UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5, Struktura algebraiczna i geometryczna liczb zespolonych
1. Wykazać, że stosunki odległości odpowiednich punktów leżących na prostej
z =� z1 +� t(�z2 -� z1)� , t �� R , z1 ą� z2 , wynoszą:
z -� z1 z -� z1
t
a) =� , z ą� z2 ; b) =� t
z -� z2 1-� t z1 -� z2
2. Określić zbiory punktów płaszczyzny zespolonej spełniających warunki:
z -� 2 +� i z -� 2 +� i
a) Arg =� 0 lub Arg =� p� b) z -�1 +� z +�1 =� 3
z +�1-� 2i z +�1-� 2i
c) z +� 2 -� z -� 2 =� 3 d) z -� 2 =� Re z +� 2
3. Lemniskata. Przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej zbiór punktów spełniających
równanie z2 -�1 =� c . Dla c =� 1 zapisać równanie otrzymanej krzywej we współrzędnych
biegunowych.
4. Wyznaczyć środek oraz promień okręgu Apoloniusza: z -�1-� i =� 2 z -� 5 -� 2i .
Wykazać, że dwa punkty spełniające odpowiednio jedno z równań: (�z -�1-� i)�=� ą�2(�z -� 5 -� 2i)�
leżą na średnicy tego okręgu.
5. Wykazać, że dla dowolnej liczby zespolonej z spełnione są następujące równości:
2
2
a) z2 -� 2z Re z +� z =� 0 b) z +� z =� 2 z(�Re z +� z )�
6. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego f : C �� C takiego, że f (z) =� (1+� i)z
w bazie: e1 =� 2 +� 2i , e2 =� -�2 +� 3i .
7. Wykazać równoważność następujących wzorów algebraicznych na pierwiastki kwadratowe z
liczby zespolonej z =� a +� ib :
1/ 2
ć� ��
z +� z z (�z +� z )� c) zą� =� ą���
a +� a2 +� b2 bi
��
a) zą� =� ą� b) zą� =� ą� +�
�� ��
2
z +� z �� ��
2(�Re z +� z )�
2(a +� a2 +� b2 )
Ł� ł�
8. Rozwiązać równania korzystając kolejno ze wszystkich wzorów z zadania 7:
a) z2 -� (1+� i)z +� 6 +� 3i =� 0 b) z2 -�1-� i =� 0
9. Czy obroty wokół punktu (0,0) i przesunięcia równoległe na płaszczyz
nie są przemienne?
Odpowiedz
uzasadnić algebraicznie ( w języku liczb zespolonych ) oraz graficznie ( przykład ).
10. Obliczyć pole czworokąta, którego wierzchołkami są rozwiązaniami równania z4 +� 4i =� 0 .
Podać współrzędne wierzchołków: kartezjańskie oraz biegunowe.
11. Wykazać równości:
(n-�1)a�
na�
a) 1+� cosa� +� ... +� cos(n -�1)a� =� sin-�1 a� sin cos
2 2 2
(n-�1)a�
na�
b) sina� +� ... +� sin(n -�1)a� =� sin-�1 a� sin sin
2 2 2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań.
1. Z równania parametrycznego prostej przechodzącej przez dwa punkty: z1 (t =� 0) oraz z2 (t =� 1)
otrzymujemy
z -� z1 =� t(�z2 -� z1)� , z -� z2 =� (�1-� t)�(�z1 -� z2)� ,
Stąd: a) stosunek odległości dowolnego punktu prostej z od punktów z1 i z2
z -� z1 t(z2 -� z1) t z2 -� z1 t
t
=� =� =� =� , z ą� z2 ą� z1
z -� z2 (1-� t)(z1 -� z2) 1-� t z1 -� z2 1-� t 1-� t
b) stosunek odległości punktu z od punktu z1 do długości odcinka [�z1, z2]�
z -� z1 t(z2 -� z1) t z2 -� z1
=� =� =� t , z2 ą� z1
z1 -� z2 z1 -� z2 z1 -� z2
1 2
2. a) Wprowadz
my oznaczenia: z1 =� 2 -� i , z2 =� -�1+� 2i oraz z -� z1 =� r1eia� , z -� z2 =� r2eia� .
z -� z1 r1
1
Wtedy Arg =� Arg ei(a� -�a�2 ) =� a�1 -�a�2
z -� z2 r2
��
z -� z1 =� r1eia�
z -� z1
a1) Jeśli Arg =� 0 to a�1 =� a�2 =� a� . Z układu równań:
��
z -� z2
��z -� z2 =� r2eia�
otrzymujemy kolejno: z2 -� z1 =� (r1 -� r2)eia� oraz
r1
z =� z1 +� (z2 -� z1) Ź� równanie parametryczne prostej przechodzącej przez z1 i z2
r1 -� r2
r1
Dla r1 >� r2 parametr t =� spełnia nierówność t >� 1, natomiast t <� 0 dla r1 <� r2 .
r1 -� r2
Punkt z leży więc na prostej przechodzącej przez punkty z1 i z2 na zewnątrz odcinka
[�z1, z2]�.
