ÿþP r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
T r e [ w y k Ba d u
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a .
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V i W b d p r z e s t r z e n i a m i l i n i o w y m i n a d t y m s a m y m
c i a Be m K .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V i W b d p r z e s t r z e n i a m i l i n i o w y m i n a d t y m s a m y m
c i a Be m K .
D e f i n i c j a
P r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m f : V ’! W n a z y w a m y
p r z e k s z t a Bc e n i e s p e Bn i a j c e w a r u n e k :
f ( »v + ·w ) = »f ( v ) + ·f ( w ) d l a », · " K , v , w " V . ( 1 )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V i W b d p r z e s t r z e n i a m i l i n i o w y m i n a d t y m s a m y m
c i a Be m K .
D e f i n i c j a
P r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m f : V ’! W n a z y w a m y
p r z e k s z t a Bc e n i e s p e Bn i a j c e w a r u n e k :
f ( »v + ·w ) = »f ( v ) + ·f ( w ) d l a », · " K , v , w " V . ( 1 )
R ó w n o w a |n i e :
n n
f »i v i = »i f ( v i ) d l a »i " K , v i " V . ( 2 )
i = 1 i = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
W a r u n e k ( 1 ) j e s t r ó w n o w a |n y u k Ba d o w i w a r u n k ó w :
f ( v + w ) = f ( v ) + f ( w ) v , w " V , ( 3 )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
W a r u n e k ( 1 ) j e s t r ó w n o w a |n y u k Ba d o w i w a r u n k ó w :
f ( v + w ) = f ( v ) + f ( w ) v , w " V , ( 3 )
f ( »v ) = »f ( v ) » " K , v " V . ( 4 )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
W a r u n e k ( 1 ) j e s t r ó w n o w a |n y u k Ba d o w i w a r u n k ó w :
f ( v + w ) = f ( v ) + f ( w ) v , w " V , ( 3 )
f ( »v ) = »f ( v ) » " K , v " V . ( 4 )
P i e r w s z y z n i c h n a z y w a s i w a r u n k i e m a d d y t y w n o [c i , a d r u g i
j e d n o r o d n o [c i . P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e n a z y w a s i t e | o p e r a t o r a m i .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
P r z y k Ba d y
1 . W t y m p r z y k Ba d z i e z a r ó w n o V , j a k i W b d z i e p Ba s z c z y z n ,
t r a k t o w a n j a k o z b i ó r w e k t o r ó w z a c z e p i o n y c h w p o c z t k u u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h . N i e c h f o z n a c z a o b r ó t p Ba s z c z y z n y d o k o Ba
u s t a l o n e g o p u n k t u o u s t a l o n y k t .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
P r z y k Ba d y
1 . W t y m p r z y k Ba d z i e z a r ó w n o V , j a k i W b d z i e p Ba s z c z y z n ,
t r a k t o w a n j a k o z b i ó r w e k t o r ó w z a c z e p i o n y c h w p o c z t k u u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h . N i e c h f o z n a c z a o b r ó t p Ba s z c z y z n y d o k o Ba
u s t a l o n e g o p u n k t u o u s t a l o n y k t . W i a d o m o , |e w t e d y s u m i e
w e k t o r ó w o d p o w i a d a s u m a i c h o b r a z ó w ( c z y l i p r z e k s z t a Bc e n i e j e s t
a d d y t y w n e ) o r a z |e j e [l i w e k t o r p o m n o |y m y p r z e z l i c z b , t o j e g o
o b r a z t a k |e n a l e |y p o m n o |y p r z e z t l i c z b ( z a t e m f j e s t
j e d n o r o d n e ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
P r z y k Ba d y
1 . W t y m p r z y k Ba d z i e z a r ó w n o V , j a k i W b d z i e p Ba s z c z y z n ,
t r a k t o w a n j a k o z b i ó r w e k t o r ó w z a c z e p i o n y c h w p o c z t k u u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h . N i e c h f o z n a c z a o b r ó t p Ba s z c z y z n y d o k o Ba
u s t a l o n e g o p u n k t u o u s t a l o n y k t . W i a d o m o , |e w t e d y s u m i e
w e k t o r ó w o d p o w i a d a s u m a i c h o b r a z ó w ( c z y l i p r z e k s z t a Bc e n i e j e s t
a d d y t y w n e ) o r a z |e j e [l i w e k t o r p o m n o |y m y p r z e z l i c z b , t o j e g o
o b r a z t a k |e n a l e |y p o m n o |y p r z e z t l i c z b ( z a t e m f j e s t
j e d n o r o d n e ) .
2 . R o z w a |m y o b r ó t p r z e s t r z e n i d o k o Ba p e w n e j o s i o u s t a l o n y k t .
T a k j a k p o p r z e d n i e p r z e k s z t a Bc e n i e , t o t a k |e j e s t l i n i o w e .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
3 . N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n ,
a W p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n - 1 .
R o z w a |y m y o p e r a t o r r ó |n i c z k o w a n i a D : V ’! W
p r z y p o r z d k o w u j c y w i e l o m i a n o w i j e g o p o c h o d n .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
3 . N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n ,
a W p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n - 1 .
R o z w a |y m y o p e r a t o r r ó |n i c z k o w a n i a D : V ’! W
p r z y p o r z d k o w u j c y w i e l o m i a n o w i j e g o p o c h o d n . P o n i e w a | d l a
d o w o l n y c h w i e l o m i a n ó w p ( x ) i q ( x ) m a m y :
D ( p ( x ) + q ( x ) ) = ( p ( x ) + q ( x ) ) = p ( x ) + q ( x ) = D ( p ( x ) ) + D ( q ( x ) )
o r a z
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
3 . N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n ,
a W p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n - 1 .
R o z w a |y m y o p e r a t o r r ó |n i c z k o w a n i a D : V ’! W
p r z y p o r z d k o w u j c y w i e l o m i a n o w i j e g o p o c h o d n . P o n i e w a | d l a
d o w o l n y c h w i e l o m i a n ó w p ( x ) i q ( x ) m a m y :
D ( p ( x ) + q ( x ) ) = ( p ( x ) + q ( x ) ) = p ( x ) + q ( x ) = D ( p ( x ) ) + D ( q ( x ) )
o r a z
D ( c p ( x ) = ( c p ( x ) ) = c p ( x ) = c D ( p ( x ) ) ,
w i c o p e r a t o r r ó |n i c z k o w a n i a j e s t l i n i o w y .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
4 . N i e c h V = W = C ( 0 , 1 ) . O p e r a t o r
x
f ( x ) ’! f ( t ) d t
0
j e s t l i n i o w y , b o
x x x x x
( f ( t ) + g ( t ) d t = f ( t ) d t + g ( t ) d t , c f ( t ) d t = c f ( t ) d t .
0 0 0 0 0
1
5 . A n a l o g i c z n i e , o p e r a t o r c a Bk o w a n i a f ( x ) ’! f ( t ) d t
0
o d w z o r o w u j c y C ( 0 , 1 ) w R j e s t l i n i o w y .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
6 . J e |e l i V j e s t p r z e s t r z e n i c i g ó w z b i e |n y c h , W = R i d l a
d o w o l n e g o ( a n ) o k r e [l i m y
L ( ( a n ) ) = l i m a n
n ’! "
t o o t r z y m a m y p r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e L : V ’! R
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
6 . J e |e l i V j e s t p r z e s t r z e n i c i g ó w z b i e |n y c h , W = R i d l a
d o w o l n e g o ( a n ) o k r e [l i m y
L ( ( a n ) ) = l i m a n
n ’! "
t o o t r z y m a m y p r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e L : V ’! R b o w i a d o m o , |e
l i m n ’! "( a n + b n ) = l i m n ’! " a n + l i m n ’! " b n o r a z
l i m n ’! " c a n = c l i m n ’! " a n ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
7 . N i e c h A b d z i e m a c i e r z t y p u m × n , V = R n , W = R m .
P r z e k s z t a Bc e n i e f : V ’! W o k r e [l o n e w z o r e m
f ( X ) = A · X ,
g d z i e X o z n a c z a w e k t o r p r z e s t r z e n i V t r a k t o w a n y j a k o m a c i e r z
j e d n o k o l u m n o w a , j e s t l i n i o w e .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
7 . N i e c h A b d z i e m a c i e r z t y p u m × n , V = R n , W = R m .
