Algebra Liniowa
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn
Politechnika Poznańska
Poznań, 18 grudnia 2012
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 1 / 25
Algebra
Spis treści
1
Rodzaje macierzy
2
Mnożenie macierzy
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda mnożenia blokami
3
Odwrotność macierzy
Sposoby znajdowania odwrotności
4
Metoda Gaussa-Jordana
Metoda Gaussa-Jordana
Przykładowe obliczanie macierzy metodą Gaussa-Jordana
Macierz Eliminacji
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 2 / 25
Algebra
Rodzaje macierzy
Macierz kwadratowa
Macierz kwadratowa to taka macierz, która zawiera tyle samo kolumn, co
wierszy.
Przykład:
0 2
M = [ ]
1 4
Macierz prostokątna
Macierz prostokątna to taka macierz, której liczba kolumn nie równa się
liczbie wierszy.
Przykład:
1 5 67
M =
-4 3 3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 3 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Pierwsza metoda mnożenia dwóch macierzy - nazywana również
mnożeniem Cauchy ego - jest najczęstszym sposobem na wykonanie
tego działania.
Jeżeli macierz A ma n wierszy i m kolumn, a macierz B ma m
wierszy i p kolumn, to ich iloczyn (macierz AB) będzie miał n wierszy
i p kolumn.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 4 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Pierwsza metoda mnożenia dwóch macierzy - nazywana również
mnożeniem Cauchy ego - jest najczęstszym sposobem na wykonanie
tego działania.
Jeżeli macierz A ma n wierszy i m kolumn, a macierz B ma m
wierszy i p kolumn, to ich iloczyn (macierz AB) będzie miał n wierszy
i p kolumn.
Uwaga!
Działanie to zdefiniowane jest wyłącznie dla macierzy, z których pierwsza
ma tyle kolumn, co druga wierszy!
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 4 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
AB =
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 5 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
�ł łł
�ł śł
�ł śł
�ła31 a32 ... a3nśł
�ł śł
AB =
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
A mxn
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 5 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
�ł łł
�ł łł
�ł śł
b14
�ł śł
�ła31 a32 ... a3nśł �ł śł
b24
�ł śł �ł śł
AB = =
�ł śł �ł �ł
...
�ł śł
�ł �ł
bn4
A mxn B nxp
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 5 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł śł
b14
�ł śł �ł śł
�ła31 a32 ... a3nśł �ł śł �ł śł
b24
�ł śł �ł śł �ł
AB = = c34 śł
�ł śł �ł �ł �ł śł
...
�ł śł �ł �ł
�ł �ł
bn4
A mxn B nxp C=AB
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 5 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł śł
b14
�ł śł �ł śł
�ła31 a32 ... a3nśł �ł śł �ł śł
b24
�ł śł �ł śł �ł
AB = = c34 śł
�ł śł �ł �ł �ł śł
...
�ł śł �ł �ł
�ł �ł
bn4
A mxn B nxp C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 5 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wyliczenie wartości elementu c pierwszą metodą:
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł śł
b14
�ł śł �ł śł
�ła31 a32 ... a3nśł �ł śł �ł śł
b24
�ł śł �ł śł �ł
AB = = c34 śł
�ł śł �ł �ł �ł śł
...
