UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 3, Przestrzenie liniowe; podprzestrzenie, baza i wymiar przestrzeni liniowej
1. Dwa wektory v1 i v2 z przestrzeni liniowej V nad ciałem liczb rzeczywistych R są liniowo
niezależne. Dla jakich liczb a���R wektory a�v1 + v2 i v1 + a�v2 są również liniowo niezależne?
2. Niech V oznacza dwuwymiarową przestrzeń liniową nad 3-elementowym ciałem K. Wyznaczyć:
a) liczbę wektorów przestrzeni V,
b) pary wektorów liniowo zależnych,
c) liczbę baz przestrzeni V.
3. Wykazać, że liczba postaci x =� 2 +� 3 spełnia równanie stopnia czwartego o współczynnikach
całkowitych.
Wskazówka: Zauważyć, że liczby: 1, x, x2 , x3 , x4 mogą być traktowane jako elementy
4-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych Q , rozpiętej przez wektory:
p =� 1, r =� 2 , s =� 3 , t =� 6 .
4. Określić postać funkcji kwadratowej f (x) =� ax2 +� bx +� c takiej, że f (-�1) =� 2 , f (0) =� 3 ,
f (2) =� -�1 , bez rozwiązywania układu równań na współczynniki a, b, c.
Wskazówka: Wybrać w 3-wymiarowej przestrzeni liniowej funkcji kwadratowych bazę złożoną
z funkcji: f1 , f2 , f3 takich, że dla k,l = 1,2,3 oraz x1 =� -�1, x2 =� 0 , x3 =� 2
1 gdy k =� l
��
fk (xl ) =� d�kl , gdzie d�kl =�
��
0 gdy k ą� l
��
określając ich postać w oparciu o twierdzenie Bezout. Następnie przedstawić funkcję f
jako kombinację liniową funkcji fk .
5. Wykazać, że następujące zbiory wektorów w przestrzeni liniowej R5 tworzą podprzestrzenie
liniowe. Wyznaczyć bazy i wymiary tych podprzestrzeni:
a) pierwsza i ostatnia współrzędne są sobie równe,
b) parzyste współrzędne są sobie równe,
c) nieparzyste współrzędne są sobie równe.
6. Zbiór nieskończonych ciągów x =� (x1, x2,...) liczb rzeczywistych xi �� R , jest nieskończenie
wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem R ( dodawanie ciągów i mnożenie ciągu przez liczbę ).
Sprawdzić czy podzbiór ciągów o podanych warunkach jest podprzestrzenią liniową:
a) (xk ) jest ciągiem arytmetycznym,
b) (xk ) jest ciągiem geometrycznym,
c) $�k >� 200 : xk =� 0 ,
d) "�k >� 200 : xk =� 0 .
7. Wykazać liniową niezależność układu funkcji:
sin x , cos x , sin 2x , cos 2x , sin3x , cos3x
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 3 - Uwagi, szkice rozwiązań.
1. Dwa wektory u ,v , należące do przestrzeni liniowej V nad ciałem K, są liniowo zależne, gdy
oba należą do jednowymiarowej podprzestrzeni V0 rozpiętej przez niezerowy wektor u
(lub v ), Podprzestrzeń V0 jest zbiorem wektorów postaci l�u (lub l�v ) , gdzie l� �� K .
Załóżmy, że wektory niezerowe u =� av1 +� v2 i v =� v1 +�a�v2 są liniowo zależne. Wtedy
v1 +�a�v2 =� l�(a�v1 +� v2 ) , a�,l� �� R
czyli (1-� l�a� )v1 +� (a� -� l�)v2 =� 0 . Z liniowej niezależności wektorów v1 i v2 otrzymujemy
1-� l�a� =� 0 i a� -� l� =� 0 .
Stąd a� =� ą�1 gdy wektory u ,v są liniowo zależne. Jeśli a� ą� ą�1 to wektory u ,v są liniowo
niezależne.
2. Ciało 3-elementowe jest izomorficzne z ciałem liczbowym Z3 ={0,1,2} ( dodawanie i mnożenie
modulo 3). Dwuwymiarowa przestrzeń liniowa V jest rozpięta nad ciałem Z3 przez dwa niezerowe
wektory v1 ,v2 tworzące bazę w V . Jest ona złożona z wektorów postaci v =� a�1v1 +�a�2v2 , gdzie
a�1,a�2 =� 0,1,2 to współrzędne wektora v w bazie v1 ,v2 . We współrzędnych: v =� (a�1,a�2 ) .
