UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA DOMOWE - Seria 1
1. Relacja rekurencyjna, konwencja sumacyjna, suma ciągu geometrycznego.
Znalez
ć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x1 =� 3 , xn =� xn-�1 +� 2n ,
n
sprowadzając problem do obliczania sumy xn =� , ak =� ? .
��ak
k =�0
2. Konwencja sumacyjna, zmiana wskaz
nika sumacyjnego, przemienność sumowania .
n
Obliczyć sumę Sn =�
��(1+� 2k) w następujący sposób. Dokonując zamiany wskaz
nika
k =�0
n
sumacyjnego k �� l =� n -� k otrzymujemy nową postać sumy Sn =� ) . Dodając oba
��(
l=�0
wyrażenia na sumę obliczamy 2Sn ( wskaz
niki sumacyjne oznaczamy przy tym tą samą literą j ).
3. Konwencja sumacyjna, dwumian Newtona, symbol Newtona.
10
x0
Przedstawić wyrażenie(�x +� x-�1)� w postaci sumy. Obliczyć współczynniki liczbowe przy x5 i .
4. Konwencja sumacyjna, symbol Newtona, zasada indukcji 1, suma ciągu arytmetycznego.
n
n +�1
ć� ��
Wykazać metodą indukcji, że -� k)k =� �� �� .
��(n
�� ��
3
k =�0
Ł� ł�
5. Relacja rekurencyjna, zasada indukcji 2 .
Wykazać metodą indukcji, że ogólny wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: a1 =� 6 , a2 =�18,
an+�2 =� 2an+�1 +� 8an -�18 ma postać an =� 4n +� 2 .
6. Dowód nie wprost, ciąg arytmetyczny, liczby wymierne i niewymierne.
Czy liczby rzeczywiste a,b,c mogą być wyrazami (niekoniecznie kolejnymi) ciągu
c
arytmetycznego, jeśli a <� b <� c ; a i b są wymierne, natomiast niewymierne?
7. Dowód nie wprost, ciąg geometryczny, rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
Czy liczby 7 , 11 , 17 mogą być wyrazami (niekoniecznie kolejnymi) ciągu
geometrycznego?
8. Iloczyn kartezjański, relacje.
R
Zbadać właściwości następujących relacji w zbiorze A =� {�0,1,2}� : (m,n) �� R �� A�� A jeśli
a) mn =� m , b) m +� n �� A , c) m =� max{�n,1}� , d) m2 +� n2 =� 2 , e) m <� n
9. Relacja, częściowy porządek.
Niech B =� {�1,2,3,4}�. Wykazać, że relacja w zbiorze B �� B określona następująco:
(m,n) ~ (k,l) jeśli m Ł� k i n Ł� l , jest relacją porządku? Podać przykład najdłuższego,
uporządkowanego ciągu elementów zbioru B �� B .
10. Relacja równoważności, klasy równoważności.
Wykazać, że relacja w R �� R taka, że (�x1, y1)� ~ (�x2, y2 )� jeśli x1 +� y2 =� x2 +� y1 jest relacją
równoważności. Opisać klasy równoważności.
11. Relacja, wykres funkcji.
Czy relacja R �� N �� Z , R =�{�(x, y) : x2 =� y2}� może być wykresem funkcji f : N �� Z ?
12. Funkcja, injekcja, surjekcja, obraz zbioru, przeciwobraz zbioru.
Czy funkcja f : Z+� �� Z+� �� Z , f (m,n) =� m +� n +�1 jest: a) injekcją? b) surjekcją?
-�1 -�1
Znalez
ć f (A��{1}) oraz f ({0}) i f ({3}).