P r z e k s z t a Bc e n i e f : V ’! W o k r e [l o n e w z o r e m
f ( X ) = A · X ,
g d z i e X o z n a c z a w e k t o r p r z e s t r z e n i V t r a k t o w a n y j a k o m a c i e r z
j e d n o k o l u m n o w a , j e s t l i n i o w e .
W y n i k a t o z w Ba s n o [c i i l o c z y n u m a c i e r z y :
A · c X = c A · X
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
7 . N i e c h A b d z i e m a c i e r z t y p u m × n , V = R n , W = R m .
P r z e k s z t a Bc e n i e f : V ’! W o k r e [l o n e w z o r e m
f ( X ) = A · X ,
g d z i e X o z n a c z a w e k t o r p r z e s t r z e n i V t r a k t o w a n y j a k o m a c i e r z
j e d n o k o l u m n o w a , j e s t l i n i o w e .
W y n i k a t o z w Ba s n o [c i i l o c z y n u m a c i e r z y :
A · c X = c A · X
A · X 1 + X 2 = A · X 1 + A · X 2
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
8 . W [r ó d p r z e k s z t a Bc e D V ’! V n a p e w n o d w a s l i n i o w e :
p r z e k s z t a Bc e n i e t o |s a m o [c i o w e i d , o k r e [l o n e w z o r e m i d ( v ) = v ,
o r a z p r z e k s z t a Bc e n i e z e r o w e 0 , 0 ( v ) = 0 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h
8 . W [r ó d p r z e k s z t a Bc e D V ’! V n a p e w n o d w a s l i n i o w e :
p r z e k s z t a Bc e n i e t o |s a m o [c i o w e i d , o k r e [l o n e w z o r e m i d ( v ) = v ,
o r a z p r z e k s z t a Bc e n i e z e r o w e 0 , 0 ( v ) = 0 .
J e [l i v 0 = 0 j e s t u s t a l o n y m w e k t o r e m , t o p r z e k s z t a Bc e n i e s t a Be f ,
f ( v ) = v 0 n i e j e s t l i n i o w e , b o n i e j e s t a d d y t y w n e : f ( v + w ) = v 0 ,
a l e f ( v ) + f ( w ) = 2 v 0 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
W d a l s z y m c i g u b d z i e m y z a k Ba d a , |e p r z e s t r z e n i e V i W s
s k o Dc z e n i e w y m i a r o w e .
Z p r z y k Ba d u 7 w y n i k a , |e k a |d a m a c i e r z o k r e [l a p r z e k s z t a Bc e n i e
l i n i o w e . J e s t t a k |e n a o d w r ó t k a |d e p r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e
w y z n a c z a p e w n m a c i e r z .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
J e |e l i v 1 , . . . , v n s t a n o w i j a k k o l w i e k b a z p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V i
w 1 , . . . , w n s d o w o l n y m i w e k t o r a m i p r z e s t r z e n i W , t o i s t n i e j e
d o k Ba d n i e j e d n o p r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e f : V ’! W t a k i e , |e
f ( v i ) = w i d l a i = 1 , . . . , n .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
J e |e l i v 1 , . . . , v n s t a n o w i j a k k o l w i e k b a z p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V i
w 1 , . . . , w n s d o w o l n y m i w e k t o r a m i p r z e s t r z e n i W , t o i s t n i e j e
d o k Ba d n i e j e d n o p r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e f : V ’! W t a k i e , |e
f ( v i ) = w i d l a i = 1 , . . . , n . P r z e k s z t a Bc e n i e t o j e s t o k r e [l o n e
w z o r e m :
n n
f »i v i = »i w i . ( 5 )
i = 1 i = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D o w ó d . W z ó r ( 5 ) o k r e [l a w a r t o [ p r z e k s z t a Bc e n i a f d l a
d o w o l n e g o w e k t o r a v " V , b o w e k t o r v m a j e d n o z n a c z n e
p r z e d s t a w i e n i e w b a z i e v 1 , . . . , v n .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D o w ó d . W z ó r ( 5 ) o k r e [l a w a r t o [ p r z e k s z t a Bc e n i a f d l a
d o w o l n e g o w e k t o r a v " V , b o w e k t o r v m a j e d n o z n a c z n e
n
p r z e d s t a w i e n i e w b a z i e v 1 , . . . , v n . D l a w e k t o r ó w v = »i v i i
i = 1
n
u = ·i v i m a m y :
i = 1
n n n
f ( ±v + ²u ) = f ( ± »i v i + ² ·i v i ) = f ( ( ±»i + ²·i ) v i
i = 1 i = 1 i = 1
n n
= ( ±»i + ²·i ) w i = ± »i w i + ² ·i w i =
i = 1 i = 1
= ±f ( v ) + ²f ( u ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
J e |e l i w W m a m y b a z { u 1 , . . . , u m } , t o k a |d y z w e k t o r ó w w j ,
j = 1 , . . . , n m o |n a w y r a z i z a p o m o c w s p ó Br z d n y c h , t j .
m
f ( v j ) = w j = a i j u i = ( a 1 j , a 2 j , . . . , a m j ) .
i = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
J e |e l i w W m a m y b a z { u 1 , . . . , u m } , t o k a |d y z w e k t o r ó w w j ,
j = 1 , . . . , n m o |n a w y r a z i z a p o m o c w s p ó Br z d n y c h , t j .
m
f ( v j ) = w j = a i j u i = ( a 1 j , a 2 j , . . . , a m j ) .
i = 1
Z l i c z b a i j m o |n a u t w o r z y m a c i e r z A = [ a i j ] t y p u m × n , k t ó r
n a z w i e m y m a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e g o f w b a z a c h { v j } i
{ u i } .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
J e |e l i w W m a m y b a z { u 1 , . . . , u m } , t o k a |d y z w e k t o r ó w w j ,
j = 1 , . . . , n m o |n a w y r a z i z a p o m o c w s p ó Br z d n y c h , t j .
m
f ( v j ) = w j = a i j u i = ( a 1 j , a 2 j , . . . , a m j ) .
i = 1
Z l i c z b a i j m o |n a u t w o r z y m a c i e r z A = [ a i j ] t y p u m × n , k t ó r
n a z w i e m y m a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e g o f w b a z a c h { v j } i
{ u i } .
j - t k o l u m n t e j m a c i e r z y s t a n o w i w s p ó Br z d n e w e k t o r a
f ( v j ) = u j .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
I s t n i e j e w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n e p r z y p o r z d k o w a n i e p o m i d z y
p r z e k s z t a Bc e n i a m i l i n i o w y m i f : V ’! W a m a c i e r z a m i A = [ a i j ]
t y p u m × n o w y r a z a c h z c i a Ba K .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
I s t n i e j e w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n e p r z y p o r z d k o w a n i e p o m i d z y
p r z e k s z t a Bc e n i a m i l i n i o w y m i f : V ’! W a m a c i e r z a m i A = [ a i j ]
t y p u m × n o w y r a z a c h z c i a Ba K . J e |e l i d a n e j e s t f , t o
o d p o w i a d a j c a m u m a c i e r z A j e s t m a c i e r z , k t ó r e j j - t a k o l u m n a
s k Ba d a s i z e w s p ó Br z d n y c h w e k t o r a f ( v j ) ;
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
I s t n i e j e w z a j e m n i e j e d n o z n a c z n e p r z y p o r z d k o w a n i e p o m i d z y
p r z e k s z t a Bc e n i a m i l i n i o w y m i f : V ’! W a m a c i e r z a m i A = [ a i j ]
t y p u m × n o w y r a z a c h z c i a Ba K . J e |e l i d a n e j e s t f , t o
o d p o w i a d a j c a m u m a c i e r z A j e s t m a c i e r z , k t ó r e j j - t a k o l u m n a
s k Ba d a s i z e w s p ó Br z d n y c h w e k t o r a f ( v j ) ; j e [l i d a n a j e s t m a c i e r z
A = [ a i j ] , t o f j e s t j e d y n y m p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m
p r z e p r o w a d z a j c y m k a |d y w e k t o r b a z y { v j } p r z e s t r z e n i V n a j - t
k o l u m n ( a 1 j , a 2 j , . . . , a m j ) m a c i e r z y A .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d y
1 . N i e c h V = W = R 2 , n i e c h f : V ’! W b d z i e o b r o t e m
p Ba s z c z y z n y d o k o Ba p o c z t k u u k Ba d u o u s t a l o n y k t Õ. J e |e l i w o b u
p r z e s t r z e n i a c h r o z p a t r u j e m y b a z y k a n o n i c z n e , t o
f ( e 1 ) = ( c o s Õ, s i n Õ) , f ( e 2 ) = ( - s i n Õ, c o s Õ) . Z a t e m m a c i e r z
o b r o t u m a p o s t a :
c o s Õ - s i n Õ
A = . ( 6 )
s i n Õ c o s Õ
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
T e j m a c i e r z y m o |n a u |y w a d o o b l i c z a n i a w a r t o [c i p r z e k s z t a Bc e n i a .