Liczba wektorów przestrzeni V wynosi więc N =� 32 =� 9 :
V =� {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
W tym przypadku każda jednowymiarowa podprzestrzeń liniowa składa się z trzech wektorów:
0, u ,2u . Na przykład: jeśli u =� (1,2) to 2u =� (2,1) bowiem
2(v1 +� 2v2 ) =� 2v1 +� 2(2v2 ) =� 2v1 +� (2�� 2)v2 =� 2v1 +� v2
W ten sposób otrzymuje się cztery pary wektorów liniowo zależnych:
(0,1) i (0,2), (1,0) i (2,0), (1,1) i (2,2), (1,2) i (2,1)
Tworząc bazę ( uporządkowany układ dwóch wektorów liniowo niezależnych ) wybieramy po
jednym wektorze z powyższych czterech par. Można to zrobić na k sposobów:
4
ć� ��
��
k =� �� 2 �� 2 �� 2 =� 48 lub k =� (2�� 6 +� 2�� 4 +� 2�� 2) �� 2 =� 48
��2��
��
Ł� ł�
3. Szukamy skończenie wymiarowej podprzestrzeni liniowej V w przestrzeni liniowej liczb
rzeczywistych R nad ciałem liczb wymiernych Q takiej, że kolejne potęgi liczby x =� 2 +� 3
należą do V. Przestrzeń V jest rozpięta przez cztery wektory (liczby rzeczywiste):
p =� 1, r =� 2 , s =� 3 , t =� 6 bowiem kolejne potęgi x (w szczególności 1, x, x2 , x3 , x4 )
są kombinacjami liniowymi liczb p,r,s,t , o współczynnikach wymiernych. Na przykład
x2 =� 5 +� 2 6 =� 5p +� 2t . Ale każdy układ pięciu wektorów (w szczególności 1, x, x2 , x3 , x4 )
jest liniowo zależny w czterowymiarowej przestrzeni V. Oznacza to, że istnieje niezerowy układ
liczb wymiernych a4,a3,a2,a1,a0 takich, że
a4x4 +� a3x3 +� a2x2 +� a1x +� a0 =� 0
Mnożąc obie strony przez wspólny mianownik liczb a4,a3,a2,a1,a0 otrzymuje się równanie o
współczynnikach całkowitych.
2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 3 - Uwagi, szkice rozwiązań  c.d.
4. Zbiór funkcji kwadratowych f (x) =� ax2 +� bx +� c , a,b,c �� R stanowi 3-wymiarową
przestrzeń liniową V nad ciałem R , rozpiętą przez wektory:
g1(x) =� 1 , g2 (x) =� x , g3(x) =� x2
Z uwagi na fakt, że przyporządkowanie funkcji f jej wartości f (x0 ) w wybranym punkcie x0
ma charakter liniowy wygodnie jest w tym przypadku wybrać bazę w przestrzeni V złożoną z
funkcji kwadratowych : f1 , f2 , f3 takich, że
dla k,l =� 1,2,3 oraz x1 =� -�1, x2 =� 0 , x3 =� 2
1 gdy k =� l
��
fk (xl ) =� d�kl , gdzie d�kl =�
��
0 gdy k ą� l
��
Korzystając z twierdzenia Bezout ( wielomian W (x) jest podzielny przez x -� x0 jeśli
W(x0 ) =� 0 ) otrzymuje się następujące postaci funkcji f1 , f2 , f3 :
1 1 1
f1(x) =� x(x -� 2) , f2 (x) =� -� (x +�1)(x -� 2) , f3 (x) =� x(x +�1)
3 2 6
Poszukiwana funkcja jest następującą kombinacją liniową funkcji f1 , f2 , f3 :
2 3 1
f (x) =� f (x1) f1(x) +� f (x2 ) f2 (x) +� f (x3) f3(x) =� x(x -� 2) -� (x +�1)(x -� 2) -� x(x +�1)
3 2 6
f (x) =� -�x2 +� 3
5. We wszystkich przypadkach określone zbiory są domknięte względem dodawania wektorów w
R5 i ich mnożenia przez liczbę:
a) (a1,b1,c1,d1,a1) +� (a2,b2,c2,d2,a2 ) =� (a1 +� a2,b1 +� b2,c1 +� c2,d1 +� d2,a1 +� a2 )
a�(a1,b1,c1,d1,a1) =� (a�a1,a�b1,a�c1,a�d1,a�a1)
Podobnie dla b) i c).