�ł śł �ł �ł
�ł �ł
bn4
A mxn B nxp C=AB
Wzór na wyliczenie wartości elementu c z powyższego przykładu :
n
a31b14 + a32b24 + ... + a3nbn4 = a3kbk4
k=1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 5 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
n
Otrzymujemy więc wzór ogólny cij = aikbkj
k=1
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
AB =
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 6 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
n
Otrzymujemy więc wzór ogólny cij = aikbkj
k=1
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
3 2 1
AB =
1 4 2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 6 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
n
Otrzymujemy więc wzór ogólny cij = aikbkj
k=1
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
�ł łł
1 2
3 2 1
�ł2 2�ł =
AB =
1 4 2
1 3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 6 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
n
Otrzymujemy więc wzór ogólny cij = aikbkj
k=1
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
�ł łł
1 2
3 2 1
�ł2 2�ł = 3 " 1 + 2 " 2 + 1 " 1 3 " 2 + 2 " 2 + 1 " 3
AB =
1 4 2 1 " 1 + 4 " 2 + 2 " 1 1 " 2 + 4 " 2 + 3 " 2
1 3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 6 / 25
Algebra
Wierszowo-kolumnowa metoda mnożenia macierzy
Wzór ogólny
n
Otrzymujemy więc wzór ogólny cij = aikbkj
k=1
Przykładowe mnożenie dwóch macierzy pierwszą metodą:
�ł łł
1 2
3 2 1
�ł2 2�ł = 3 " 1 + 2 " 2 + 1 " 1 3 " 2 + 2 " 2 + 1 " 3
AB =
1 4 2 1 " 1 + 4 " 2 + 2 " 1 1 " 2 + 4 " 2 + 3 " 2
1 3
8 13
Wynikiem jest więc macierz AB, AB =
11 16
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 6 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
AB =
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
�ł łł
�ł śł
�ł śł
AB =
�ł �ł
A
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
�ł łł
�ł łł
ę! ę! ę!
�ł śł
�ł śł �łb1 b2 ... bn�ł =
AB =
�ł �ł
�! �! �!
A B
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
�ł
�ł łł
�ł łł �ł łł
�ł
ę! ę! ę! ę!
�ł śł �ł
�ł śł �łb1 b2 ... bn�ł = �łb1�ł
�łA
AB =
�ł �ł �ł
�ł
�! �! �! �!
A B
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
�ł
�ł łł
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł
ę! ę! ę! ę! ę!
�ł śł �ł
�ł śł �łb1 b2 ... bn�ł = �łb1�ł �łb2�ł
�łA A ...
AB =
�ł �ł �ł
�ł
�! �! �! �! �!
A B C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Druga metoda mnożenia macierzy polega na potraktowaniu macierzy
B jako zbioru pionowych wektorów. W naszym przypadku mnożymy
macierz A przez każdą kolumnę macierzy B otrzymując kolejne
kolumny macierzy C.
Kolumny macierzy C są kombinacjami kolumn macierzy A.
Metoda druga:
�ł łł
�ł łł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł
ę! ę! ę! ę! ę! ę!
�ł śł �ł śł
�ł śł �łb1 b2 ... bn�ł = �łb1�ł �łb2�ł �łbn�ł śł
�łA A ...A
AB =
�ł �ł �ł śł
�ł �ł
�! �! �! �! �! �!
A B C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 7 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Przykład dwóch macierzy pomnożonych drugą metodą
�ł łł
1 -1
0.5 2 -1
�ł-2 3 �ł
AB = =
2 3 -2
2 0
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 8 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Przykład dwóch macierzy pomnożonych drugą metodą
�ł łł
1 -1
0.5 2 -1
�ł-2 3 �ł
AB = =
2 3 -2
2 0
�ł �ł łł �ł łł �ł łł łł
1 -1 1 -1 1 -1
0.5 2 -1
�ł �ł-2 3 �ł �ł-2 3 �ł �ł-2 3 �ł �ł
=
2 3 -2
2 0 2 0 2 0
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 8 / 25
Algebra
Mnożenie macierzy metodą kolumnową
Przykład dwóch macierzy pomnożonych drugą metodą
�ł łł
1 -1
0.5 2 -1
�ł-2 3 �ł
AB = =
2 3 -2
2 0
�ł �ł łł �ł łł �ł łł łł
1 -1 1 -1 1 -1
0.5 2 -1
�ł �ł-2 3 �ł �ł-2 3 �ł �ł-2 3 �ł �ł
=
2 3 -2
2 0 2 0 2 0
�ł łł
-1.5 -1 1
AB=�ł 5 5 -4�ł
1 4 -2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 8 / 25
Algebra
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 9 / 25
Algebra
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Wiersze macierzy C są kombinacjami wierszy B.
