ÿþE k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . W y k Ba d 1 3 R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
L i n i o w y m o d e l d u o p o l u C o u r n o t a
( P o r . T . T o k a r s k i E k o n o m i a M a t e m a t y c z n a . M o d e l e M a k r o e k o n o m j c z n e . P W E , W a r s z a w a
2 0 1 1 , 2 5 6 - 2 6 9 ) .
·ð N a r y n k u m a m y 2 p r o d u c e n t ó w . O b a j p r o d u k u j t a k i
s a m p r o d u k t .
·ð F u n k c j e k o s z t ó w p r o d u k c j i s l i n i o w e :
C i ( y i ) = c i y i + f i ; c i > 0 , f i > 0 ; i = 1 , 2 .
y i - w i e l k o [ p r o d u k c j i i - t e g o p r o d u c e n t a .
·ð Z a k Ba d a m y , |e p o p y t n a d o b r o ( z g Ba s z a n y p r z e z
k o n s u m e n t ó w ) j e s t l i n i o w f u n k c j c e n y p i z a p i s u j e s i
y d ( p ) = .
·ð P r o d u k c j a d o s t o s o w u j e s i d o p o p y t u :
y 1 + y 2
z a t e m c e n a r ó w n o w a g i s t a j e s i f u n k c j z a l e |n o d
p o z i o m u y 1 + y 2 i p r z y j m u j e n a s t p u j c p o s t a :
p ( y 1 , y 2 ) = p ( y 1 + y 2 ) =
N i e c h a , b , z a t e m
p ( y 1 , y 2 ) = a b ( y 1 + y 2 )
Z a Bo |e n i e 1 c 1 < a , c 2 < a ( k o s z t y k r a Dc o w e n i |s z e o d c e n y s t a r t u )
Z a Bo |e n i e 2 P r o d u c e n c i s d u o p o l i s t a m i . M o g s p r z e d a
c a B s w o j p r o d u k c j d o s t o s o w a n d o p o p y t u .
F u n k c j e z y s k ó w
( y 1 , y 2 ) = y 1 p ( y 1 , y 2 ) C 1 ( y 1 ) z y s k p r o d u c e n t a n r 1 ;
1
( y 1 , y 2 ) = y 2 p ( y 1 , y 2 ) C 2 ( y 2 ) z y s k p r o d u c e n t a n r 2 .
2
1
E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . W y k Ba d 1 3 R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
W y k o r z y s t u j c w z o r y n a p i o r a z C i o t r z y m u j e m y
( y 1 , y 2 ) = y 1 [ a b ( y 1 + y 2 ) ] c 1 y 1 f 1 ,
1
( y 1 , y 2 ) = y 2 [ a b ( y 1 + y 2 ) ] c 2 y 2 f 2 .
2
P r o d u c e n c i , a b y z m a k s y m a l i z o w a s w o j e z y s k i , z a c h o w u j
s i j a k g r a c z e i s t o s u j n a s t p u j c e s t r a t e g i e :
·ð p r o d u c e n t n r 1 p r z y p r o d u k c j i p r o d u c e n t a 2 n a p o z i o m i e
y 2 w y b i e r a t a k w i e l k o [ y 1 ( y 2 ) , k t ó r a m a k s y m a l i z u j e
1 .
·ð p r o d u c e n t n r 2 p r z y p r o d u k c j i p r o d u c e n t a 1 n a p o z i o m i e
y 1 w y b i e r a t a k w i e l k o [ y 2 ( y 1 ) , k t ó r a m a k s y m a l i z u j e
2 .
P o k a |e m y , |e t a k a s t r a t e g i a p r o w a d z i d o p u n k t u r ó w n o w a g i
*ð
C o u r n o t a t z n d o t a k i e j p a r a ( y 1 , ) y *ð , |e
2
*ð
( a ) Pð ( y 1 , y *ð ) = m a x Pð1 ( y 1 , y *ð )
1
2 2
y 1 ³ð0
*ð *ð
( b ) Pð ( y 1 , y *ð ) = m a x Pð2 ( y 1 , y 2 )
2
2
y 2 ³ð0
W y z n a c z a n i e o p t y m a l n e j o d p o w i e d z i p r o d u c e n t a ( g r a c z a )
p r z y u s t a l o n y m p o z i o m i e p r o d u k c j i k o n k u r e n t a
·ð F u n k c j e z y s k ó w s f u n k c j a m i l i n i o w y m i . M o |e m y
s t o s o w a t r a d y c y j n e m e t o d y r a c h u n k u r ó |n i c z k o w e g o .