J e [l i v = ( x , y ) , f ( v ) = ( x , y ) , t o p o n i e w a | f ( v ) = A v T , w i c
c o s Õ - s i n Õ x x
· = ,
s i n Õ c o s Õ y y
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
T e j m a c i e r z y m o |n a u |y w a d o o b l i c z a n i a w a r t o [c i p r z e k s z t a Bc e n i a .
J e [l i v = ( x , y ) , f ( v ) = ( x , y ) , t o p o n i e w a | f ( v ) = A v T , w i c
c o s Õ - s i n Õ x x
· = ,
s i n Õ c o s Õ y y
c z y l i
x = x c o s Õ - y s i n Õ, ( 7 )
y = x s i n Õ + y c o s Õ. ( 8 )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
2 . N i e c h f : R 3 ’! R 3 b d z i e p r z e k s z t a Bc e n i e m o k r e [l o n y m w z o r e m
f ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) .
G e o m e t r y c z n i e m o |n a t o p r z e k s z t a Bc e n i e i n t e r p r e t o w a j a k o
r z u t o w a n i e p r z e s t r z e n i n a p Ba s z c z y z n O x y .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
2 . N i e c h f : R 3 ’! R 3 b d z i e p r z e k s z t a Bc e n i e m o k r e [l o n y m w z o r e m
f ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) .
G e o m e t r y c z n i e m o |n a t o p r z e k s z t a Bc e n i e i n t e r p r e t o w a j a k o
r z u t o w a n i e p r z e s t r z e n i n a p Ba s z c z y z n O x y . W b a z a c h
s t a n d a r d o w y c h j e g o m a c i e r z j e s t
îø ùø
1 0 0
ïø úø
A = 0 1 0 .
ðø ûø
0 0 0
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
2 . N i e c h f : R 3 ’! R 3 b d z i e p r z e k s z t a Bc e n i e m o k r e [l o n y m w z o r e m
f ( x , y , z ) = ( x , y , 0 ) .
G e o m e t r y c z n i e m o |n a t o p r z e k s z t a Bc e n i e i n t e r p r e t o w a j a k o
r z u t o w a n i e p r z e s t r z e n i n a p Ba s z c z y z n O x y . W b a z a c h
s t a n d a r d o w y c h j e g o m a c i e r z j e s t
îø ùø
1 0 0
ïø úø
A = 0 1 0 .
ðø ûø
0 0 0
Z m i a n a b a z , n p . n a b a z ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) ( w o b u
p r z e s t r z e n i a c h ) s k u t k u j e z m i a n m a c i e r z y :
îø ùø
1 0 1
ïø úø
A = 0 1 1 .
ðø ûø
0 0 0
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
B a z a w p r z e s t r z e n i V n i e m u s i b y i d e n t y c z n a z b a z w p r z e s t r z e n i
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
f ( v 1 + v 2 ) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
f ( v 1 + v 2 ) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) =
= ( 3 ( x 1 + x 2 ) - ( y 1 + y 2 ) , 4 ( x 1 + x 2 ) + y 1 + y 2 , 5 ( y 1 + y 2 ) )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
f ( v 1 + v 2 ) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) =
= ( 3 ( x 1 + x 2 ) - ( y 1 + y 2 ) , 4 ( x 1 + x 2 ) + y 1 + y 2 , 5 ( y 1 + y 2 ) )
= ( 3 x 1 - y 1 , 4 x 1 + y 1 , 5 y 1 ) + ( 3 x 2 - y 2 , 4 x 2 + y 2 , 5 y 2 ) =
=
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
f ( v 1 + v 2 ) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) =
= ( 3 ( x 1 + x 2 ) - ( y 1 + y 2 ) , 4 ( x 1 + x 2 ) + y 1 + y 2 , 5 ( y 1 + y 2 ) )
= ( 3 x 1 - y 1 , 4 x 1 + y 1 , 5 y 1 ) + ( 3 x 2 - y 2 , 4 x 2 + y 2 , 5 y 2 ) =
= f ( v 1 ) + f ( v 2 )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
f ( v 1 + v 2 ) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) =
= ( 3 ( x 1 + x 2 ) - ( y 1 + y 2 ) , 4 ( x 1 + x 2 ) + y 1 + y 2 , 5 ( y 1 + y 2 ) )
= ( 3 x 1 - y 1 , 4 x 1 + y 1 , 5 y 1 ) + ( 3 x 2 - y 2 , 4 x 2 + y 2 , 5 y 2 ) =
= f ( v 1 ) + f ( v 2 )
f ( ±v ) = f ( ±x , ±y ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
f ( v 1 + v 2 ) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) =
= ( 3 ( x 1 + x 2 ) - ( y 1 + y 2 ) , 4 ( x 1 + x 2 ) + y 1 + y 2 , 5 ( y 1 + y 2 ) )
= ( 3 x 1 - y 1 , 4 x 1 + y 1 , 5 y 1 ) + ( 3 x 2 - y 2 , 4 x 2 + y 2 , 5 y 2 ) =
= f ( v 1 ) + f ( v 2 )
f ( ±v ) = f ( ±x , ±y ) = ( 3 ±x - ±y , 4 ±x + ±y , ±y ) =
=
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
S p r a w d z i , |e f : R 2 ’! R 3 , f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) j e s t
l i n i o w e i n a p i s a j e g o m a c i e r z w b a z a c h s t a n d a r d o w y c h .
N i e c h v 1 = ( x 1 , y 1 ) , v 2 = ( x 2 , y 2 ) . W t e d y
v 1 + v 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , w i c
f ( v 1 + v 2 ) = f ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) =
= ( 3 ( x 1 + x 2 ) - ( y 1 + y 2 ) , 4 ( x 1 + x 2 ) + y 1 + y 2 , 5 ( y 1 + y 2 ) )
= ( 3 x 1 - y 1 , 4 x 1 + y 1 , 5 y 1 ) + ( 3 x 2 - y 2 , 4 x 2 + y 2 , 5 y 2 ) =
= f ( v 1 ) + f ( v 2 )
f ( ±v ) = f ( ±x , ±y ) = ( 3 ±x - ±y , 4 ±x + ±y , ±y ) =
= ±( 3 x - y , 4 x + y , 5 y ) = ±f ( v ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
P o n i e w a | f ( 1 , 0 ) = ( 3 , 4 , 0 ) i f ( 0 , 1 ) = ( - 1 , 1 , 5 ) , w i c m a c i e r z
p r z e k s z t a Bc e n i a j e s t :
îø ùø
3 - 1
ïø úø
A = 4 1 .
ðø ûø
0 5
W a r t o p o r ó w n a z e w z o r e m p r z e k s z t a Bc e n i a :
f ( x , y ) = ( 3 x - y , 4 x + y , 5 y )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z p r z e k s z t a Bc e n i a
3 . N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n ,
W b d z i e p r z e s t r z e n i w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o n a j w y |e j n - 1 .