Sposób trzeci:
�ł łł
�! a1
�ł�! a2 śł
�ł śł
AB =
�ł �ł
...
�! an
A
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 9 / 25
Algebra
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Wiersze macierzy C są kombinacjami wierszy B.
Sposób trzeci:
�ł łł
�ł łł
�! a1
�ł�! a2 śł
�ł śł �ł �ł
AB = =
�ł �ł
...
�! an
A B
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 9 / 25
Algebra
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Macierz A traktujemy jako zbiór poziomych wektorów. Każdy z
wierszy a mnożymy razy macierz B, otrzymując kolejne wiersze
macierzy C.
Wiersze macierzy C są kombinacjami wierszy B.
Sposób trzeci:
�ł łł
�ł łł
�ł łł �ł śł
�! a1 B
�ł �! a1 śł
�ł�! a2 śł �ł
�! a2 Bśł
�ł śł �ł �ł �ł śł
AB = =
�ł �ł �ł śł
... ...
�ł śł
�ł
�! an �! an B�ł
A B C
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 9 / 25
Algebra
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład:
Przykład dwóch macierzy pomnożonych trzecią metodą:
�ł łł
2 3
2 3 -1
AB=�ł-2 2�ł =
-2 -3 4
1 4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 10 / 25
Algebra
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład:
Przykład dwóch macierzy pomnożonych trzecią metodą:
�ł łł
�ł śł
2 3 -1
�ł śł
2 3
�ł śł
-2 -3 4
�ł śł
�ł łł �ł śł
�ł śł
2 3
�ł śł
2 3 -1
�ł 2 3 -1 śł
AB=�ł-2 2�ł = -2 2
�ł śł
-2 -3 4 -2 -3 4
�ł śł
1 4
�ł śł
�ł śł
�ł śł
2 3 -1
�ł śł
1 4
�ł �ł
-2 -3 4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 10 / 25
Algebra
Wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład:
Przykład dwóch macierzy pomnożonych trzecią metodą:
�ł łł
�ł śł
2 3 -1
�ł śł
2 3
�ł śł
-2 -3 4
�ł śł
�ł łł �ł śł
�ł śł
2 3
�ł śł
2 3 -1
�ł 2 3 -1 śł
AB=�ł-2 2�ł = -2 2
�ł śł
-2 -3 4 -2 -3 4
�ł śł
1 4
�ł śł
�ł śł
�ł śł
2 3 -1
�ł śł
1 4
�ł �ł
-2 -3 4
�ł łł
-2 -3 10
AB=�ł-8 -12 10�ł
-6 -9 15
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 10 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
AB =
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
a11 a21
a12 a22
AB =
a13 a23
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
a11 a21 b11 b21
a12 a22
AB = =
a13 a23 b12 b22
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
�ł łł
a11
a11 a21 b11 b21
�ła12�ł
a12 a22
AB = =
a13 a23 b12 b22
a13
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
�ł łł
a11
a11 a21 b11 b21
�ła12�ł
a12 a22
AB = = b11 b21
a13 a23 b12 b22
a13
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
�ł łł �ł łł
a11 a21
a11 a21 b11 b21
�ła12�ł �ła22�ł
a12 a22
AB = = b11 b21 +
a13 a23 b12 b22
a13 a23
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Metoda ta polega na podzieleniu pierwszej macierzy na pionowe
wektory, a drugiej macierzy na poziome.
Następnie mnożymy pierwszy wektor pionowy pochodzący z A z
pierwszym wektorem poziomym pochodzącym z B itd. Na koniec
iloczyny te sumujemy otrzymując wynik mnożenia macierzy A i B.
