UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1, Dowody, relacje, funkcje
1. Wykazać, że
n
n n n +�1 n
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
a) �� �� �� �� �� �� b) (a +� b)n =�
+�
����k �� akbn-�k
��k �� ��k +�1�� =� ��k +�1�� �� ��
k=�0
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
przeprowadzając odpowiednio: a)  dowód bezpośredni, b)  dowód indukcyjny.
2. Wykazać, że każda liczba całkowita n >�1 może być przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych.
3. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
4. Wiedząc, że rozkład liczb całkowitych n >�1, na czynniki pierwsze jest jednoznaczny,
udowodnić, że 2 jest liczbą niewymierną.
5. Sprawdzić, które z poniższych relacji w zbiorze S , określone przez podzbiór R iloczynu
kartezjańskiego S �� S , są: zwrotne, symetryczne, antysymetryczne, przechodnie. Które z nich
wprowadzają w zbiorze S całkowity ( liniowy ) lub częściowy porządek? Które z nich są
relacjami równoważności?
a) S =� {a,b,c,d} , R =� { (a,a),(b,b),(c,d),(d,d),(a,c),(a,b),(b,d),(a,d) }
b) S =� Z , R =� { (a,b): a >� b }
c) S =� Z , R =� { (a,b): a -� b =� 7k, k �� Z }
d) S =� { wszystkie funkcje f : Z �� Z }, R =� { ( f , g) : f (1) =� g(1) lub f (0) =� g(0) }
6. Czy zbiór: a) S =� {1, 2,3,5,6,15,30}- dzielniki 30, b) S =� {1,5, 25} - dzielniki 25 ,
jest częściowo lub też całkowicie uporządkowany ze względu na relację: a ~ b jeśli a jest
dzielnikiem b .
7. W zbiorze S =� R2 określona jest relacja: (x1, y1) ~ (x2, y2 ) jeśli y1 -� y2 =� 2(x1 -� x2 ) .
a) wykazać, że jest to relacja równoważności,
b) przedstawić opis geometryczny klas równoważności,
c) określić ( geometrycznie ) zbiór reprezentantów wszystkich klas równoważności.
8. Zbiór S =� { (a,b) �� R2 : a >� 0 i b >� 0 } można przedstawić jako sumę rozłącznych
podzbiorów S =� , Ac =� { (x, y) �� S : xy =� c } . Określić relację równoważności tak,
U�Ac
c��R+�
aby jej klasy równoważności pokrywały się ze zbiorami Ac .
9. Dobrać tak dziedzinę X i przeciwdziedzinę Y funkcji f : X '� x �� f (x) =� cos x ��Y , aby
funkcja ta posiadała następujące właściwości:
a) f jest injekcją , b) f jest surjekcją , c) f jest bijekcją
Podać, w każdym przypadku, w ilu punktach prosta pozioma Ly =� {(x, y0 ) �� X ��Y : x �� X },
0
przecina wykres funkcji f , dla danego y0 ��Y .
10. Niech X =� {1,2,3,4,5,6} , Y =� {1,3,5}. Funkcja f : X �� Y określona jest następująco:
f (x) =� x dla x nieparzystych , f (x) =� x -�1 dla x parzystych
Podać przykład funkcji h :Y �� X takiej, że ( f o� h)(y) =� y dla każdego y ��Y .
11. Funkcja f : Z+� �� Z+� określona jest następująco: f (n) =� n +�1. Podać przykład funkcji
h : Z+� �� Z+� takiej, że (h o� f )(n) =� n dla każdego n �� Z+� .
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań
1. a) Dowód wprost.
n n n +�1
ć� �� ć� �� ć� ��
Równość �� �� �� �� �� �� stanowi kluczową właściwość współczynników dwumianu
+�
��k �� ��k +�1�� =� ��k +�1��
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Newtona. Służy ona do konstrukcji trójkąta Pascala,
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
. . . . . . . . . . .
którego kolejne wiersze ( n = 0, 1, 2, ... , n ) zawierają współczynniki dwumianu Newtona
n
n n n n
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
n n-�1 0
(a +� b)n =�
����k �� an-�kbk =� �� b0 +� �� b1 +� ... +� �� bn
�� �� ��0��a ��1��a ��n��a
�� �� ��
k =�0
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
(a +� b)0 =� 1
(a +� b)1 =� a +� b
(a +� b)2 =� a2 +� 2ab +� b2
(a +� b)3 =� a3 +� 3a2b +� 3ab2 +� b3
(a +� b)4 =� a4 +� 4a3b +� 6a2b2 +� 4ab3 +� b4
Korzystając z definicji symbolu Newtona
n
ć� �� n!
