UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA DOMOWE - Seria 2
1. Grupa, element neutralny , element odwrotny.
Wykazać, że (Z,oð) , gdzie a oð b =ð a +ð b +ð 2 jest grupÄ…. Wyznaczyć postać elementu neutralnego
e oraz elementu odwrotnego a-ð1 .
2. Grupa, podgrupa.
Znalez
ć najmniejszÄ… podgrupÄ™ grupy (Z,+ð) zawierajÄ…cÄ… nastÄ™pujÄ…ce liczby:
a) {ð4,-ð 6}ð b) {ð3,5}ð
3. Grupa, homomorfizm, izomorfizm.
Wykazać, że przeksztaÅ‚cenie f : Z ®ð Z postaci f (m) =ð 5m jest homomorfizmem
grupy (Z,+ð) . Czy jest ono izomorfizmem?
4. Grupa, podgrupa, twierdzenie Lagrange a, grupa abelowa.
Wykazać na trzy różne sposoby, że zbiór A={e,a,b,c,d} z działaniem opisanym w tabelce
e a b c d
e e a b c d
a a e c d b
b b d a e c
c c b d a e
d d c e b a
nie jest grupÄ….
a) sprawdzajÄ…c aksjomaty grupy, b) korzystajÄ…c z twierdzenia Lagrange a,
c) korzystając z faktu, że każda grupa posiadająca nie więcej niż 5 elementów jest abelowa.
5. Grupa przekształceń, podgrupa, grupa abelowa.
Opisać grupę przekształceń symetrii trójkąta równobocznego podając tabelkę mnożenia oraz
wyznaczyć jej podgrupy. Czy jest to grupa abelowa?
6. Ciało, równanie kwadratowe.
W ciele Q( 2) rozwiązać równanie
x2 +ð (4 -ð 2 2)x +ð 3 -ð 2 2 =ð 0
7. Definicja ciała. .
Czy zbiór liczb A =ð {ð0,1,2,3,4,5)}ðz dwoma dziaÅ‚aniami: dodawaniem i mnożeniem modulo 6
jest ciałem?
8. Definicja przestrzeni liniowej.
Czy zbiór R2 z dodawaniem (x1, y1) +ð (x2, y2 ) =ð (x1 +ð x2, y1 +ð y2)
i mnożeniem przez liczbÄ™ lð(x, y) =ð (lðx, y)
jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.
9. Podprzestrzeń liniowa.
ìð üð
a,v,u Îð R3 -ð ustalone
Czy zbiór S Ìð R3 taki, że S =ð Îð R3 : x =ð a +ð tv +ð su, gdzie
íðx żð
t, s Îð R -ð dowoln e
îð þð
jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ…?
10. Przekształcenie liniowe.
Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi?
2
a) f : R2 ®ð R , f (ð(x1, x2 ))ð =ð 2x1 -ð 3x2 b) f : R2 ®ð R , f (ð(x1, x2 ))ð =ð 3x1 +ð 2x2
c) f : R ®ð R2 , f (x) =ð (x2,2x) d) f : R3 ®ð R2 ,