð ai , ai,i+ð1 =ð 1,
ai+ð1,i =ð -ð1, pozostaÅ‚e ai, j =ð 0, i =ð 1,...,n ( patrz zadanie 3c , gdzie n =ð 4 ). Wykazać,
że ułamek łańcuchowy związany jest następującym wzorem z wyznacznikami
typu (a1...an )
(a1...an ) 1
=ð a1 +ð
1
(a2...an )
a2 +ð
1
a3 +ð
Oð +ð
an
6. KÅ‚adÄ…c w macierzy z zadania 5 aii =ð 1, otrzymuje siÄ™ wyznacznik oznaczony symbolem (1...1)n .
Niech cn oznaczają kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego, zdefiniowanego następująco:
c1 =ð 1, c2 =ð 1, cn+ð2 =ð cn+ð1 +ð cn dla n Å‚ð 1
Wykazać, że
cn+ð1 =ð (1...1)n
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7  Uwagi, szkice rozwiązań
1. Po dokonaniu dostatecznej ilości operacji elementarnych na kolumnach macierzy uzyskujemy
maksymalny układ k wektorów kolumnowych, liniowo niezależnych, rozpinających powłokę
liniową, ale te wektory są w ogólności kombinacjami liniowymi wektorów kolumnowych
macierzy. Ich pozycje w przekształconej macierzy nie mówią, które z wyjściowych wektorów
kolumnowych macierzy są liniowo niezależne.
Jeśli natomiast znajdziemy największy minor, rzędu k różny od zera to kolumny, z których ten
minor jest zbudowany tworzą zawsze układ wektorów liniowo niezależny.
1.
1 0 1 2 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 1
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1 -ð 2 -ð1 0 0Å›ð K Ä™ð1 -ð 2 -ð1 0 0Å›ð K Ä™ð1 -ð 2 -ð1 0 0Å›ð K
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
®ð ®ð ®ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
III -ðV IV -ðV
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ðV -ð IV
-ð1 2 1 0 0 -ð1 2 1 0 0 -ð1 2 1 0 0
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1 -ð 2 -ð1 0 0Å›ð K Ä™ð0 -ð 2 -ð1 0 0Å›ð K Ä™ð0 0 -ð1 0 0Å›ð K
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
®ð ®ð ®ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
I +ð III II -ð 2III IV -ð I
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
-ð1 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
K
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 0 -ð1 0 0 0 0 -ð1 0 0
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
®ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
0 1 0 0 1 0 1 0 0 0
Ä™ð Å›ðV -ð II Ä™ð Å›ð
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
ëð ûð ëð ûð
Wymiar powłoki liniowej rozpiętej przez wektory kolumnowe wyjściowej macierzy A
wynosi więc 3. Tymczasem jej trzy pierwsze kolumny są liniowo zależne
A.,3 -ð A.,1 =ð A.,2
2. Maksymalny minor różny od zera można utworzyć np. wykreślając drugi wiersz oraz drugą
i czwartÄ… kolumnÄ™
1 1 1
0 1 1 =ð 1
-ð1 1 0
Maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych mogą tworzyć kolumny:
A.,1 , A.,3 , A.,5
2. Niech aij oznaczają elementy macierzy A, natomiast dij elementy macierzy dołączonej AD .
Rozwiniecie Laplace a wyznacznika det A względem j-tej kolumny określa elementy macierzy
n
AD : det A =ð d .
åðaij ji
i=ð1
1
KorzystajÄ…c ze wzoru A-ð1 =ð AD obliczamy kolejne elementy macierzy odwrotnej.
det A
2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7  Uwagi, szkice rozwiązań  c.d.