W y z n a c z y m y m a c i e r z o p e r a t o r a r ó |n i c z k o w a n i a D : V ’! W w
b a z a c h { 1 , x , . . . , x n } , { 1 , x , . . . , x n - 1 } :
îø ùø
0 1 0 . . . 0 0
ïø úø
0 0 2 . . . 0 0
ïø úø
ïø úø
A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ïø úø
ïø úø
ðø ûø
0 0 0 . . . n - 1 0
0 0 0 . . . 0 n
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
J e [l i h : V ’! W i g : W ’! U s p r z e k s z t a Bc e n i a m i o r a z j e [l i
p r z e c i w d z i e d z i n a h z a w i e r a s i w d z i e d z i n i e g , t o o k r e [l o n e j e s t
z Bo |e n i e g æ% h : V ’! U :
( g æ% h ) ( v ) = g ( h ( v ) ) d l a v " V .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
L e m a t
Z Bo |e n i e p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
L e m a t
Z Bo |e n i e p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m .
D o w ó d . N i e c h f = g æ% h . W t e d y d l a x , y " V , ·, » " K :
f ( ·x + »y ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
L e m a t
Z Bo |e n i e p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m .
D o w ó d . N i e c h f = g æ% h . W t e d y d l a x , y " V , ·, » " K :
f ( ·x + »y ) = g ( h ( ·x + »y ) ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
L e m a t
Z Bo |e n i e p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m .
D o w ó d . N i e c h f = g æ% h . W t e d y d l a x , y " V , ·, » " K :
f ( ·x + »y ) = g ( h ( ·x + »y ) ) = g ( ·h ( x ) + »h ( y ) ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
L e m a t
Z Bo |e n i e p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m .
D o w ó d . N i e c h f = g æ% h . W t e d y d l a x , y " V , ·, » " K :
f ( ·x + »y ) = g ( h ( ·x + »y ) ) = g ( ·h ( x ) + »h ( y ) ) =
= ·g ( h ( x ) ) + »g ( h ( y ) ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
L e m a t
Z Bo |e n i e p r z e k s z t a Bc e D l i n i o w y c h j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m .
D o w ó d . N i e c h f = g æ% h . W t e d y d l a x , y " V , ·, » " K :
f ( ·x + »y ) = g ( h ( ·x + »y ) ) = g ( ·h ( x ) + »h ( y ) ) =
= ·g ( h ( x ) ) + »g ( h ( y ) ) = ·f ( x ) + »f ( y ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
h ( v k ) = a j k w j ,
j = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
m
h ( v k ) = a j k w j , g ( w j ) = b i j u i ,
j = 1 i = 1
w i c
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
m
h ( v k ) = a j k w j , g ( w j ) = b i j u i ,
j = 1 i = 1
w i c
f ( v k ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
m
h ( v k ) = a j k w j , g ( w j ) = b i j u i ,
j = 1 i = 1
w i c
f ( v k ) = g ( h ( v k ) ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
m
h ( v k ) = a j k w j , g ( w j ) = b i j u i ,
j = 1 i = 1
w i c
ëø öø
p
íø
f ( v k ) = g ( h ( v k ) ) = g a j k w j øø =
j = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
m
h ( v k ) = a j k w j , g ( w j ) = b i j u i ,
j = 1 i = 1
w i c
ëø öø
p p
m
íø
f ( v k ) = g ( h ( v k ) ) = g a j k w j øø = a j k b i j u i =
j = 1 j = 1 i = 1
=
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
m
h ( v k ) = a j k w j , g ( w j ) = b i j u i ,
j = 1 i = 1
w i c
ëø öø
p p
m
íø
f ( v k ) = g ( h ( v k ) ) = g a j k w j øø = a j k b i j u i =
j = 1 j = 1 i = 1
ëø öø
p
m
íø
= a j k b i j øø u i =
i = 1 j = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h f = g æ% h i n i e c h b a z a m i w V , W , U b d o d p o w i e d n i o
{ v k } n , { w j } p , { u i } m .
k = 1 j = 1 i = 1
O z n a c z m y m a c i e r z e p r z e k s z t a Bc e D h i g p r z e z A i B , w t e d y
p
m
h ( v k ) = a j k w j , g ( w j ) = b i j u i ,
j = 1 i = 1
w i c
ëø öø
p p
m
íø
f ( v k ) = g ( h ( v k ) ) = g a j k w j øø = a j k b i j u i =
j = 1 j = 1 i = 1
ëø öø
p
m m
íø
= a j k b i j øø u i = c i k u i ,
i = 1 j = 1 i = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
g d z i e
p
c i k = b i j a j k .
j = 1
( w z ó r n a i l o c z y n m a c i e r z y ! )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
g d z i e
p
c i k = b i j a j k .
j = 1
( w z ó r n a i l o c z y n m a c i e r z y ! )
Z a t e m m a c i e r z z Bo |e n i a f = g æ% h j e s t C = [ c i k ] = B A .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
g d z i e
p
c i k = b i j a j k .
j = 1
( w z ó r n a i l o c z y n m a c i e r z y ! )
Z a t e m m a c i e r z z Bo |e n i a f = g æ% h j e s t C = [ c i k ] = B A .
W n i o s e k
Z Bo |e n i u p r z e k s z t a Bc e D o d p o w i a d a i l o c z y n m a c i e r z y .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
O b l i c z y A 1 0 0 , g d y
" "
2 2
-
2 2
" "
A = .
2 2
2 2
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
O b l i c z y A 1 0 0 , g d y
" "
2 2
-
2 2
" "
A = .
2 2
2 2
Z r ó w n o [c i ( 6 ) w i d a , |e m a c i e r z A j e s t m a c i e r z o b r o t u
p Ba s z c z y z n y o k t Õ = À/ 4 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
O b l i c z y A 1 0 0 , g d y
" "
2 2
-
2 2
" "
A = .
2 2
2 2
Z r ó w n o [c i ( 6 ) w i d a , |e m a c i e r z A j e s t m a c i e r z o b r o t u
p Ba s z c z y z n y o k t Õ = À/ 4 . Z a t e m m a c i e r z y A 1 0 0 o d p o w i a d a
s t u k r o t n e z Bo |e n i e t e g o o b r o t u , c z y l i o b r ó t o k t 1 0 0 Õ = 2 5 À.
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
O b l i c z y A 1 0 0 , g d y
" "
2 2
-
2 2
" "
A = .
2 2
2 2
Z r ó w n o [c i ( 6 ) w i d a , |e m a c i e r z A j e s t m a c i e r z o b r o t u
p Ba s z c z y z n y o k t Õ = À/ 4 . Z a t e m m a c i e r z y A 1 0 0 o d p o w i a d a
s t u k r o t n e z Bo |e n i e t e g o o b r o t u , c z y l i o b r ó t o k t 1 0 0 Õ = 2 5 À.
P o n i e w a | c o s ( 2 5 À) = - 1 , s i n ( 2 5 À) = 0 ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
O b l i c z y A 1 0 0 , g d y
" "
2 2
-
2 2
" "
A = .
2 2
2 2
Z r ó w n o [c i ( 6 ) w i d a , |e m a c i e r z A j e s t m a c i e r z o b r o t u
p Ba s z c z y z n y o k t Õ = À/ 4 . Z a t e m m a c i e r z y A 1 0 0 o d p o w i a d a
s t u k r o t n e z Bo |e n i e t e g o o b r o t u , c z y l i o b r ó t o k t 1 0 0 Õ = 2 5 À.
P o n i e w a | c o s ( 2 5 À) = - 1 , s i n ( 2 5 À) = 0 , w i c z n o w u n a m o c y ( 6 ) :
- 1 0
A 1 0 0 = .
0 - 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z e k s z t a Bc e n i e o d w r o t n e
N i e c h f : V ’! V b d z i e p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m . J e |e l i
g : V ’! V j e s t t a k i e , |e
f æ% g = g æ% f = i d V ,
t o g n a z y w a m y p r z e k s z t a Bc e n i e m o d w r o t n y m w z g l d e m f i
- 1
p i s z e m y g = f .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z e k s z t a Bc e n i e o d w r o t n e
N i e c h f : V ’! V b d z i e p r z e k s z t a Bc e n i e m l i n i o w y m . J e |e l i
g : V ’! V j e s t t a k i e , |e
f æ% g = g æ% f = i d V ,
t o g n a z y w a m y p r z e k s z t a Bc e n i e m o d w r o t n y m w z g l d e m f i
- 1
p i s z e m y g = f .
