UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA DOMOWE - Seria 3
1. Metoda operacji elementarnych na wierszach, twierdzenie Kroneckera-Capellego, rzÄ…d macierzy.
Określić ilość rozwiązań układu równań. Podać liczbę parametrów opisujących zbiór rozwiązań.
Czy zbiór rozwiązań stanowi podprzestrzeń liniową?
x +ð y +ð z =ð 1
x -ð 3y +ð 2z =ð 7
3x +ð 2y +ð z =ð 3
a) b) -ð x -ð 3y +ð 2z +ð 2t =ð 3
x +ð 2y +ð 3z =ð 1
x -ð t =ð 2
2x +ð 3y +ð 4z =ð 2
2. Macierz odwrotna, wzór Cramera.
Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej oraz ze wzoru Cramera..
y +ð z +ð t =ð 4
x +ð y +ð z =ð 5
x +ð z +ð t =ð -ð1
a) 3x +ð 2y +ð z =ð 1 b)
x +ð y +ð t =ð 2
2x +ð 2y +ð z =ð 3
x +ð y +ð z =ð -ð2
3. Metoda operacji elementarnych na wierszach, twierdzenie Kroneckera-Capellego, rzÄ…d macierzy .
Dla jakich wartości parametrów a, b układ równań posiada jedno rozwiązanie? Określić liczbę
rozwiązań w pozostałych przypadkach.
3x -ð 2y +ð z =ð b x +ð 4y -ð 2z =ð -ða
a) 5x -ð 8y +ð 9z =ð 3 b) 3x +ð 5y -ð az =ð 3
2x +ð y +ð az =ð -ð1 ax +ð 3ay +ð z =ð a
4. Obraz, jądro oraz macierz przekształcenia liniowego, układ równań liniowych.
W powyższych zadaniach 1,2,3 zapisać ukÅ‚ad równaÅ„ w postaci macierzowej Ax =ð b . TraktujÄ…c
macierz A jako macierz przekształcenia liniowego f znalez
ć jądro i obraz tego przekształcenia
(podać ich wymiary ). W oparciu o te właściwości przekształcenia f określić ilość rozwiązań
układu równań.
5. Liniowa niezależność wektorów, macierz przekształcenia liniowego a układ równań liniowych.
W powyższych zadaniach 1,2,3 zapisać ukÅ‚ad równaÅ„ w postaci macierzowej Ax =ð b . BadajÄ…c
liniową niezależność wektorów kolumnowych macierzy A oraz wektora b określić ilość
rozwiązań układu równań. Sprawdzić czy powłoka liniowa rozpięta przez wektory kolumnowe
macierzy A stanowi obraz przekształcenia liniowego f ?
6. Wielomiany, układ równań liniowych.
Znalez
ć wielomian wÎð R3[×ð] , dla którego w(1) =ð -ð2 , w(2) =ð -ð4, w(3) =ð -ð2 , w(4) =ð 10 .
7. Wielomiany, przestrzeń liniowa, baza..
Dobrać wielomian w5 (x) tak, aby zbiór wielomianów {ðw1, w2, w3, w4, w5}ð, gdzie
w1(x) =ð x4 +ð x3 , w2 (x) =ð x4 +ð 2x , w3(x) =ð x4 -ð 3x2 , w4 (x) =ð x4 -ð1
tworzyÅ‚ bazÄ™ w przestrzeni liniowej R4[×ð] .
8. Podprzestrzeni liniowa, baza, układ równań liniowych jednorodnych.
Zbiór wektorów V Îð R4 , których współrzÄ™dne ( w bazie zero-jedynkowej ) speÅ‚niajÄ… warunki:
3x1 -ð 2x2 +ð 4x3 +ð x4 =ð 0
x1 +ð x2 -ð 3x3 -ð 2x4 =ð 0
tworzy podprzestrzeń liniową. Wybrać bazę w tej podprzestrzeni.