1 ) . U s t a l a m y y 2 . W a r u n k i k o n i e c z n e i d o s t a t e c z n e
o p t y m a l n e g o w y b o r y s n a s t e p u j c e :
a ) Pð
b ) Pð < 0
2
E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . W y k Ba d 1 3 R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
2 ) U s t a l a m y y 1 . W a r u n k i k o n i e c z n e i d o s t a t e c z n e o p t y m a l n e g o
w y b o r y d p o w i e d z i 2 p r o d u c e n t a s n a s t p u j c e :
a ) Pð
b ) Pð < 0
Z e w z g l d u n a z a Bo |e n i e b > 0 , w a r u n k i 1 b ) i 2 b s s p e Bn i o n e .
Z r o z w i z a D r ó w n a D 1 a ) i 2 a ) o t r z y m u j e m y n a s t p u j c e
o p t y m a l n e o d p o w i e d z i p r o d u c e n t ó w n a z y w a n e l i n i a m i
r e a k c j i
L R 1 : = l i n i a r e a k c j i p r o d u c e n t a 1
L R 2 : = l i n i a r e a k c j i p r o d u c e n t a 2
D l a u p r o s z c z e n i a w d a l s z y c h r o z w a |a n i a c h o p u s z c z a m y *
R y s 1 . L i n i a r e a k c j i p r o d u c e n t a n r . 1 R y s 2 . L i n i a r e a k c j i p r o d u c e n t a n r . 2
y 2 L R 1 : = y 2 L R 2 : =
B 1
A 2
A 1 B 2
y 1 y 1
Z a u w a |m y , |e o d p o w i e d z i n a j e s t Z a u w a |m y , |e o d p o w i e d z i n a j e s t
W s z c z e g ó l n o [c i o d p o w i e d z i p r o d u c e n t a 1 W s z c z e g ó l n o [c i o d p o w i e d z i p r o d u c e n t a 2
n a w y b ó r p r o d u c e n t a 2 : y 2 = 0 j e s t n a w y b ó r p r o d u c e n t a 1 : y 1 = 0 j e s t
y 1 = y 2 =
P u n k t y A 1 , B 1 w y z n a c z a j p r z e c i c i a L R 1 P u n k t y A 2 , B 2 w y z n a c z a j p r z e c i c i a L R 2
z o s i a m i w s p ó Br z d n y c h . z o s i a m i w s p ó Br z d n y c h .
3
E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . W y k Ba d 1 3 R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
R y s . 3 L i n i e r e a k c j i L R 1 i L R 2 o r a z d o c h o d z e n i e d o r ó w n o w a g i
C o u r n o t a .
y 2
B 1
p u n k t r ó w n o w a g i C o u r n o t a
A 2
D 2
D 1
A 1 B 2 y 1
0
P r o s t a B 1 A 1 , t o L R 1 l i n i a r e a k c j i p i e r w s z e g o p r o d u c e n t a .
P r o s t a A 2 B 2 , t o L R 2 l i n i a r e a k c j i p i e r w s z e g o p r o d u c e n t a .
N i e c h L R 1 ( y ) ( L R 2 ( y ) ) o z n a c z a o d p o w i e d z p i e r w s z e g o
( d r u g i e g o ) p r o d u c e n t a n a y o z n a c z a j c y p o z i o m p r o d u k c j i
k o n k u r e n t a .
·ð J e |e l i s p e Bn i o n e j e s t z a Bo |e n i e
B 1 > A 2 t z n . > ( p o r . R y s . 3 ) ,
t o n a s t p u j c y c i g o p t y m a l n y c h o d p o w i e d z i s t a r t u j c y z
z e r o w e g o p o z i o m u p r o d u k c j i p i e r w s z e g o p r o d u c e n t a :
, L R 2 ( ( , L R 2 ( , = (
1 1
z b i e g a d o p u n k t u r ó w n o w a g i C o u r n o t a .
4
E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . W y k Ba d 1 3 R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
·ð T a k i s a m w y n i k z b i e |n o [c i o t r z y m a m y d l a c i g u
s t a r t u j a c e g o z z e r o w e g o p o z i o m u p r o d u k c j i d r u g i e g o
p r o d u c e n t a ( n a r y s u n k u p u n k t z p u n k t u A 2 )
Z a u w a |m y , |e p u n k t r ó w n o w a g i j e s t p u n k t e m p r z e c i c i a
p r o s t y c h r e a k c j i L R 1 i L R 2 , z a t e m j e s t r o z w i z a n i e m u k Ba d u
r ó w n a o l i n i o w y c h :
=
=
R o z w i z a n i e m u k Ba d u j e s t p a r a ( ) g d z i e
D o k Ba d n e w y z n a c z e n i e r o z w i z a n i e z o s t a w i a m y j a k o
d w i c z e n i e .
5
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