N p . p r z e k s z t a Bc e n i e m o d w r o t n y m d o o b r o t u p Ba s z c z y z n y o k t Õ
j e s t o b r ó t o k t - Õ.
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
Z Bo |e n i u p r z e k s z t a Bc e D o d p o w i a d a i l o c z y n i c h m a c i e r z y , w i c j e [l i
- 1
A j e s t m a c i e r z f , a A - 1 m a c i e r z f , t o
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
Z Bo |e n i u p r z e k s z t a Bc e D o d p o w i a d a i l o c z y n i c h m a c i e r z y , w i c j e [l i
- 1
A j e s t m a c i e r z f , a A - 1 m a c i e r z f , t o
A A - 1 = A - 1 A = I . ( 9 )
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
Z Bo |e n i u p r z e k s z t a Bc e D o d p o w i a d a i l o c z y n i c h m a c i e r z y , w i c j e [l i
- 1
A j e s t m a c i e r z f , a A - 1 m a c i e r z f , t o
A A - 1 = A - 1 A = I . ( 9 )
M a c i e r z A - 1 m a j c w Ba s n o [ ( 9 ) n a z y w a m y m a c i e r z o d w r o t n
w z g l d e m A .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
T w i e r d z e n i e ( C a u c h y e g o )
D l a d o w o l n y c h m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h A i B t e g o s a m e g o s t o p n i a
d e t ( A B ) = d e t A · d e t B .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
T w i e r d z e n i e ( C a u c h y e g o )
D l a d o w o l n y c h m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h A i B t e g o s a m e g o s t o p n i a
d e t ( A B ) = d e t A · d e t B .
P o z a s t o s o w a n i u t w i e r d z e n i a C a u c h y e g o d o r ó w n o [c i ( 9 )
o t r z y m u j e m y :
d e t A · d e t A - 1 =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
T w i e r d z e n i e ( C a u c h y e g o )
D l a d o w o l n y c h m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h A i B t e g o s a m e g o s t o p n i a
d e t ( A B ) = d e t A · d e t B .
P o z a s t o s o w a n i u t w i e r d z e n i a C a u c h y e g o d o r ó w n o [c i ( 9 )
o t r z y m u j e m y :
d e t A · d e t A - 1 = d e t ( A A - 1 ) =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
T w i e r d z e n i e ( C a u c h y e g o )
D l a d o w o l n y c h m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h A i B t e g o s a m e g o s t o p n i a
d e t ( A B ) = d e t A · d e t B .
P o z a s t o s o w a n i u t w i e r d z e n i a C a u c h y e g o d o r ó w n o [c i ( 9 )
o t r z y m u j e m y :
d e t A · d e t A - 1 = d e t ( A A - 1 ) = d e t I = 1 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
T w i e r d z e n i e ( C a u c h y e g o )
D l a d o w o l n y c h m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h A i B t e g o s a m e g o s t o p n i a
d e t ( A B ) = d e t A · d e t B .
P o z a s t o s o w a n i u t w i e r d z e n i a C a u c h y e g o d o r ó w n o [c i ( 9 )
o t r z y m u j e m y :
d e t A · d e t A - 1 = d e t ( A A - 1 ) = d e t I = 1 .
W n o s i m y s t d , |e m a c i e r z m a j c a m a c i e r z o d w r o t n m u s i b y
n i e o s o b l i w a ( d e t A = 0 ) ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
T w i e r d z e n i e ( C a u c h y e g o )
D l a d o w o l n y c h m a c i e r z y k w a d r a t o w y c h A i B t e g o s a m e g o s t o p n i a
d e t ( A B ) = d e t A · d e t B .
P o z a s t o s o w a n i u t w i e r d z e n i a C a u c h y e g o d o r ó w n o [c i ( 9 )
o t r z y m u j e m y :
d e t A · d e t A - 1 = d e t ( A A - 1 ) = d e t I = 1 .
W n o s i m y s t d , |e m a c i e r z m a j c a m a c i e r z o d w r o t n m u s i b y
n i e o s o b l i w a ( d e t A = 0 ) , o r a z , |e w y z n a c z n i k m a c i e r z y o d w r o t n e j
j e s t r ó w n y o d w r o t n o [c i w y z n a c z n i k a m a c i e r z y d a n e j .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
M a c i e r z o d w r o t n a i l o c z y n u d w ó c h m a c i e r z y n i e o s o b l i w y c h j e s t
r ó w n a i l o c z y n o w i m a c i e r z y o d w r o t n y c h t y c h m a c i e r z y w z i t y c h w
o d w r o t n e j k o l e j n o [c i :
( A B ) - 1 = B - 1 A - 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
M a c i e r z o d w r o t n a i l o c z y n u d w ó c h m a c i e r z y n i e o s o b l i w y c h j e s t
r ó w n a i l o c z y n o w i m a c i e r z y o d w r o t n y c h t y c h m a c i e r z y w z i t y c h w
o d w r o t n e j k o l e j n o [c i :
( A B ) - 1 = B - 1 A - 1
D o w ó d .
( A B ) ( B - 1 A - 1 ) = A ( B B - 1 ) A - 1 =
= A I A - 1 = A A - 1 = I .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
M a c i e r z o d w r o t n m o |e m y o b l i c z y d w o m a s p o s o b a m i .
S p o s ó b 1 . Z a s t o s o w a w z ó r :
îø ùø
A 1 1 A 2 1 . . . A n 1
ïø
1
A 1 2 A 2 2 . . . A n 2 úø
ïø úø
A - 1 = ïø úø . ( 1 0 )
ðø . . . ûø
d e t A
A 1 n A 2 n . . . A n n
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
M a c i e r z o d w r o t n m o |e m y o b l i c z y d w o m a s p o s o b a m i .
S p o s ó b 1 . Z a s t o s o w a w z ó r :
îø ùø
A 1 1 A 2 1 . . . A n 1
ïø
1
A 1 2 A 2 2 . . . A n 2 úø
ïø úø
A - 1 = ïø úø . ( 1 0 )
ðø . . . ûø
d e t A
A 1 n A 2 n . . . A n n
W z ó r m o |n a s p r a w d z i , o b l i c z a j c A A - 1 , b o e l e m e n t c i j t e g o
i l o c z y n u j e s t p o s t a c i :
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
n
1
c i j = a i k A k j ,
d e t A
k = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
n
1
c i j = a i k A k j ,
d e t A
k = 1
a j a k w i a d o m o :
n
0 d l a i = j
a i k A k j = .
d e t A d l a i = j
k = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
n
1
c i j = a i k A k j ,
d e t A
k = 1
a j a k w i a d o m o :
n
0 d l a i = j
a i k A k j = .
d e t A d l a i = j
k = 1
P r a k t y c z n i e : o b l i c z a m y w y z n a c z n i k ( m u s i b y n i e z e r o w y ) ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
n
1
c i j = a i k A k j ,
d e t A
k = 1
a j a k w i a d o m o :
n
0 d l a i = j
a i k A k j = .
d e t A d l a i = j
k = 1
P r a k t y c z n i e : o b l i c z a m y w y z n a c z n i k ( m u s i b y n i e z e r o w y ) ,
t w o r z y m y m a c i e r z m i n o r ó w [ M i j ] ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
n
1
c i j = a i k A k j ,
d e t A
k = 1
a j a k w i a d o m o :
n
0 d l a i = j
a i k A k j = .
d e t A d l a i = j
k = 1
P r a k t y c z n i e : o b l i c z a m y w y z n a c z n i k ( m u s i b y n i e z e r o w y ) ,
t w o r z y m y m a c i e r z m i n o r ó w [ M i j ] , z m i e n i a m y z n a k i o d p o w i e d n i c h
e l e m e n t ó w , t w o r z c m a c i e r z d o p e Bn i e D a l g e b r a i c z n y c h [ A i j ] ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
n
1
c i j = a i k A k j ,
d e t A
k = 1
a j a k w i a d o m o :
n
0 d l a i = j
a i k A k j = .