a 1 a a 1 2a
-ð1 1
det A =ð -ð1 1 1 =ð -ð1 1 0 =ð 2a =ð 2a(a -ð1)
-ð a 1
-ð a 1 a -ð a 1 0
1 1 1 a 1 a
d11 =ð =ð a -ð1 , d12 =ð -ð =ð 0 , d13 =ð =ð 1-ð a
1 a 1 a 1 1
-ð1 1 a a a a
d21 =ð -ð =ð 0 , d22 =ð =ð 2a2 , d23 =ð -ð =ð -ð2a
-ð a a -ð a a -ð1 1
-ð1 1 a 1 a 1
d31 =ð =ð a -ð1 , d32 =ð -ð =ð -ð2a , d33 =ð =ð a +ð1
-ð a 1 -ð a 1 -ð1 1
a -ð1 0 1-ð a
éð Å‚ð
1
Ä™ð
StÄ…d A-ð1 =ð 0 2a2 -ð 2aÅ›ð
Ä™ð Å›ð
2a(a -ð1)
Ä™ð Å›ð
ëða -ð1 -ð 2a a +ð1ûð
Rozwiązanie układu równań ( macierz odwrotna ):
JeÅ›li Ax =ð b to x =ð A-ð1b . StÄ…d
a -ð1 0 1-ð a 1 0
éð Å‚ðéð Å‚ð éð Å‚ð
1 1
Ä™ð Ä™ð(2a -ð1)Å›ð
x =ð 0 2a2 -ð 2aÅ›ðÄ™ð2Å›ð =ð
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2a(a -ð1) a -ð1
Ä™ð Å›ðÄ™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
-ð1
ëða -ð1 -ð 2a a +ð1ûðëð1ûð ëð ûð
Rozwiązanie układu równań ( wzory Cramera ):
Niech det(v1,v2,...,vn ) oznacza wyznacznik macierzy, której kolumny tworzą wektory
v1,v2,...,vn . Niech A.,1 , A.,2 ,..., A.,n oznaczajÄ… kolumny macierzy A .
JeÅ›li det A Ä…ð 0 to niejednorodny ukÅ‚ad równaÅ„ liniowych Ax =ð b jest typu Cramera, a jego
rozwiÄ…zania przedstawione sÄ… wzorami Cramera
det(A.,1, ,..., A.,i-ð1,b, A.,i+ð1,..., A.,n )
xi =ð
det A
StÄ…d
1 1 a a 1 a
1 1 2a -ð1
x1 =ð 2 1 1 =ð 0 , x2 =ð -ð1 2 1 =ð ,
2a(a -ð1) 2a(a -ð1) a -ð1
1 1 a -ð a 1 a
a 1 1 0
éð Å‚ð
1 -ð1 1
Ä™ð(2a -ð1)Å›ð
x3 =ð -ð1 1 2 =ð czyli x =ð
Ä™ð Å›ð
2a(a -ð1) a -ð1 a -ð1
Ä™ð Å›ð
-ð a 1 1 -ð1
ëð ûð
3
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7  Uwagi, szkice rozwiązań  c.d.
3. Obliczyć wyznaczniki:
a) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
1 1 Lð 1 -ð n
1 1 Lð -ð n 1
Mð Mð Mð Mð Mð =ð
1 -ð n Lð 1 1
-ð n 1 Lð 1 1
który sprowadzamy do bardzo prostej postaci wykonując następujące operacje:
- do kolumny pierwszej dodajemy wszystkie pozostałe kolumny,
- pierwszą kolumnę dodajemy do wszystkich pozostałych kolumn.
-ð1 1 Lð 1 -ð n -ð1 0 Lð 0 -ð (n +ð 1)
-ð1 1 Lð -ð n 1 -ð1 0 Lð -ð (n +ð 1) 0
=ð Mð Mð Mð Mð Mð =ð Mð Mð Mð Mð Mð =ð
-ð1 -ð n Lð 1 1 -ð1 -ð (n +ð 1) Lð 0 0
-ð (n +ð 1) 1 Lð 1 1 -ð (n +ð 1) 0 Lð 0 0
Teraz wystarczy kolejno rozwijać wyznacznik względem ostatniego wiersza
0 Lð 0 -ð (n +ð1)
0 Lð -ð (n +ð1) 0
=ð (-ð1)n =ð (-ð1)n (-ð1)n-ð1(n +ð1)(-ð1)n-ð2 (n +ð1)...(-ð1)(n +ð1) =ð
Mð Mð Mð Mð
-ð (n +ð1) Lð 0 0
n
n(n+ð1)
åðk
k =ð1 2
=ð (n +ð1)n-ð1(-ð1) =ð (n +ð1)n-ð1(-ð1)
W przypadku n =ð 4 wyznacznik ten równy jest 54 .
b) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
a b Lð b b
b a Lð b b
Mð Mð Mð Mð Mð =ð
b b Lð a b
b b Lð b a
który sprowadzamy do bardzo prostej postaci wykonując następujące operacje:
- do kolumny pierwszej dodajemy wszystkie pozostałe kolumny,
- pierwszÄ… kolumnÄ™ dzielimy przez a +ð (n -ð1)b ,
- pierwszÄ… kolumnÄ™ pomnożonÄ… przez -ð b dodajemy do wszystkich pozostaÅ‚ych kolumn.