�� �� =� , gdzie n!=� 1�� 2��...�� (n -�1) �� n
��k ��
(n -� k)!k!
Ł� ł�
pokazujemy, że lewa strona równania równa jest prawej:
n n
ć� �� ć� �� n! n! n! 1 1
�� ��
L =� �� �� +� �� �� =�
�� ż�
��k �� ��k +�1�� (n -� k)!k! +� (n -� k -�1)!(k +�1)! =� (n -� k -�1)!k!��n -� k +� k +�1�� =�
Ł� ł� Ł� ł�
n +�1
n! n +�1 ć� ��
=� =� �� �� =� P
��k
(n -� k -�1)!k! (n -� k)(k +�1) +�1��
Ł� ł�
��
2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań c.d.
1. b) Dowód przez indukcję.
Korzystamy z pierwszej zasady indukcji matematycznej:
Niech m będzie liczbą całkowitą oraz niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na
zbiorze {�n �� Z : n ł� m}�. Jeśli
- zdanie p(m) jest prawdziwe oraz
- dla k ł� m zdanie p(k +�1) jest prawdziwe, jeśli zdanie p(k) jest prawdziwe,
to zdanie p(n) jest prawdziwe dla każdego n ł� m.
n
n
ć� ��
Warunek początkowy. Sprawdzamy, że wzór (a +� b)n =�
����k �� akbn-�k jest prawdziwy dla
�� ��
k=�0
Ł� ł�
n =� 0:
0
0 0 n
ć� �� ć� �� ć� ��
-�k 0
L =� (a +� b)0 =� 1 , P =�
����k �� bk =� �� b0 =� 1 , bo �� =� 1 dla n ł� 0
�� ��a ��0��a ��n��
�� ��
k =�0
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Krok indukcyjny. Wykazujemy, że powyższy wzór jest prawdziwy dla n =� m +�1, jeśli tylko
jest on prawdziwy dla n =� m i m ł� 0 .
m m m
m m m
L =� (a +� b)m+�1 =� (a +� b)(a +� b)m =� (a +� b) �� �� am-�kbk =� a �� �� am-�kbk +� b �� �� am-�kbk =�
��ć� k �� ��ć� k �� ��ć� k ��
�� �� �� �� �� ��
k =�0 k =�0 k =�0
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
m m
m m
=� �� �� am+�1-�kbk +� �� �� am-�kbk +�1 =�
��ć� k �� ��ć� k ��
�� �� �� ��
k =�0 k =�0
Ł� ł� Ł� ł�
Zmieniamy indeks sumacyjny w drugiej sumie z k na l przyjmując k =� l -�1 ( l =� k +�1 ).
Jeśli 0 Ł� k Ł� m to 1 Ł� l Ł� m +�1.
Natomiast w pierwszej sumie zmieniamy oznaczenie kładąc k =� l.
m m+�1
m m
ć� �� ć� ��
=� ��
���� l �� am+�1-�lbl +� ����l -�1�� am+�1-�kbl =�
�� �� ��
l=�0 l=�1
Ł� ł� Ł� ł�
Wyłączamy z pierwszej sumy pierwszy wyraz a z drugiej ostatni
m m
m m m m
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
0
=� �� ��am+�1b0 +� �� am+�1-�lbl +� ��
���� l ł� ����l -�1�� am+�1-�lbl +� �� bm+�1 =�
�� �� �� �� �� ��m��a
��
0
l=�1 l=�1
Ł� ł� Ł� Ł� ł� Ł� ł�
m
m +�1 �� m m ł� m +�1
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
m+�1
=� �� �� ��
��ę���l -�1�� +� �� l ��ś� am+�1-�lbl +� �� ��a0bm+�1 =�
�� ��a b0 +� �� �� �� ��m +�1��
0
l=�1
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
m m m +�1
ć� �� ć� �� ć� ��
Korzystamy ze wzoru z zadania 1a) �� �� �� �� �� ��
=�
��l -�1�� +� �� �� �� ��
l l
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
3
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań c.d.