Metoda Czwarta
�ł łł �ł łł
a11 a21
a11 a21 b11 b21
�ła12�ł �ła22�ł
a12 a22
AB = = b11 b21 + b12 b22
a13 a23 b12 b22
a13 a23
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 11 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład dwóch macierzy pomnożonych metodą
kolumnowo-wierszową.
�ł łł
4 -1
3 3 1
�ł �ł
AB = 2 3 =
2 -4 2
-2 1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 12 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład dwóch macierzy pomnożonych metodą
kolumnowo-wierszową.
�ł łł �ł łł �ł łł
4 -1 4 -1
3 3 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
AB = 2 3 = 2 3 3 1 + 3 2 -4 2
2 -4 2
-2 1 -2 1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 12 / 25
Algebra
Kolumnowa-wierszowa metoda mnożenia macierzy
Przykład dwóch macierzy pomnożonych metodą
kolumnowo-wierszową.
�ł łł �ł łł �ł łł
4 -1 4 -1
3 3 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
AB = 2 3 = 2 3 3 1 + 3 2 -4 2
2 -4 2
-2 1 -2 1
�ł łł
10 16 2
AB=�ł 12 -6 8�ł
-4 -10 0
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 12 / 25
Algebra
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
AB =
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 13 / 25
Algebra
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
A1 A2
AB =
A3 A4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 13 / 25
Algebra
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
A1 A2 B1 B2
AB =
A3 A4 B3 B4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 13 / 25
Algebra
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
A1 A2 B1 B2
AB =
A3 A4 B3 B4
C1 = A1B1 + A2B3 C2 = A1B2 + A2B4
AB =
C3 = A3B1 + A4B3 C4 = A3B2 + A4B4
Objaśnienie
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 13 / 25
Algebra
Blokowe mnożenie macierzy
Mnożenie blokami
A1 A2 B1 B2
AB =
A3 A4 B3 B4
C1 = A1B1 + A2B3 C2 = A1B2 + A2B4
AB =
C3 = A3B1 + A4B3 C4 = A3B2 + A4B4
Objaśnienie
Dzielimy (o ile się da) macierze na segmenty( bloki ), które
mnożymy jak elementy metodą wierszowo-kolumnową.
Macierze muszą być tak podzielone na bloki, aby dało się je
pomnożyć.
Podczas obliczania już konkretnych wartości w blokach macierzy
wynikowej, możemy wybrać dowolną z metod mnożenia
przedstawionych wcześniej.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 13 / 25
Algebra
Metoda mnożenia blokami
A1 A2 B1 B2 C1 C2
AB = =
A3 A4 B3 B4 C3 C4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C1:
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 14 / 25
Algebra
Metoda mnożenia blokami
A1 A2 B1 B2 C1 C2
AB = =
A3 A4 B3 B4 C3 C4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C1:
�ł łł
1 -2 3
�ł śł
3 1 -3
�ł śł
AB =
�ł �ł
2 3 0
2 1 5
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 14 / 25
Algebra
Metoda mnożenia blokami
A1 A2 B1 B2 C1 C2
AB = =
A3 A4 B3 B4 C3 C4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C1:
�ł łł
�ł łł
1 -2 3
2 4
�ł śł
3 1 -3
�ł śł �ł �ł
AB = -1 3
�ł �ł
2 3 0
3 4
2 1 5
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 14 / 25
Algebra
Metoda mnożenia blokami
A1 A2 B1 B2 C1 C2
AB = =
A3 A4 B3 B4 C3 C4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C1:
�ł łł
�ł łł
1 -2 3
2 4
�ł śł
3 1 -3 C1 C2
�ł śł �ł �ł
AB = -1 3 =
�ł �ł
2 3 0 C3 C4
3 4
2 1 5
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 14 / 25
Algebra
Metoda mnożenia blokami
A1 A2 B1 B2 C1 C2
AB = =