d e t A d l a i = j
k = 1
P r a k t y c z n i e : o b l i c z a m y w y z n a c z n i k ( m u s i b y n i e z e r o w y ) ,
t w o r z y m y m a c i e r z m i n o r ó w [ M i j ] , z m i e n i a m y z n a k i o d p o w i e d n i c h
e l e m e n t ó w , t w o r z c m a c i e r z d o p e Bn i e D a l g e b r a i c z n y c h [ A i j ] , t
m a c i e r z t r a n s p o n u j e m y w y n i k i e m j e s t t z w . m a c i e r z d o Bc z o n a
A D = [ A j i ] ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
n
1
c i j = a i k A k j ,
d e t A
k = 1
a j a k w i a d o m o :
n
0 d l a i = j
a i k A k j = .
d e t A d l a i = j
k = 1
P r a k t y c z n i e : o b l i c z a m y w y z n a c z n i k ( m u s i b y n i e z e r o w y ) ,
t w o r z y m y m a c i e r z m i n o r ó w [ M i j ] , z m i e n i a m y z n a k i o d p o w i e d n i c h
e l e m e n t ó w , t w o r z c m a c i e r z d o p e Bn i e D a l g e b r a i c z n y c h [ A i j ] , t
m a c i e r z t r a n s p o n u j e m y w y n i k i e m j e s t t z w . m a c i e r z d o Bc z o n a
A D = [ A j i ] , w r e s z c i e d z i e l i m y j p r z e z w y z n a c z n i k .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a l e z m a c i e r z o d w r o t n d o m a c i e r z y
1 3
A = .
4 5
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a l e z m a c i e r z o d w r o t n d o m a c i e r z y
1 3
A = .
4 5
O b l i c z a m y d e t A = - 7 i n a s t p n i e
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a l e z m a c i e r z o d w r o t n d o m a c i e r z y
1 3
A = .
4 5
O b l i c z a m y d e t A = - 7 i n a s t p n i e
5 4 5 - 4 5 - 3
[ M i j ] = , [ A i j ] = , A D = .
3 1 - 3 1 - 4 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a l e z m a c i e r z o d w r o t n d o m a c i e r z y
1 3
A = .
4 5
O b l i c z a m y d e t A = - 7 i n a s t p n i e
5 4 5 - 4 5 - 3
[ M i j ] = , [ A i j ] = , A D = .
3 1 - 3 1 - 4 1
Z a t e m
1
5 - 3
A - 1 = - .
7 - 4 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
S p o s ó b 2 .
T w i e r d z e n i e
J e |e l i m a c i e r z I o t r z y m u j e m y p r z e z o p e r a c j e e l e m e n t a r n e n a
w i e r s z a c h z m a c i e r z y A , t o m a c i e r z A - 1 p o w s t a j e z m a c i e r z y I w
w y n i k u w y k o n a n i a t y c h s a m y c h o p e r a c j i e l e m e n t a r n y c h .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a j d z i e m y o d w r o t n o [ m a c i e r z y z p o p r z e d n i e g o p r z y k Ba d u .
Z a p i s u j e m y m a c i e r z e A i I o b o k s i e b i e ; k o l e j n e e t a p y
p r z e k s z t a Bc e n i a Bc z y m y z n a k i e m r ó w n o w a |n o [c i <":
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a j d z i e m y o d w r o t n o [ m a c i e r z y z p o p r z e d n i e g o p r z y k Ba d u .
Z a p i s u j e m y m a c i e r z e A i I o b o k s i e b i e ; k o l e j n e e t a p y
p r z e k s z t a Bc e n i a Bc z y m y z n a k i e m r ó w n o w a |n o [c i <":
1 3 1 0
<"
4 5 0 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a j d z i e m y o d w r o t n o [ m a c i e r z y z p o p r z e d n i e g o p r z y k Ba d u .
Z a p i s u j e m y m a c i e r z e A i I o b o k s i e b i e ; k o l e j n e e t a p y
p r z e k s z t a Bc e n i a Bc z y m y z n a k i e m r ó w n o w a |n o [c i <":
1 3 1 0 1 3 1 0
<" <"
4 5 0 1 0 - 7 - 4 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
M a c i e r z o d w r o t n a
P r z y k Ba d
Z n a j d z i e m y o d w r o t n o [ m a c i e r z y z p o p r z e d n i e g o p r z y k Ba d u .
Z a p i s u j e m y m a c i e r z e A i I o b o k s i e b i e ; k o l e j n e e t a p y
p r z e k s z t a Bc e n i a Bc z y m y z n a k i e m r ó w n o w a |n o [c i <":
1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 - 5 3
7 7
<" <" .
4
4 5 0 1 0 - 7 - 4 1 0 1 - 1
7 7
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
D a n e s m a c i e r z e :
îø ùø
2 - 1
1 1 - 2
ïø úø
A = , B = 1 2 .
ðø ûø
3 - 1 2
0 2
J a k i m p r z e k s z t a Bc e n i o m o d p o w i a d a j t e m a c i e r z e ? Z n a l e z
h = f A æ% f B . W y z n a c z y h - 1 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
M a c i e r z y A o d p o w i a d a p r z e k s z t a Bc e n i e
f A : R 3 ’! R 2 , f A ( x , y , z ) = ( x + y - 2 z , 3 x - y + 2 z ) ,
a m a c i e r z y B o d p o w i a d a p r z e k s z t a Bc e n i e f B : R 2 ’! R 3 ,
f B ( x , y ) = ( 2 x - y , x + 2 y , 2 y ) .
Z Bo |e n i e m o |e m y o b l i c z y b e z p o [r e d n i o , a l e l e p i e j o b l i c z y i l o c z y n
m a c i e r z y :
3 - 3
A B = ,
5 - 1
i s t d h : R 2 ’! R 2 , h ( x , y ) = ( 3 x - 3 y , 5 x - y ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a d a n i e
R ó w n i e | h - 1 n a j l e p i e j w y z n a c z y p o s Bu g u j c s i m a c i e r z
o d w r o t n ( k t ó r m o |n a o b l i c z y d o w o l n m e t o d ) .
1 1
-
1 2 4
( A B ) - 1 = ,
5 1
-
1 2 4
1 1 5 1
Z a t e m h - 1 : R 2 ’! R 2 , h - 1 ( x , y ) = ( - x + y , - x + y ) .
1 2 4 1 2 4
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
Z a p i s m a c i e r z o w y u k Ba d u
U k Ba d r ó w n a D:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + · · · + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + · · · + a 2 n x n = b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + · · · + a m n x n = b m
m a z a p i s m a c i e r z o w y :
A X = B , ( 1 1 )
g d z i e A j e s t m a c i e r z u k Ba d u , X j e d n o k o l u m n o w m a c i e r z
n i e w i a d o m y c h , a B j e d n o k o l u m n o w m a c i e r z w y r a z ó w
w o l n y c h .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e
R o z w a |m y r ó w n a n i e A X = B , w k t ó r y m X i B n i e m u s z b y
j e d n o k o l u m n o w e o m a c i e r z a c h w y s t p u j c y c h w t y m r ó w n a n i u
z a k Ba d a m y t y l k o , |e i c h w y m i a r y s t a k i e , |e r ó w n a n i e m a s e n s .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e
R o z w a |m y r ó w n a n i e A X = B , w k t ó r y m X i B n i e m u s z b y
j e d n o k o l u m n o w e o m a c i e r z a c h w y s t p u j c y c h w t y m r ó w n a n i u
z a k Ba d a m y t y l k o , |e i c h w y m i a r y s t a k i e , |e r ó w n a n i e m a s e n s .
J e |e l i w r ó w n a n i u ( 1 1 ) m a c i e r z A j e s t k w a d r a t o w a i n i e o s o b l i w a , t o
m n o |c t o r ó w n a n i e z l e w e j s t r o n y p r z e z A - 1 ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e
R o z w a |m y r ó w n a n i e A X = B , w k t ó r y m X i B n i e m u s z b y
j e d n o k o l u m n o w e o m a c i e r z a c h w y s t p u j c y c h w t y m r ó w n a n i u
z a k Ba d a m y t y l k o , |e i c h w y m i a r y s t a k i e , |e r ó w n a n i e m a s e n s .