2
��
z -� z1 =� r1ei(a� +�p� )
z -� z1
a2) Jeśli Arg =� p� to a�1 =� a�2 +� p� . Z układu równań:
��
2
z -� z2
z -� z2 =� r2eia�
��
2
otrzymujemy kolejno: z2 -� z1 =� -�(r1 +� r2)eia� ( eip� =� -�1 ) oraz
r1
z =� z1 +� (z2 -� z1) Ź� równanie parametryczne prostej przechodzącej przez z1 i z2
r1 +� r2
r1
Parametr t =� spełnia nierówność 0 <� t <�1.
r1 +� r2
Punkt z leży więc na prostej przechodzącej przez punkty z1 i z2 na zewnątrz odcinka
[�z1, z2]�.
2
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
b) Jest to równanie elipsy o ogniskach w punktach z1 =� 1 , z2 =� -�1 będącej miejscem
geometrycznym punktów na płaszczyz
nie, których suma odległości od ognisk jest stała i
wynosi 3.
c) Jest to równanie hiperboli o ogniskach w punktach z1 =� -�2 , z2 =� 2 będącej miejscem
geometrycznym punktów na płaszczyz
nie, których różnica odległości od ognisk jest stała i
wynosi 3.
d) Jest to równanie paraboli będącej miejscem geometrycznym punktów na płaszczyz
nie, których
różnica odległości od punktu z0 =� 2 i prostej Re z =� 0 jest stała i wynosi 2.
3. Z równania (z -�1)(z +�1) =� c wynika, że iloczyn odległości punktu z od punktów z1 =�1 i
z2 =� -�1 jest równy stałej c. Zbiór takich liczb zespolonych z tworzy na płaszczyz
nie zespolonej
krzywą zwaną lemniskatą.
Dla c = 1 , z =� reij�
z2 =� r2ei2j� =� r2(cos 2j� +� i sin 2j�)
2
z2 -�1 =� r2 cos 2j� -�1+� ir sin 2j� .
2
2 2
Z równania z2 -�1 =� 1 wynika więc, że (�r2 cos 2j� -�1)� +�(�r2 sin 2j�)� =�1
i ostatecznie: r2 =� 2cos 2j� .
4. Zbiór punktów, takich że z -� a =� l� z -� b tworzy:
- prostą gdy l� =�1 ( symetralna odcinka [�a,b]� )
l� a -� b
a -� l�2b
- okrąg ( gdy 0 <� l� ą� 1) o środku w punkcie z0 =� i promieniu r =� ,
1-� l�2
1-� l�2
przy czym z0 leży na prostej przechodzącej przez punkty a i b , na zewnątrz odcinka [�a,b]�.
2 2
Dowód polega na przekształceniu równania z -� a =� l�2 z -� b do postaci
2 2
z -� z0 =� r2 . Korzystając z równości w =� ww =� zz -� zd -� zd +� dd , dla
w =� z -� d , otrzymujemy kolejno:
(z -� a)(z -� a) =� l�2 (z -� b)(z -� b)
(1-� l�2 )zz -� z(a -� l�2b) -� z(a -� l�2b) =� l�2bb -� aa
(a -� l�2b ) (a -� l�2b) (a -� l�2b)(a -� l�2b ) l�2bb -� aa (a -� l�2b)(a -� l�2b )
zz -� z -� z +� =� +�
(1-� l�2 ) (1-� l�2 ) (1-� l�2 )2 (1-� l�2 ) (1-� l�2 )2
2
a -� l�2b l�2 2
z -� =� a -� b
1-� l�2 (1-� l�2 )2
3
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
W tym przypadku ( a =� 1+� i , b =� 5 +� 2i , l� =� 2 ) otrzymujemy
19 7 2 17
z0 =� +� i , r =�
3 3 3
Rozwiązaniami równań z -� a =� ą�l�(z -� b) są liczby zą� postaci:
l� l�
z+� =� a +� (b -� a) , z-� =� a +� (b -� a)
l� -�1 l� +�1
Punkty zą� leżą na okręgu oraz na prostej przechodzącej przez punkty a i b. Środek okręgu
z0 leży również na prostej przechodzącej przez punkty a i b, i to dokładnie w środku
odcinka [z-� , z+� ], będącego średnicą okręgu, bowiem
a -� l�2b l�2 1
z0 =� =� a +� (b -� a) , z0 =� (z+� +� z-� )
1-� l�2 l�2 -�1 2
W tym przypadku z+� =� 9 +� 3i , z-� =� (�11+� 5i)�/ 3 . A
atwo sprawdzić, że
4 17 z1 +� z2 19 7
z+� -� z-� =� 2r =� oraz z0 =� =� +� i
3 2 3 3
Uwaga. Zadanie można rozwiązać kładąc na samym początku ( a =� 1+� i , b =� 5 +� 2i , l� =� 2 ).