A3 A4 B3 B4 C3 C4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C1:
�ł łł
�ł łł
1 -2 3
2 4
�ł śł
3 1 -3 C1 C2
�ł śł �ł �ł
AB = -1 3 =
�ł �ł
2 3 0 C3 C4
3 4
2 1 5
1 -2 2
C1 = * +
3 1 -1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 14 / 25
Algebra
Metoda mnożenia blokami
A1 A2 B1 B2 C1 C2
AB = =
A3 A4 B3 B4 C3 C4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C1:
�ł łł
�ł łł
1 -2 3
2 4
�ł śł
3 1 -3 C1 C2
�ł śł �ł �ł
AB = -1 3 =
�ł �ł
2 3 0 C3 C4
3 4
2 1 5
1 -2 2 3
C1 = * + *3
3 1 -1 -3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 14 / 25
Algebra
Metoda mnożenia blokami
A1 A2 B1 B2 C1 C2
AB = =
A3 A4 B3 B4 C3 C4
Przykład:
Obliczanie wartości bloku C1:
�ł łł
�ł łł
1 -2 3
2 4
�ł śł
3 1 -3 C1 C2
�ł śł �ł �ł
AB = -1 3 =
�ł �ł
2 3 0 C3 C4
3 4
2 1 5
1 -2 2 3 13
C1 = * + *3 =
3 1 -1 -3 -4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 14 / 25
Algebra
Odwrotności macierzy
Macierz odwrotna (jeżeli istnieje) do macierzy kwadratowej A
A-1A = I = AA-1
Macierz odwracalna
O macierzy kwadratowej A, która spełnia to równanie mówimy, że jest
macierzą odwracalną.
Przykład
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 15 / 25
Algebra
Odwrotności macierzy
Macierz odwrotna (jeżeli istnieje) do macierzy kwadratowej A
A-1A = I = AA-1
Macierz odwracalna
O macierzy kwadratowej A, która spełnia to równanie mówimy, że jest
macierzą odwracalną.
Przykład
1 3 7 -3
Odwrotnością macierzy A = jest macierz A-1 = ,bo
2 7 -2 1
AA-1 = I
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 15 / 25
Algebra
Odwrotności macierzy
Warunki na istnienie macierzy odwrotnej do kwadratowej macierzy A:
wiersze macierzy A muszą być liniowo niezależne
kolumny macierzy A muszą być liniowo niezależne
nie istnieje niezerowy wektor x spełniający równanie Ax=0
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 16 / 25
Algebra
Odwrotności macierzy
Warunki na istnienie macierzy odwrotnej do kwadratowej macierzy A:
wiersze macierzy A muszą być liniowo niezależne
kolumny macierzy A muszą być liniowo niezależne
nie istnieje niezerowy wektor x spełniający równanie Ax=0
Przykład macierzy nieodwracalnej
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 16 / 25
Algebra
Odwrotności macierzy
Warunki na istnienie macierzy odwrotnej do kwadratowej macierzy A:
wiersze macierzy A muszą być liniowo niezależne
kolumny macierzy A muszą być liniowo niezależne
nie istnieje niezerowy wektor x spełniający równanie Ax=0
Przykład macierzy nieodwracalnej
1 2 3 1
bo = 3 , czyli wiersze macierzy nie są liniowo niezależne.
3 6 6 2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 16 / 25
Algebra
Znajdowanie odwrotności macierzy 2x2
Chcąc znalez
ć odwrotność macierzy musimy postępować jakbyśmy
chcieli rozwiązać dwa układy równań.
Ułożenie dwóch układów równań dla przykładowej macierzy
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 17 / 25
Algebra
Znajdowanie odwrotności macierzy 2x2
Chcąc znalez
ć odwrotność macierzy musimy postępować jakbyśmy
chcieli rozwiązać dwa układy równań.
Ułożenie dwóch układów równań dla przykładowej macierzy
1 3 a c 1 0
=
2 7 b d 0 1
,więc
1 3 a 1
=
2 7 b 0
1 3 c 0
=
2 7 d 1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 17 / 25
Algebra
Znajdowanie odwrotności macierzy 2x2
Chcąc znalez
ć odwrotność macierzy musimy postępować jakbyśmy
chcieli rozwiązać dwa układy równań.