J e |e l i w r ó w n a n i u ( 1 1 ) m a c i e r z A j e s t k w a d r a t o w a i n i e o s o b l i w a , t o
m n o |c t o r ó w n a n i e z l e w e j s t r o n y p r z e z A - 1 , o t r z y m a m y :
A - 1 A X = A - 1 B ,
c z y l i
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e
R o z w a |m y r ó w n a n i e A X = B , w k t ó r y m X i B n i e m u s z b y
j e d n o k o l u m n o w e o m a c i e r z a c h w y s t p u j c y c h w t y m r ó w n a n i u
z a k Ba d a m y t y l k o , |e i c h w y m i a r y s t a k i e , |e r ó w n a n i e m a s e n s .
J e |e l i w r ó w n a n i u ( 1 1 ) m a c i e r z A j e s t k w a d r a t o w a i n i e o s o b l i w a , t o
m n o |c t o r ó w n a n i e z l e w e j s t r o n y p r z e z A - 1 , o t r z y m a m y :
A - 1 A X = A - 1 B ,
c z y l i
X = A - 1 B .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e
R o z w a |m y r ó w n a n i e A X = B , w k t ó r y m X i B n i e m u s z b y
j e d n o k o l u m n o w e o m a c i e r z a c h w y s t p u j c y c h w t y m r ó w n a n i u
z a k Ba d a m y t y l k o , |e i c h w y m i a r y s t a k i e , |e r ó w n a n i e m a s e n s .
J e |e l i w r ó w n a n i u ( 1 1 ) m a c i e r z A j e s t k w a d r a t o w a i n i e o s o b l i w a , t o
m n o |c t o r ó w n a n i e z l e w e j s t r o n y p r z e z A - 1 , o t r z y m a m y :
A - 1 A X = A - 1 B ,
c z y l i
X = A - 1 B .
A n a l o g i c z n i e z r ó w n a n i a :
X A = B
o t r z y m a m y ( m n o |c r ó w n a n i e z p r a w e j s t r o n y p r z e z A - 1 ) :
X = B A - 1 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
A X = C - B ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
A X = C - B ,
X = A - 1 ( C - B ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
A X = C - B ,
X = A - 1 ( C - B ) .
O b l i c z a m y :
C - B =
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
A X = C - B ,
X = A - 1 ( C - B ) .
O b l i c z a m y :
- 2 5
C - B = ,
- 4 8
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
A X = C - B ,
X = A - 1 ( C - B ) .
O b l i c z a m y :
- 2 5
C - B = , A - 1 =
- 4 8
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
A X = C - B ,
X = A - 1 ( C - B ) .
O b l i c z a m y :
- 2 5 3 - 2
C - B = , A - 1 = .
- 4 8 - 1 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
R ó w n a n i e m a c i e r z o w e p r z y k Ba d
R o z w i z a r ó w n a n i e A X + B = C , g d z i e :
1 2 1 - 2 - 1 3
A = , B = , C = .
1 3 2 - 5 - 2 3
A X = C - B ,
X = A - 1 ( C - B ) .
O b l i c z a m y :
- 2 5 3 - 2
C - B = , A - 1 = .
- 4 8 - 1 1
Z a t e m :
2 - 1
X = .
- 2 3
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i l i n i o w n - w y m i a r o w i n i e c h B = { v j }
i D = { w i } b d d w i e m a b a z a m i t e j p r z e s t r z e n i .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i l i n i o w n - w y m i a r o w i n i e c h B = { v j }
i D = { w i } b d d w i e m a b a z a m i t e j p r z e s t r z e n i . M a c i e r z p r z e j [c i a
o d b a z y B d o b a z y D , P = [ p i j ] o k r e [l a m y j a k o m a c i e r z
p r z e k s z t a Bc e n i a t o |s a m o [c i o w e g o i d : V ’! V w y l i c z o n d l a b a z B
( w d z i e d z i n i e ) i D ( w p r z e c i w d z i e d z i n i e ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i l i n i o w n - w y m i a r o w i n i e c h B = { v j }
i D = { w i } b d d w i e m a b a z a m i t e j p r z e s t r z e n i . M a c i e r z p r z e j [c i a
o d b a z y B d o b a z y D , P = [ p i j ] o k r e [l a m y j a k o m a c i e r z
p r z e k s z t a Bc e n i a t o |s a m o [c i o w e g o i d : V ’! V w y l i c z o n d l a b a z B
( w d z i e d z i n i e ) i D ( w p r z e c i w d z i e d z i n i e ) . J e j j - t k o l u m n t w o r z
w s p ó Br z d n e w e k t o r a v j w b a z i e w i ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i l i n i o w n - w y m i a r o w i n i e c h B = { v j }
i D = { w i } b d d w i e m a b a z a m i t e j p r z e s t r z e n i . M a c i e r z p r z e j [c i a
o d b a z y B d o b a z y D , P = [ p i j ] o k r e [l a m y j a k o m a c i e r z
p r z e k s z t a Bc e n i a t o |s a m o [c i o w e g o i d : V ’! V w y l i c z o n d l a b a z B
( w d z i e d z i n i e ) i D ( w p r z e c i w d z i e d z i n i e ) . J e j j - t k o l u m n t w o r z
w s p ó Br z d n e w e k t o r a v j w b a z i e w i , t j . m a m y
n
v j = p i j w i , d l a j = 1 , 2 , . . . , n .
i = 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
N i e c h V b d z i e p r z e s t r z e n i l i n i o w n - w y m i a r o w i n i e c h B = { v j }
i D = { w i } b d d w i e m a b a z a m i t e j p r z e s t r z e n i . M a c i e r z p r z e j [c i a
o d b a z y B d o b a z y D , P = [ p i j ] o k r e [l a m y j a k o m a c i e r z
p r z e k s z t a Bc e n i a t o |s a m o [c i o w e g o i d : V ’! V w y l i c z o n d l a b a z B
( w d z i e d z i n i e ) i D ( w p r z e c i w d z i e d z i n i e ) . J e j j - t k o l u m n t w o r z
w s p ó Br z d n e w e k t o r a v j w b a z i e w i , t j . m a m y
n
v j = p i j w i , d l a j = 1 , 2 , . . . , n .
i = 1
J e [l i t r z e b a z a a k c e n t o w a b a z y , t o p i s z e m y P D !B z a m i a s t P .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
R o z w a |m y b a z y
B = { ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) } , D = { ( 1 , - 1 ) , ( 1 , 1 ) }
w p r z e s t r z e n i R 2 . P o n i e w a |
1 1
( 1 , 0 ) = ( 1 , - 1 ) + ( 1 , 1 ) ,
2 2
( 1 , 1 ) = 0 · ( 1 , - 1 ) + 1 · ( 1 , 1 ) ,
w i c
1
0
2
P = .
1
1
2
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
J e |e l i B i D s d w i e m a b a z a m i p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V i j e [l i P j e s t
m a c i e r z p r z e j [c i a o d b a z y B d o b a z y D , t o d l a d o w o l n e g o v " V :
T T
v D = P v B ,
T T
g d z i e v B i v D o z n a c z a j j e d n o k o l u m n o w e m a c i e r z e w s p ó Br z d n y c h
w e k t o r a v w b a z a c h B i D o d p o w i e d n i o .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
J e |e l i B , D i F s b a z a m i p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V , t o
1
P B !D = ( P D !B ) - 1 ,
2
P F !D P D !B = P F !B .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
J e |e l i B , D i F s b a z a m i p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V , t o
1
P B !D = ( P D !B ) - 1 ,
2
P F !D P D !B = P F !B .
A w i c , j e [l i p r z e j [c i e o d B d o D r e a l i z u j e s i m a c i e r z P , t o
p r z e j [c i e o d w r o t n e m a c i e r z P - 1 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
T w i e r d z e n i e
J e |e l i B , D i F s b a z a m i p r z e s t r z e n i l i n i o w e j V , t o
1
P B !D = ( P D !B ) - 1 ,
2
P F !D P D !B = P F !B .
A w i c , j e [l i p r z e j [c i e o d B d o D r e a l i z u j e s i m a c i e r z P , t o
p r z e j [c i e o d w r o t n e m a c i e r z P - 1 . J e [l i z n a m y m a c i e r z e P 1 i P 2
p r z e j [ o d B d o D i o d D d o F , t o p r z e j [c i e o d B d o F r e a l i z u j e
s i m a c i e r z P 2 P 1 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
1 . Z n a l e z m a c i e r z p r z e j [c i a o d B = { ( 0 , - 1 ) , ( 2 , 1 ) } d o
T T
D = { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) } i s p r a w d z i r ó w n o [ v D = P v B d l a
v = ( - 3 , 5 ) .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
1 . Z n a l e z m a c i e r z p r z e j [c i a o d B = { ( 0 , - 1 ) , ( 2 , 1 ) } d o
T T
D = { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) } i s p r a w d z i r ó w n o [ v D = P v B d l a
v = ( - 3 , 5 ) .