2
5. a) W dowodach korzystamy wyłącznie z równości: w =� ww =� zz +� zd +� zd +� dd ,
dla w =� z +� a oraz z +� z =� 2Re z . Otrzymujemy kolejno:
2 2 2
z =� zz �� z +� zz -� zz -� zz =� 0 �� z +� zz -� z(z +� z) =� 0
i ostatecznie
2
z2 -� 2z Re z +� z =� 0
b) Korzystając z wyniku uzyskanego w zadaniu 5a oraz z własności modułu liczby
zespolonej ( moduł iloczynu = iloczyn modułów ) otrzymujemy kolejno:
2 2
z2 -� 2z Re z +� z =� 0 �� z2 +� 2z z -� 2z z -� 2z Re z +� z =� 0 ��
2
�� z2 +� 2z z +� z =� 2z z +� 2z Re z �� (z +� z )2 =� 2z( z +� Re z)
i ostatecznie
2
z +� z =� 2 z(�Re z +� z )�
6. Niech A oznacza macierz przekształcenia liniowego f : C �� C , f (z) =� (1+� i)z w bazie:
e1 =� 2 +� 2i , e2 =� -�2 +� 3i . Kolumny A. j macierzy A tworzą wektory kolumnowe, będące
obrazami elementów bazy ej przy przekształceniu f , zapisanymi we współrzędnych w bazie ei .
4
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
2
a1 j
�� ł� a11 a12
�� ł�
Jeśli f (ej ) =� ei to A. j =� czyli A =�
��aij ę�a ś�
ę�a a22ś�
i=�1 2 j
�� 21 ��
�� ��
W tym przypadku
f (e1) =� (1+� i)(2 +� 2i) =� 4i czyli 4i =� a11(2 +� 2i) +� a21(-�2 +� 3i)
Równanie zespolone na ai1 sprowadza się do układu dwóch równań rzeczywistych ( liczby
zespolone są równe gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe ):
0 =� 2a11 -� 2a21
��
4
��4 =� 2a11 +� 3a21 stąd a11 =� a21 =�
5
��
f (e2) =� (1+� i)(-�2 +� 3i) =� -�5 +� i czyli -� 5 +� i =� a12(2 +� 2i) +� a22(-�2 +� 3i)
Teraz
-� 5 =� 2a11 -� 2a21
��
13 12
stąd a12 =� -� , a12 =�
��
1 =� 2a11 +� 3a21 10 10
��
8 -�13
1 �� ł�
Macierz przekształcenia liniowego f ma więc postać: A =�
ę�8
10 12ś�
�� ��
7. Równoważność wzorów a) i b) wynika wprost z równości udowodnionej w zadaniu 5b:
1/ 2
2 z
1
z +� z =� 2 z(�Re z +� z )� czyli =�
z +� z
2(Re z +� z )
Wzór c) można łatwo przekształcić do postaci a) :
ć� ��
a +� a2 +� b2 b a +� a2 +� b2 +� ib
��
zą� =� ą��� +� i =� ą� =�
�� ��
2
a +� a2 +� b2 ł� 2(a +� a2 +� b2 )
Ł�
z +� z
=�
2(�Re z +� z )�
ponieważ dla z =� a +� ib mamy Re z +� z =� a +� a2 +� b2 oraz z +� z =� a +� ib +� a2 +� b2
-� b ą� D�
8. a) Można korzystać ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego zą� =� ,
2a
gdzie a =� 1, b =� -�1-� i , D� =� b2 -� 4ac =� -�24 -�10i .
W oparciu o wzory z zadania 7 obliczamy D� :
D� =� 26 , D� +� D� =� 2 -�10i , Re D� +� D� =� 2 , D� +� D� =� 2 26
5
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
We wszystkich trzech przypadkach otrzymujemy D� =�1-� 5i . Dlatego
z+� =�1-� 2i , z-� =� 3i
b) W tym przypadku korzystamy bezpośrednio ze wzorów z zadania 7:
z =� 2 , z +� z =�1+� 2 +� i , Re z +� z =�1+� 2 , z +� z =� 4 +� 2 2
4
1+� 2 +� i 2(1+� 2 +� i) 1+� 2 +� i
Stąd a) zą� =� b) zą� =� c) zą� =�
2 +� 2 2 4 +� 2 2 2 +� 2 2
Należy jeszcze sprawdzić ( podnosząc obie strony do kwadratu ), że
4
1 2
=�
2 +� 2 4 +� 2 2
9. Każdej liczbie zespolonej z1 można przyporządkować przekształcenie płaszczyzny zespolonej
T(z1) : z �� z +� z1 - przesunięcie równoległe, a liczbie zespolonej o module równym jeden
2 2
postaci z2 =� eij� obrót wokół punktu (0,0) o kąt j�2 : R(j�2) : z �� zeij� .