Ułożenie dwóch układów równań dla przykładowej macierzy
1 3 a c 1 0
=
2 7 b d 0 1
,więc
1 3 a 1
=
2 7 b 0
1 3 c 0
=
2 7 d 1
Uwaga! Dla macierzy kwadratowej 2x2 można korzystać z
następującego wzoru
-1
a b d -b
1
=
ad-bc
b d -c a
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 17 / 25
Algebra
Wilhelm Jordan
Wilhelm Jordan (1842-1899) - niemiecki geodeta i matematyk. Jest
autorem fundamentalnego dzieła z dziedziny geodezji Handbuch der
Vermessungskunde (po ang. Textbook of Geodesy). W matematyce jest
znany przede wszystkim jako twórca tzw. metody redukcji Gaussa Jordana
Był profesorem politechnik w Hanowerze i Karlsruhe.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 18 / 25
Algebra
Metoda Gaussa-Jordana
Aby wyznaczyć odwrotność macierzy kwadratowej większej niż 2x2,
można skorzystać z metody Gaussa-Jordana.
Stosując elementarne operacje na wierszach macierzy (zapisanej jako
[A|I ]), musimy przekształcić ją do postaci [I |A-1]
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 19 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
2 1 1
Daną mamy macierz A = 1 2 1 . Chcąc znalez
ć jej odwrotność,
1 1 2
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 20 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
2 1 1
Daną mamy macierz A = 1 2 1 . Chcąc znalez
ć jej odwrotność,
1 1 2
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
�ł łł
2 1 1 1 0 0
�ł �ł
1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 20 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
2 1 1
Daną mamy macierz A = 1 2 1 . Chcąc znalez
ć jej odwrotność,
1 1 2
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
�ł łł
2 1 1 1 0 0
�ł �ł
1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
Teraz przekształcamy te macierze tak, aby po lewej stronie od kreski
otrzymać macierz I. Gdy już tego dokonamy, jednocześnie po prawej
stronie od kreski uzyskamy odwróconą macierz A.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 20 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
2 1 1
Daną mamy macierz A = 1 2 1 . Chcąc znalez
ć jej odwrotność,
1 1 2
zapisujemy tę macierz razem z macierzą identycznościową I.
�ł łł
2 1 1 1 0 0
�ł �ł
1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
Teraz przekształcamy te macierze tak, aby po lewej stronie od kreski
otrzymać macierz I. Gdy już tego dokonamy, jednocześnie po prawej
stronie od kreski uzyskamy odwróconą macierz A.
W naszym przypadku najpierw dzielimy pierwszy wiersz przez 2
(staramy się uzyskać jedynkę na a11).
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 20 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 21 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 1 1
1 0 0
2 2 2
�ł �ł
1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 21 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 1 1
1 0 0
2 2 2
w2 - w1, w3 - w1
�ł �ł
1 2 1 0 1 0

1 1 2 0 0 1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 21 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 1 1
1 0 0
2 2 2
w2 - w1, w3 - w1
�ł �ł
1 2 1 0 1 0

1 1 2 0 0 1
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a31 uzyskać wartość zero).
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 21 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 1 1
1 0 0
2 2 2
w2 - w1, w3 - w1
�ł �ł
1 2 1 0 1 0

1 1 2 0 0 1
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a31 uzyskać wartość zero).
�ł łł
1 1 1
1 0 0
2 2 2
3 1
�ł �ł
0 -1 1 0
2 2 2
1 3
0 -1 0 1
2 2 2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 21 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 1 1
1 0 0
2 2 2
w2 - w1, w3 - w1
�ł �ł
1 2 1 0 1 0

1 1 2 0 0 1
Od drugiego wiersza odejmujemy teraz wiersz pierwszy (aby na a21
uzyskać wartość zero)oraz od trzeciego wiersza odejmujemy wiersz
pierwszy (aby na a31 uzyskać wartość zero).