Po czym wystarczy rozwijać wyznacznik krok po kroku względem pierwszego wiersza:
4
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7  Uwagi, szkice rozwiązań  c.d.
a b Lð b b a +ð (n -ð1)b b Lð b b 1 b Lð b b
b a Lð b b a +ð (n -ð1)b a Lð b b 1 a Lð b b
=ð Mð Mð Mð Mð Mð =ð Mð Mð Mð Mð Mð =ð [a +ð (n -ð1)b]Mð Mð Mð Mð Mð =ð
b b Lð a b a +ð (n -ð1)b b Lð a b 1 b Lð a b
b b Lð b a a +ð (n -ð1)b b Lð b a 1 b Lð b a
1 0 Lð 0 0
1 a -ð b Lð 0 0
=ð [a +ð (n -ð1)b]Mð Mð Mð Mð Mð =ð [a +ð (n -ð1)b](a -ð b)n-ð1
1 0 Lð a -ð b 0
1 0 Lð 0 a -ð b
W przypadku n =ð 4 wyznacznik ten równy jest (a +ð 3b)(a -ð b)3 .
c) Wyznacznik ten jest szczególnym przypadkiem wyznacznika
a1 1 Lð 0 0
-ð1 a2 Lð 0 0
(a1a2...an ) =ð Mð Mð Lð Mð Mð =ð
0 0 Lð an-ð1 1
0 0 Lð -ð1 an
Wykonując następujące operacje: - rozwinięcie względem ostatniej kolumny,
- rozwinięcie względem ostatniego wiersza
a1 1 Lð 0 0 a1 1 Lð 0 0
-ð1 a2 Lð 0 0 -ð1 a2 Lð 0 0
=ð an Mð Mð Lð Mð Mð -ð Mð Mð Lð Mð Mð =ð an (a1a2...an-ð1) +ð (a1a2...an-ð2 )
0 0 Lð an-ð2 1 0 0 Lð an-ð2 1
0 0 Lð -ð1 an-ð1 0 0 Lð 0 -ð1
otrzymuje się relację rekurencyjną (będzie ona wykorzystana w zadaniu 6 );
(a1a2...an ) =ð an (a1a2...an-ð1) +ð (a1a2...an-ð2 ) (**)
przy czym: (a1) =ð a1 , (a1a2 ) =ð a2a1 +ð1
StÄ…d w przypadku n =ð 4
(a1a2a3a4 ) =ð a4 (a1a2a3) +ð (a1a2 ) =ð a4[a3(a1a2 ) +ð (a1)] +ð (a1a2 ) =ð
=ð a4a3a2a1 +ð a4a3 +ð a4a1 +ð a2a1 +ð1
5
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7  Uwagi, szkice rozwiązań  c.d.
Na potrzeby zadania 5 wyprowadzimy innÄ… relacjÄ™ rekurencyjnÄ…, wykonujÄ…c tym razem
następujące operacje: - rozwinięcie względem pierwszej kolumny,
- rozwinięcie względem pierwszego wiersza
a2 1 Lð 0 0 1 0 Lð 0 0
-ð1 a3 Lð 0 0 -ð1 a3 Lð 0 0
(a1a2...an ) =ð a1 Mð Mð Lð Mð Mð +ð Mð Mð Lð Mð Mð =ð a1(a2a3...an ) +ð (a3a4...an )
0 0 Lð an-ð1 1 0 0 Lð an-ð1 1
0 0 Lð -ð1 an 0 0 Lð -ð1 an
StÄ…d (a1a2...an ) =ð a1(a2a3...an ) +ð (a3a4...an ) ( * )
przy czym: (an ) =ð an , (an-ð1an ) =ð an-ð1an +ð1
4. Wyprowadzenie wzoru na wyznacznik Vandermonde a ( nie obliczenie ) w oparciu o:
właściwości wyznacznika, podstawowe twierdzenie algebry oraz krok indukcyjny.