m
m +�1 m +�1 m +�1
ć� �� ć� �� ć� ��
m+�1 m+�1-�l
=� �� ��
���� l ��
�� ��a b0 +� �� ��a bl +� �� ��a0bm+�1 =�
��m +�1��
0
l=�1
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Włączamy skrajne składniki pod znak sumacyjny
m+�1
m +�1
ć� ��
=�
���� l �� am+�1-�lbl =� P
�� ��
l=�0
Ł� ł�
��
2. Dowód przez indukcję.
Korzystamy z drugiej zasady indukcji matematycznej:
Niech m będzie liczbą całkowitą oraz niech p(n) będzie ciągiem zdań zdefiniowanych na
zbiorze {�n �� Z : n ł� m}�. Jeśli
- zdanie p(m) jest prawdziwe oraz
- dla k ł� m zdanie p(k +�1) jest prawdziwe, jeśli wszystkie zdania p(m),..., p(k)
są prawdziwe,
to zdanie p(n) jest prawdziwe dla każdego n ł� m.
Warunek początkowy. Dla m =� 2 zdanie liczba 2 jest iloczynem liczb pierwszych jest
prawdziwe.
Krok indukcyjny. Niech k ł� 2 . Jeśli k +�1 jest liczba pierwszą to jest iloczynem liczb
pierwszych. Jeśli k +�1 nie jest liczbą pierwszą to z definicji liczb pierwszych wynika, że można
przedstawić ja jako iloczyn liczb całkowitych, k +�1 =� k1k2 przy czym 2 Ł� k1 <� k +�1 i
2 Ł� k2 <� k +�1. Tak więc z założenia indukcyjnego k1 i k2 są iloczynami liczb pierwszych.
Tym samym k +�1 jest iloczynem liczb pierwszych.
��
3. Dowód nie wprost ( sprowadzenie do sprzeczności )
Dowód oparty jest na równoważności zdań logicznych:
(�z1 Ł� z2 Ł�... Ł� zn �� t)� �� [�(�z1 Ł� z2 Ł�... Ł� zn Ł� ~ t)�� sprzeczność]�
gdzie zi tworzą zbiór założeń a t tezę. Przyjmując, że teza jest nieprawdziwa i korzystając
z założeń sprowadzamy dowód do sprzeczności.
Przyjmijmy więc, że istnieje skończenie wiele liczb pierwszych: p1, p2,..., pk . Niech
n =� p1 �� p2 ��...�� pk +�1. Wtedy n ł� pi dla każdego i =� 1,2,...,k . Liczba n nie jest więc liczbą
pierwszą a z założenia wynika, że jest ona iloczynem liczb pierwszych. Oznacza to, że obie
liczby n i n -�1 są podzielne przez jedną z liczb pierwszych pi . Tym samym różnica tych
liczb równa 1 jest podzielna przez pi , co jest niemożliwe ponieważ pi ł� 2 .
��
4
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań c.d.
4. Dowód nie wprost ( sprowadzenie do sprzeczności )
Przyjmijmy, że 2 jest liczbą wymierną. Istnieją wtedy dwie liczby całkowite p i q nie
mające wspólnych dzielników, takie że 2 =� p / q . Stąd 2q2 =� p2 . Z jednoznaczności
rozkładu liczb całkowitych na czynniki pierwsze wynika, że p jest podzielne przez 2 czyli
2
p =� 2k , gdzie k jest całkowite. Wtedy q2 =� 2k , a tym samym q jest także podzielne przez 2,
co jest sprzeczne z faktem, że p i q nie mają wspólnych dzielników.
��
5. a)
Relacja R =� { (a,a),(b,b),(c,d),(d,d),(a,c),(a,b),(b,d),(a,d) } w zbiorze
S =� {a,b,c,d} nie jest zwrotna, ponieważ para (c,c) �� R . Element c nie jest w relacji sam z
sobą.