Wykonując najpierw przesunięcie a potem obrót otrzymujemy:
2 2
(�T(z1) o� R(j�2))�(�z)�=� T(z1)(�zeij� )�=� zeij� +� z1
Gdy zmienimy kolejność przekształceń otrzymamy inny wynik
2 2
(�R(j�2) o�T(z1))�(�z)�=� R(j�2)(�z +� z1)�=� zeij� +� z1eij�
2 2
Otrzymaną nierówność (�z +� z1)�eij� ą� zeij� +� z1 zilustrować na płaszczyz
nie zespolonej dla
p�
wybranych wartości z , z1, j�2 , na przykład: z =� 1, z1 =� 1, j�2 =� .
2
10. Dla każdej liczby zespolonej w =� reij� , równanie zn -� w =� 0 posiada n różnych rozwiązań
( pierwiastków n-tego stopnia z w ) postaci:
j�+�2kp�
ić� ��
�� ��
n
n Ł� ł�
zk =� r e , k =� 0,1,..., n -�1 .
Pierwiastki te tworzą na płaszczyz
nie zespolonej wielokąt foremny o środku w puncie (0,0) .
W tym przypadku w =� -� 4i =� 4eip� . Liczby:
p� 3p� 5p� 7p�
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
i i i i
�� �� �� �� �� �� �� ��
4 4 4 4
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
z0 =� 2 e , z1 =� 2 e , z2 =� 2 e , z3 =� 2 e
są wierzchołkami kwadratu o boku a , którego przekątna równa jest 2 zk =� 24 r =� 2 2 =� a 2 .
Pole kwadratu: P =� a2 =� 4 .
6
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Matematyka, Informatyka i ekonometria Kazimierz Jezuita
ZADANIA - Seria 5 - Uwagi, szkice rozwiązań - cd
Uwaga: Długość boku kwadratu równa jest odległości jego sąsiednich wierzchołków:
p� p� p� p� p� p�
i ć� i -�i �� i i i
p�
2 4 4 2 4 2
��e ��
a =� z1 -� z0 =� 2e -� e =� 2e 2 Ime =� 2 e 2 sin =� 2
�� ��
4
Ł� ł�
11. Układ dwóch równości dla licz rzeczywistych postaci:
(n-�1)a�
na�
1+� cosa� +� ... +� cos(n -�1)a� =� sin-�1 a� sin cos
2 2 2
(n-�1)a�
na�
sina� +� ... +� sin(n -�1)a� =� sin-�1 a� sin sin
2 2 2
jest równoważny jednej równości dla liczb zespolonych postaci:
(�1+� cosa� +� ... +� cos(n -�1)a�)�+� i(�sina� +� ... +� sin(n -�1)a�)� =�
(n-�1)a� (n-�1)a�
na� na�
=� sin-�1 a� sin cos +� i sin-�1 a� sin sin
2 2 2 2 2 2
Obliczamy lewą stronę tej równości korzystając kolejno:
- ze wzoru Eulera: eij� =� cosj� +� i sinj� ,
1-� qn
- ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego: S =� a0 ,
1-� q
- oraz z -� z =� 2Im z ,
1-� eina�
(�1+� cosa� +� ... +� cos(n -�1)a�)�+� i(�sina� +� ... +� sin(n -�1)a�)� =� 1+� eia� +� ... +� ei(�n-�1)�a� =� =�
1-� eif�
na� na� na�
ć� -�i i �� i
��e 2 -� e 2 ��e 2 ć� 2sin na� ��
-�
�� ��
(�n-�1)�a�
�� ��
i
a� na� (�n -�1)�a� (�n -�1)�a�
2 ć�cos ��
Ł� ł� Ł� ł�
2
=� =� e =� sin-�1 sin +� i sin =�
�� ��
a� a� a�
a�
ć� -�i i �� i ć� �� 2 2 2 2
Ł� ł�
-� 2sin
��e 2 -� e 2 ��e 2 �� ��
�� ��
2
Ł� ł�
Ł� ł�
a� na� (�n -�1)�a� a� na� (�n -�1)�a�
=� sin-�1 sin cos +� i sin-�1 sin sin
2 2 2 2 2 2
Obie strony równości są więc równe.
7