1 x1 Lð (x1)n-ð1
RozwijajÄ…c wyznacznik Vn (x1,..., xn ) =ð Mð Mð Mð
1 xn Lð (xn )n-ð1
względem ostatniego wiersza otrzymuje się wielomian n-1 stopnia zmiennej xn . Pierwiastkami
tego wielomianu sÄ… liczby xi , i =ð 1,2,..., n -ð1, bowiem jeÅ›li w miejsce xn podstawić dowolnÄ…
liczbÄ™ xi , i =ð 1,2,..., n -ð1, to dwa wiersze sÄ… równe i Vn (x1,..., xi ,..., xi ) =ð 0 . Współczynnik
n-ð1
przy xn wynosi Vn-ð1(x1,..., xn-ð1) . StÄ…d oraz z podstawowego twierdzenia algebry wynika
następująca relacja rekurencyjna
Vn (x1,..., xn ) =ð Vn-ð1(x1,..., xn-ð1)(xn -ð x1) ×ð×ð×ð (xn -ð xn-ð1)
StÄ…d przez indukcjÄ™ otrzymuje siÄ™
n
Vn (x1,..., xn ) =ð -ð x
Õð(xk j)
j,k >ð j
Dowód liniowej niezależnoÅ›ci wielomianów wi =ð xi , i =ð0,1,...,n -ð1 w przestrzeni Rn[×ð] .
Układ wektorów v1 ,...vn w przestrzeni liniowej nad ciałem R jest liniowo niezależny jeśli dla
dowolnych lð1,...lðn Îð R , z faktu lð1v1 +ð... lðnvn =ð 0 wynika, że lð1 =ð ... =ð lðn =ð 0 .
Niech a0 +ð a1x +ð ... +ð anxn-ð1 =ð 0 , dla ai Îð R tożsamoÅ›ciowo dla dowolnych x .
Wstawiając kolejno za x w tym równaniu n różnych liczb x1,..., xn otrzymuje się układ równań
liniowych jednorodnych
6
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 7  Uwagi, szkice rozwiązań  c.d.
a0 +ð a1x1 +ð ... +ð an-ð1x1 =ð 0
a0 +ð a1x2 +ð ... +ð an-ð1x2 =ð 0
...
a0 +ð a1xn +ð ... +ð an-ð1xn =ð 0
Układ ten posiada jedynie zerowe rozwiązania ponieważ wyznacznik macierzy tego układu
(wyznacznik Vandermonde a ) jest w tym przypadku różny od zera.
6. Relacja rekurencyjna ( * ) uzyskana w zadaniu 3c jest spełniona dla dowolnego ciągu liczb
ak ,ak+ð1 ,...,an , k =ð 1,2,...,n -ð 2 :
(ak ak+ð1...an ) =ð ak (ak+ð1ak+ð2...an ) +ð (ak+ð2ak+ð3...an )
przy czym: (an ) =ð an , (an-ð1an ) =ð an-ð1an +ð1.
Korzystając w każdym kroku przekształceń z tej relacji, otrzymujemy kolejno:
(a1...an ) (a3...an ) 1 1 1
=ð a1 +ð =ð a1 +ð =ð a1 +ð =ð a1 +ð
(a2...an ) 1 1
(a2...an ) (a2...an )
a2 +ð a2 +ð
(a3...an )
(a3...an )
1
a3 +ð
(a4...an )
Oð +ð
an
7. KÅ‚adÄ…c w macierzy z zadania 5 aii =ð 1, otrzymuje siÄ™ wyznacznik oznaczony symbolem
(1...1)n , dla którego relacja rekurencyjna ( ** ) uzyskana w zadaniu 3c sprowadza się do postaci
(a1a2...an ) =ð (a1a2...an-ð1) +ð (a1a2...an-ð2 ) (**)
przy czym: (a1) =ð 1 , (a1a2 ) =ð 1+ð1
czyli (1)1 =ð 1 , (11)2 =ð 2 , (1...1)n =ð (1...1)n-ð1 +ð (1...1)n-ð2
Wynika stÄ…d, że ciÄ…g cn okreÅ›lony nastÄ™pujÄ…co: c1 =ð 1, cn+ð1 =ð (1...1)n jest ciÄ…giem Fibonacciego,
zdefiniowanym następująco:
c1 =ð 1, c2 =ð 1, cn+ð2 =ð cn+ð1 +ð cn dla n Å‚ð 1
7