Zadania z przedmiotu
Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I semestr
seria 4
1. Sprawdzić liniowa zależność uk A wektorów przestrzeni liniowej V nad cia K, jeżeli
ladu lem
(a) A = {(1, -2), (2, 3)}, V = K2, K = R;
(b) A = {(-1, -2), (-2, 1), (1, 0)}, V = K2, K = R;
(c) A = {(2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 0, 2)}, V = K3, K = Z3;
(d) A = {(2, 1, 0), 2, 1), (1, 0, 2)}, V = K3, K = Z5;
" "(0,"
(e) A = 3, 3, 5 , V = R, K Q;
1, =
"
(e) A = p | p jest liczba pierwsza , V = R, K = Q.
2. Wyznaczyć wszystkie wartości , dla których wektor w jest kombinacja liniowa wektorów v1,
v2, v3:
(a) v1 = (2, 3, 5), v2 = (3, 7, 8), v3 = (1, -6, 1), w = (7, -2, );
(b) v1 = (3, 2, 5), v2 = (2, 4, 7), v3 = (5, 6, ), w = (1, 3, 5).
3. Niech V oznacza przestrzeń funkcji rzeczywistych ciag na R. Sprawdzić liniowa zależność
lych

uk funkcji:
ladów
(a) A = {1, sin x, cos x};
(b) A = {sin x, sin 2x, sin 3x};

(c) A = 1, cos 2x, sin2 x .
4. W przestrzeni liniowej V = Kn nad cia K określamy podzbiór
lem
W = {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + x2 + · · · + xn = 0} .
(a) Wykazać, że W jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni V ;
(b) Podać przyk bazy przestrzeni W ;
lad
(c) Rozszerzyć baze podprzestrzeni W (z punktu (b)) do bazy przestrzeni V .

5. Niech R[x]n oznacza zbiór wszystkich wielomianów o wspó
lczynnikach rzeczywistych stopnia
co najwyżej n.
(a) Wykazać, że R[x]n jest przestrzenia liniowa nad R.
(b) Wykazać, że W = {f(x) " R[x]n | f(1) = 0} jest podprzestrzenia przestrzeni liniowej
R[x]n. Wyznaczyć wymiar W .
(c) Wykazać, że zbiór wielomianów stopnia co najwyżej n, dla których liczba 1 jest co naj-
mniej k-krotnym pierwiastkiem, jest podprzestrzenia przestrzeni liniowej R[x]n. Znalez
ć
wymiar tej przestrzeni.
6. Znalez
ć wspó
lrzedne wektora v " V w bazie B przestrzeni V , jeśli

(a) V = R3, v = (1, 2, 3), B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)};
(b) V = Kn, v = (n, n - 1, n - 2, . . . , 2, 1), B = {·1, ·2, . . . , ·n}, gdzie ·k = 1 + · · · + k
dla k = 1, 2, . . . , n. [Przypomnienie: i = (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0), tzn. i-ta wspó
lrzedna jest

równa 1, a pozosta 0.]
le
7. Wyznaczyć wszystkie bazy i wszystkie podprzestrzenie 2-wymiarowej przestrzeni liniowej V
nad cia Z3.
lem
8. Ile elementów ma n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad cia p-elementowym?
lem
9. Niech dany bedzie uk k wektorów przestrzeni Rn:
lad

vi = (xi1, xi2, . . . , xin), i = 1, 2, . . . , k,
gdzie k d" n. Wykazać, że jeśli
k

|xij| < 2|xjj|
i=1
dla każdego j = 1, 2, . . . , k, to dany uk wektorów jest liniowo niezależny.
lad