M a c i e r z e p r z e j [c i a o d B d o S i o d D d o S ( S b a z a
s t a n d a r d o w a ) :
0 2 0 1
P S !B = , P S !D = .
- 1 1 1 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
1 . Z n a l e z m a c i e r z p r z e j [c i a o d B = { ( 0 , - 1 ) , ( 2 , 1 ) } d o
T T
D = { ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) } i s p r a w d z i r ó w n o [ v D = P v B d l a
v = ( - 3 , 5 ) .
M a c i e r z e p r z e j [c i a o d B d o S i o d D d o S ( S b a z a
s t a n d a r d o w a ) :
0 2 0 1
P S !B = , P S !D = .
- 1 1 1 1
Z p o p r z e d n i e g o t w i e r d z e n i a :
- 1 - 1
P D !B = ( P S !D ) - 1 P S !B = .
0 2
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
M a m y t a k |e :
1 3 3
v = ( - 3 , 5 ) = - ( 0 , - 1 ) - ( 2 , 1 ) ,
2 2
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
M a m y t a k |e :
1 3 3
v = ( - 3 , 5 ) = - ( 0 , - 1 ) - ( 2 , 1 ) ,
2 2
v = ( - 3 , 5 ) = 8 ( 0 , 1 ) - 3 ( 1 , 1 ) ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
M a m y t a k |e :
1 3 3
v = ( - 3 , 5 ) = - ( 0 , - 1 ) - ( 2 , 1 ) ,
2 2
v = ( - 3 , 5 ) = 8 ( 0 , 1 ) - 3 ( 1 , 1 ) ,
c z y l i :
1
1 3 8
T T
v B = - , v D = .
3 3
2
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
M a m y t a k |e :
1 3 3
v = ( - 3 , 5 ) = - ( 0 , - 1 ) - ( 2 , 1 ) ,
2 2
v = ( - 3 , 5 ) = 8 ( 0 , 1 ) - 3 ( 1 , 1 ) ,
c z y l i :
1
1 3 8
T T
v B = - , v D = .
3 3
2
P o o b l i c z e n i u P v B o t r z y m a m y v D .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
Z n a l e z w s p ó Br z d n e w e k t o r a u = ( 2 , 3 , - 1 ) w b a z i e
D = { ( 1 , 3 , 7 ) , ( 2 , 5 , 0 ) , ( - 1 , 2 , - 1 ) } .
M a c i e r z :
îø ùø
1 2 - 1
ïø úø
Q = 3 5 2
ðø ûø
7 0 - 1
j e s t m a c i e r z p r z e j [c i a o d b a z y D d o b a z y s t a n d a r d o w e j . Z a t e m
m a c i e r z p r z e j [c i a o d b a z y B d o D b d z i e :
îø ùø
- 5 2 9
1
ïø úø
P = Q - 1 = 1 7 6 - 5 .
ðø ûø
6 4
- 3 5 1 4 - 1
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
P r z y k Ba d
O b l i c z a m y :
îø ùø îø ùø
2 - 1 3
1
ïø úø ïø úø
P · 3 = 5 7 .
ðø ûø ðø ûø
6 4
- 1 - 2 7
5 7
W s p ó Br z d n y m i u w b a z i e D s ( - 1 3 , , - 2 7 ) .
6 4 6 4 6 4
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D e f i n i c j a
N i e c h f : V ’! W . O k r e [l a m y :
k e r f = { v " V : f ( v ) = 0 } ,
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D e f i n i c j a
N i e c h f : V ’! W . O k r e [l a m y :
k e r f = { v " V : f ( v ) = 0 } ,
i m f = { w " W : i s t n i e j e v " V t a k i e , |e f ( v ) = w } .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D e f i n i c j a
N i e c h f : V ’! W . O k r e [l a m y :
k e r f = { v " V : f ( v ) = 0 } ,
i m f = { w " W : i s t n i e j e v " V t a k i e , |e f ( v ) = w } .
k e r f j e s t p o d p r z e s t r z e n i V , a i m f j e s t p o d p r z e s t r z e n i W .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D e f i n i c j a
N i e c h f : V ’! W . O k r e [l a m y :
k e r f = { v " V : f ( v ) = 0 } ,
i m f = { w " W : i s t n i e j e v " V t a k i e , |e f ( v ) = w } .
k e r f j e s t p o d p r z e s t r z e n i V , a i m f j e s t p o d p r z e s t r z e n i W .
W y m i a r p r z e s t r z e n i i m f n a z y w a m y r z d e m p r z e k s z t a Bc e n i a f .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
1 . R z u t o w a n i e p r z e s t r z e n i R 3 n a p Ba s z c z y z n O x y j e s t
p r z e k s z t a Bc e n i e m r z d u 2 ; j e g o j d r e m j e s t o [ O z , a o b r a z e m
p Ba s z c z y z n a O x y .
2 . N i e c h f : R 3 ’! R 3 ,
f ( x , y , z ) = ( 3 x - y + 2 z , 4 x + y + 3 z , x + 2 y + z ) . A b y z n a l e z
j d r o r o z w i z u j e m y u k Ba d :
3 x - y + 2 z = 0 , 4 x + y + 3 z = 0 , x + 2 y + z = 0 .
k e r f = { ±( 5 , 1 , - 7 ) ; ± " R }
O b r a z j e s t g e n e r o w a n y p r z e z w e k t o r y f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 , 3 , 4 ) ,
f ( 0 , 1 , 0 ) = ( 2 , - 1 , 1 ) , f ( 0 , 0 , 1 ) = ( 1 , 2 , 3 ) . S o n e l i n i o w o z a l e |n e ;
b a z o b r a z u t w o r z n p . d o w o l n e d w a z n i c h .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
2 . O p e r a t o r r ó |n i c z k o w a n i a D : W n ’! W n j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m
r z d u n ; j e g o j d r e m j e s t p r z e s t r z e D w i e l o m i a n ó w s t o p n i a 0
( s t a By c h ) , a o b r a z e m p r z e s t r z e D w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o
n a j w y |e j n - 1 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
2 . O p e r a t o r r ó |n i c z k o w a n i a D : W n ’! W n j e s t p r z e k s z t a Bc e n i e m
r z d u n ; j e g o j d r e m j e s t p r z e s t r z e D w i e l o m i a n ó w s t o p n i a 0
( s t a By c h ) , a o b r a z e m p r z e s t r z e D w i e l o m i a n ó w s t o p n i a c o
n a j w y |e j n - 1 .
O g ó l n i e j , j e [l i D k o z n a c z a o p e r a t o r k - k r o t n e g o r ó |n i c z k o w a n i a , t o
m a m y n a s t p u j c t a b e l :
O p e r a t o r J d r o O b r a z R z d
D W 0 W n - 1 n
D 2 W 1 W n - 2 n - 1
. . . . . . . . . . . .
D n W n - 1 W 0 1
D n + 1 W n { 0 } 0
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D l a d o w o l n e g o k j e s t
d i m ( i m D k ) + d i m ( k e r D k ) = d i m W n = n + 1 .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
P r z e k s z t a Bc e n i e l i n i o w e i j e g o m a c i e r z .
M a c i e r z o d w r o t n a . R ó w n a n i a m a c i e r z o w e .
M a c i e r z p r z e j [c i a
J d r o i o b r a z p r z e k s z t a Bc e n i a
D l a d o w o l n e g o k j e s t
d i m ( i m D k ) + d i m ( k e r D k ) = d i m W n = n + 1 .
F a k t t e n j e s t p r a w d z i w y o g ó l n i e , t z n . j e [l i d i m V < ", t o d l a
d o w o l n e g o p r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e g o f : V ’! V z a c h o d z i r ó w n o [:
d i m i m f + d i m k e r f = d i m V .
P r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e
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