Relacja R nie jest symetryczna, ponieważ (c,d) �� R podczas gdy (d,c) �� R .
Relacja R jest antysymetryczna, bowiem nie takich dwóch różnych elementów p,q �� R , dla
których równocześnie zachodzi ( p,q) �� R i (q, p) �� R .
Relacja R jest przechodnia, bowiem nie takich trzech różnych elementów p,q,r �� R , dla
których zachodzi ( p,q) �� R i (q,r) �� R podczas gdy ( p,r) �� R .
5. b)
Relacja R =� { (a,b): a >� b }w zbiorze S =� Z nie jest zwrotna, ponieważ dla dowolnej liczby
całkowitej c para (c,c) �� R . Żadna liczba nie jest większa od siebie.
Relacja R nie jest symetryczna, bowiem nie mogą być spełnione równocześnie nierówności
a <� b i b <� a .
Relacja R jest antysymetryczna, bowiem nie mogą być spełnione równocześnie nierówności
a <� b i b <� a .
Relacja R jest przechodnia, ponieważ dla dowolnych trzech liczb całkowitych prawdziwa jest
implikacja: (a >� b) Ł� (b >� c) �� (a >� c) .
5. c)
Relacja R =� { (a,b): a -� b =� 7k, k �� Z }w zbiorze S =� Z jest zwrotna, ponieważ dla
dowolnej liczby c �� Z mamy c -� c =� 7 �� 0 , 0 �� Z .
Relacja R jest symetryczna. Jeśli a -� b =� 7k dla pewnego k �� Z to b -� a =� 7(-�k) i
-� k �� Z .
Relacja R nie jest antysymetryczna, bowiem istnieją dwie różne liczby, na przykład 2 i 9 , dla
których zachodzi 2 ~ 9 i 9 ~ 2 .
Relacja R jest przechodnia. Jeśli a -� b =� 7k i b -� c =� 7m dla k,m �� Z to
a -� c =� 7(k +� m) i k +� m�� Z .
5
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań c.d.
Relacja ta jest więc relacją równoważności. Dzieli ona zbiór Z na siedem rozłącznych
podzbiorów ( klas równoważności ) Sm , m =� 0,1,2,3,4,5,6:
Sm =� {�a �� Z : a =� 7k +� m, k �� Z}�
Jeśli a,b �� Sm to a =� 7k +� m i b =� 7l +� m dla pewnych k,l �� Z .Wtedy
a -� b =� 7(k -� l) i b -� a =� 7(l -� k) czyli a ~ b i b ~ a .
5. d)
Relacja R =� { ( f , g) : f (1) =� g(1) lub f (0) =� g(0) } w zbiorze
S =� { wszystkie funkcje f : Z �� Z } jest zwrotna, ponieważ dla dowolnej funkcji f mamy
f (1) =� f (1) i f (0) =� f (0) .
Relacja R jest symetryczna. Jeśli f (a) =� g(a) to także g(a) =� f (a) .
Relacja R nie jest antysymetryczna, bowiem istnieją dwie różne funkcje, takie że f (1) =� g(1)
i f (0) =� g(0) oraz f (2) ą� g(2).
Relacja R nie jest przechodnia. Istnieją takie funkcje f , g,h , dla których:
f (1) =� g(1) i f (0) ą� g(0) oraz g(0) =� h(0) i f (1) ą� h(1) . Wtedy f ~ g i g ~ h
natomiast ( f ,h) �� R . Na przykład: f (a) =� 1, g(a) =� a , h(a) =� 0 .
��
6. Uwaga.
W każdym skończonym podzbiorze zbioru Z+� ( dodatnie liczby całkowite ) relacja a ~ b jeśli
a |�b ( a jest dzielnikiemb ) jest relacja porządku. Jest ona:
- zwrotna: a |� a ,
- antysymetryczna: jeśli a |� b i b |� a to a =� b ,
- przechodnia: jeśli a |� b i b |� c to a |� c .
a) W zbiorze S =� {1, 2,3,5,6,15,30}porządek jest częściowy, ponieważ istnieją takie elementy
a i , które nie są ze sobą w relacji: (a,b) �� R i (b,a) �� R . Na przykład 3 i 5 . W zbiorze
S możemy wyróżnić trzy maksymalne podzbiory uporządkowane liniowo:
1 Ł� 2 Ł� 6 Ł� 30 , 1 Ł� 3 Ł� 15 Ł� 30 , 1 Ł� 5 Ł� 15 Ł� 30
b) W zbiorze S =� {1,5, 25}porządek jest liniowy, ponieważ dla każdych dwóch elementów a ,
zachodzi: a |�b lub b |� a .