�ł łł
1 1 1
1 0 0
2 2 2
3 1
�ł �ł
0 -1 1 0
2 2 2
1 3
0 -1 0 1
2 2 2
3
Dzielimy teraz drugi wiersz przez , aby uzyskać wartość 1 w a22
2
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 21 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 22 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 2
1 0 -1 0
3 3 3
1
�ł �ł
0 1 -1 2 0
3 3 3
4
0 0 -1 -1 1
3 3 3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 22 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 2
1 0 -1 0
3 3 3
1
�ł �ł
0 1 -1 2 0
3 3 3
4
0 0 -1 -1 1
3 3 3
4
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 22 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 2
1 0 -1 0
3 3 3
1
�ł �ł
0 1 -1 2 0
3 3 3
4
0 0 -1 -1 1
3 3 3
4
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
3
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 22 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 2
1 0 -1 0
3 3 3
1
�ł �ł
0 1 -1 2 0
3 3 3
4
0 0 -1 -1 1
3 3 3
4
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
3
�ł łł
1 2
1 0 -1 0
3 3 3
1
�ł �ł
0 1 -1 2 0
3 3 3
0 0 1 -1 -1 3
4 4 4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 22 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Otrzymujemy:
�ł łł
1 2
1 0 -1 0
3 3 3
1
�ł �ł
0 1 -1 2 0
3 3 3
4
0 0 -1 -1 1
3 3 3
4
Dzielimy teraz trzeci wiersz przez
3
�ł łł
1 2
1 0 -1 0
1 1
3 3 3
w1 - w3, w2 - w3
1
3 3
�ł �ł
0 1 -1 2 0
3 3 3

0 0 1 -1 -1 3
4 4 4
1
Od pierwszego wiersza odejmujemy wiersz trzeci pomnożony przez ;
3
to samo odejmujemy od drugiego wiersza.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 22 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Tak więc ostatecznie otrzymaliśmy:
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 23 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Tak więc ostatecznie otrzymaliśmy:
�ł łł
3
1 0 0 -1 -1
4 4 4
�ł �ł
0 1 0 -1 3 -1
4 4 4
0 0 1 -1 -1 3
4 4 4
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 23 / 25
Algebra
Przykład zastosowania metody Gaussa-Jordana
Tak więc ostatecznie otrzymaliśmy:
�ł łł
3
1 0 0 -1 -1
4 4 4
�ł �ł
0 1 0 -1 3 -1
4 4 4
0 0 1 -1 -1 3
4 4 4
Wynik
Po lewej stronie otrzymaliśmy macierz identycznościową co oznacza, iż po
prawej stronie mamy macierz odwrotna do macierzy A.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 23 / 25
Algebra
Macierz eliminacji
Jak widzieliśmy na przykładzie wyznaczania odwrotności macierzy,
aby dokonać eliminacji poszczególnych jej elementów, musieliśmy
wykonać na nich pewne działania.
Działania te możemy w skrócie napisać w postaci macierzy E.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 24 / 25
Algebra
Macierz eliminacji
Jak widzieliśmy na przykładzie wyznaczania odwrotności macierzy,
aby dokonać eliminacji poszczególnych jej elementów, musieliśmy
wykonać na nich pewne działania.
Działania te możemy w skrócie napisać w postaci macierzy E.
Wnioski:
Tak więc cały proces możemy zapisać wzorem: E[AI ] = [IA-1]
Wynika z niego, iż EA = I , więc E = A-1
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 24 / 25
Algebra
Koniec
Dziękujemy za uwagę.
Piotr Kuczyński, Wiktor Jurczyszyn (Politechnika Poznańska) Liniowa Poznań, 18 grudnia 2012 25 / 25
Algebra