Tworzą więc one podprzestrzenie liniowe.
a) Bazę stanowią wektory:
v1 =� (1,0,0,0,1) , v2 =� (0,1,0,0,0) , v3 =� (0,0,1,0,0) , v4 =� (0,0,0,10)
bowiem (a,b,c,b,d) =� av1 +� bv2 +� cv3 +� dv4 . Podprzestrzeń ma wymiar 4.
b) Bazę stanowią wektory:
v1 =� (1,0,0,0,0) , v2 =� (0,1,0,1,0) , v3 =� (0,0,1,0,0) , v4 =� (0,0,0,0,1)
bowiem (a,b,c,b,d) =� av1 +� bv2 +� cv3 +� dv4 . Podprzestrzeń ma wymiar 4.
c) Bazę stanowią wektory:
v1 =� (1,0,1,0,1) , v2 =� (0,1,0,0,0) , v3 =� (0,0,0,10)
bowiem (a,b,a,c,a) =� av1 +� bv2 +� cv3 . Podprzestrzeń ma wymiar 3.
3
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 3 - Uwagi, szkice rozwiązań  c.d.
6. Podzbiór ciągów o podanych warunkach jest podprzestrzenią liniową V jeśli:
1) suma dwóch dowolnych ciągów o podanych warunkach również spełnia podany warunek,
2) ciąg o podanych warunkach pomnożony przez liczbę także spełnia podany warunek.
a) TAK
Ciąg arytmetyczny spełnia warunek: "�k �� N xk+�1 -� xk =� r , gdzie r jest ustaloną liczbą
ó� ó�ó�
rzeczywistą. Wystarczy zauważyć, że dla sumy dwóch ciągów arytmetycznych (xk ) i (xk )
ó� ó�ó� ó� ó�ó� ó� ó�ó� ó� ó�
xk+�1 +� xk+�1 -� (xk +� xk ) =� r +� r , a dla "�a� �� R a� xk+�1 -�a� xk =� a�r
b) NIE
2
Ciąg geometryczny spełnia warunek: "�k �� N xk+�1 =� xk+�2xk . Istnieją takie ciągi
geometryczne, dla których suma nie jest ciągiem geometrycznym. Na przykład
ó� ó�ó�
x =� (1,2,4,8,...) , x =� (1,3, 9,27,...) . Wtedy
ó� ó�ó� ó� ó�ó� ó� ó�ó�
(x2 +� x2 )2 =� 25 ą� 72 =� (x3 +� x3)(x1 +� x1)
c) NIE
Istnieją takie dwa ciągi spełniające warunek: $�k >� 200 : xk =� 0, natomiast ich suma
warunku tego nie spełnia. Na przykład
ó� ó� ó�ó� ó�ó�
xk =� 1 dla k ą� 300 , x300 =� 0 ; xk =� 1 dla k ą� 400 , x400 =� 0
d) TAK
ó� ó�ó�
Wystarczy zauważyć, że dla sumy dwóch ciągów (xk ) i (xk ) takich, że
ó� ó�ó�
"�k >� 200 : xk =� 0 i "�k >� 200 : xk =� 0
ó� ó�ó� ó�
zachodzi również: "�k >� 200 : xk +� xk =� 0 a dla "�a� �� R a� xk =� 0 .
7. Dowód typu nie wprost.
Załóżmy, że funkcje sin x , cos x , sin 2x , cos 2x , sin3x , cos3x są liniowo zależne. Wtedy
istnieje kombinacja liniowa tych funkcji równa wektorowi zerowemu, mająca przynajmniej
jeden współczynnik różny od zera:
asin x +� bcos x +� csin 2x +� d cos 2x +� esin3x +� f cos3x =� 0
Dobierając sprytnie punkty x otrzymuje się proste układy równań liniowych na współczynniki
a,b,c,d,e, f .
Kładąc x =� 0 i x =� p� mamy e =� 0 i d =� -� f .
Kładąc x =� ą�p� / 6 mamy d =� 0 . Stąd d =� e =� f =� 0 .
Następnie kładąc x =� p� / 3 i x =� 2p� / 3 mamy a =� 0 =� b . Ostatecznie kładziemy
x =� p� / 2 , skąd c =� 0 . Otrzymujemy sprzeczność.
Wynika stąd, że funkcje sin x , cos x , sin 2x , cos 2x , sin3x , cos3x są liniowo niezależne.
4