1 Ł� 5 Ł� 25
6
b
b
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań c.d.
7. a)
W zbiorze S =� R2 relacja: (x1, y1) ~ (x2, y2 ) jeśli y1 -� y2 =� 2(x1 -� x2 ) jest relacją
równoważności, ponieważ jest ona:
- zwrotna: y1 -� y1 =� 2(x1 -� x1) ,
- symetryczna: Niech (x1, y1) ~ (x2, y2 ) , wtedy y1 -� y2 =� 2(x1 -� x2 ) i mnożąc obie
strony równania przez  1 otrzymujemy y2 -� y1 =� 2(x2 -� x1) czyli (x2, y2 ) ~ (x1, y1) .
- przechodnia: Niech (x1, y1) ~ (x2, y2 ) i (x2, y2 ) ~ (x3, y3) .
Wtedy y1 -� y2 =� 2(x1 -� x2 ) i y2 -� y3 =� 2(x2 -� x3) . Dodając oba równania
stronami otrzymujemy y1 -� y3 =� 2(x1 -� x3) czyli (x1, y1) ~ (x3, y3) .
b)
Klasą równoważności punktu (x0 , y0 ) jest podzbiór A0 �� R2 złożony z punktów
(x, y) będących w relacji z punktem (x0 , y0 ) :
y -� y0 =� 2(x -� x0 ) czyli y =� 2x +� (y0 -� x0 )
Podzbiór A0 jest więc prostą o współczynniku kierunkowym 2, przechodzącą przez punkt
(x0 , y0 ) . Cała płaszczyzna R2 podzielona jest na rozłączne podzbiory ( klasy równoważności )
 proste równoległe o współczynniku kierunkowym 2.
c)
Zbiorem reprezentantów jest dowolny podzbiór R2 , taki że zawiera on po jednym elemencie z
każdej prostej o współczynniku kierunkowym 2. Może nim więc być dowolna prosta, która nie
jest równoległa do A0 , opisana równaniem y =� ax +� b , gdzie a ą� 2 .
Układ równań: y =� 2x +� (y0 -� x0 )
y =� ax +� b
b -� y0 +� x0 b -� y0 +� x0
posiada bowiem zawsze jedno rozwiązanie: x =� , y =� a +� b
2 -� a 2 -� a
jeśli tylko a ą� 2 .
8.
Klasy równoważności, jakimi są rozłączne podzbiory Ac =� { (x, y) �� S : xy =� c, c >� 0 },
tworzące podział zbioru S =� { (a,b) �� R2 : a >� 0 i b >� 0 }, są hiperbolami. Dwa punkty o
współrzędnych (x1, y1) i (x2, y2 ) są w relacji jeśli leżą na tej samej hiperboli ( ta sama
wartość c ): x1y1 =� c i x2 y2 =� c . Eliminując z tych równań parametr c otrzymujemy:
(x1, y1) ~ (x2, y2 ) jeśli x1y1 =� x2 y2 .
7
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań c.d.
9. a)
Injekcja jest to funkcja różnowartościowa f : X �� Y . Jeśli x1 ą� x2 to f (x1) ą� f (x2 ) dla
wszystkich x1 , x2 �� X . Oznacza to, że y0 ��Y może być wartością funkcji tylko dla jednego
elementu zbioru X . Równanie f (x) =� y0 posiada co najwyżej jedno rozwiązanie x . Prosta
pozioma Ly =� {(x, y0 ) �� X ��Y : x �� X }przecina wykres funkcji f co najwyżej w jednym
0
punkcie.
p�
��0, ł�
- f : �� [�-�1,1]� , określona wzorem f (x) =� cos(x) jest injekcją ale nie surjekcją,
ę� ś�
2
�� ��
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
- w jednym punkcie dla y0 ��[�0,1]�,
- w żadnym punkcie dla y0 ��[-�1,0)
- f :[�0,p�]��[�-� 2,2]� , określona wzorem f (x) =� cos(x) jest injekcją ale nie surjekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
- w jednym punkcie dla y0 ��[�-�1,1]�,
- w żadnym punkcie dla y0 ��[-�2,-�1) �� (1,2]
b)
Surjekcja jest to funkcja f : X �� Y , dla której każdy element y ��Y jest wartością funkcji dla
jakiegoś x �� X . Obrazem funkcji jest cała przeciwdziedzina - f (X ) =� Y .
Równanie f (x) =� y0 posiada co najmniej jedno rozwiązanie x . Prosta pozioma
Ly =� {(x, y0 ) �� X ��Y : x �� X }przecina wykres funkcji f w co najmniej jednym punkcie.
0
p� p�
�� ł�
- f : , �� [�0,1]� , określona wzorem f (x) =� cos(x) jest surjekcją ale nie injekcją,
ę�-� 2 2 ś�
�� ��
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
- w jednym punkcie dla y0 �� 0 ,
- w dwóch punktach dla y0 ��(0,1]
3
��0, ł�
- f : p� �� [�-�1,1]� , określona wzorem f (x) =� cos(x) jest surjekcją, ale nie injekcją
ę� ś�
4
�� ��
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
- w jednym punkcie dla y0 ��(0,1] ,
- w dwóch punktach dla y0 ��[-�1,0]
8
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 1  uwagi, szkice rozwiązań c.d.
c)
Bijekcja jest jednocześnie injekcją i surjekcją. Jest to funkcja f : X �� Y , dla której każdy
element y ��Y jest wartością funkcji, ale tylko dla jednego x �� X . Obrazem funkcji jest cała
przeciwdziedzina - f (X ) =� Y . Równanie f (x) =� y0 posiada jedno rozwiązanie x =� x0 , dla
każdego y0 ��Y . Prosta pozioma Ly =� {(x, y0 ) �� X ��Y : x �� X }przecina wykres funkcji
0
f w jednym punkcie (x0 , y0 ) .
p�
��0, ł�
- f : �� [�0,1]� , określona wzorem f (x) =� cos(x) jest bijekcją,
ę� ś�
2
�� ��
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
- w jednym punkcie dla każdego y0 ��[0,1],
- f :[�0,p�]��[�-�1,1]� , określona wzorem f (x) =� cos(x) jest bijekcją,
prosta pozioma przecina wykres tej funkcji:
- w jednym punkcie dla każdego y0 ��[-�1,1] .
10.
Funkcji f : X �� Y można przyporządkować prawostronną funkcję odwrotną h :Y �� X
taką, że ( f o� h)(y) =� y dla każdego y ��Y , wtedy i tylko wtedy gdy f jest surjekcją.
Funkcja f :{�1,2,3,4,5,6}��{�1,3,5}� , taka że f (x) =� x dla x nieparzystych ,
f (x) =� x -�1 dla x parzystych spełnia ten warunek. Należy zauważyć, że wartość
h(y0 ) powinna należeć do przeciwobrazu elementu y0 przy przekształceniu f ( wybór
reprezentanta jest dowolny ). Przykłady funkcji h :{�1,3,5}��{�1,2,3,4,5,6}�:
- h(y) =� y ,
- h(y) =� y +�1.
11.
Funkcji f : X �� Y można przyporządkować lewostronną funkcję odwrotną h :Y �� X
taką, że (h o� f )(x) =� x dla każdego x �� X , wtedy i tylko wtedy gdy f jest injekcją.
Tym razem jeśli y0 należy do obrazu funkcji f, czyli y0 =� f (x0 ) dla pewnego x0 �� X , to
musi być spełniony warunek h(y0 ) =� x0 . Jeśli natomiast y0 �� f (X ) to wartość h(y0 )
może być dowolna.
Funkcja f : Z+� �� Z+� , taka że f (n) =� n +�1 spełnia ten warunek, przy czym tylko1�� f (X ) .
Przykłady funkcji h : Z+� �� Z+� :
- h(n) =� n -�1 dla n >� 1 ,
h(1) =� m , gdzie m �� Z+� dowolnie wybrana liczba.
9