��Ekonomia matematyczna. WykBad 13 R. RempaBa. MateriaBy dydaktyczne
Liniowy model duopolu Cournota
(Por. T. Tokarski Ekonomia Matematyczna . Modele Makroekonomjczne. PWE,Warszawa
2011, 256-269).
�� Na rynku mamy 2 producent�w. Obaj produkuj taki
sam produkt.
�� Funkcje koszt�w produkcji s liniowe:
Ci(yi) =ci yi + fi; ci > 0, fi > 0 ; i=1,2.
yi - wielko[ produkcji i-tego producenta.
�� ZakBadamy, |e popyt na dobro (zgBaszany przez
konsument�w) jest liniow funkcj ceny p i zapisuje si
yd(p) = .
�� Produkcja dostosowuje si do popytu:
y1+y2
zatem cena r�wnowagi staje si funkcj zale|n od
poziomu y1+y2 i przyjmuje nastpujc posta:
p(y1,y2) = p(y1+y2) =
Niech a , b , zatem
p(y1,y2) = a b (y1+y2)
ZaBo|enie1 c1<� a, c2 <� a (koszty kraDcowe ni|sze od ceny startu)
ZaBo|enie2 Producenci s duopolistami. Mog sprzeda
caB swoj produkcj dostosowan do popytu.
Funkcje zysk�w
(y1,y2) = y1 p(y1,y2) C1(y1) zysk producenta nr 1;
1
(y1,y2) = y2 p(y1,y2) C2(y2) zysk producenta nr 2.
2
1
Ekonomia matematyczna. WykBad 13 R. RempaBa. MateriaBy dydaktyczne
Wykorzystujc wzory na pi oraz Ci otrzymujemy
(y1,y2) = y1 [a b (y1+y2)] c1 y1 f1,
1
(y1,y2) = y2 [a b (y1+y2)] c2 y2 f2.
2
Producenci, aby zmaksymalizowa swoje zyski, zachowuj
si jak gracze i stosuj nastpujce strategie:
�� producent nr 1 przy produkcji producenta 2 na poziomie
y2 wybiera tak wielko[ y1(y2), kt�ra maksymalizuje
1.
�� producent nr 2 przy produkcji producenta 1 na poziomie
y1 wybiera tak wielko[ y2(y1), kt�ra maksymalizuje
2.
Poka|emy, |e taka strategia prowadzi do punktu r�wnowagi
*�
Cournota tzn do takiej para ( y1 ,) y*� , |e
2
*�
(a) P� ( y1 , y*� ) = max P�1(y1, y*� )
1
2 2
y1��0
*� *�
(b) P� ( y1 ,y*� ) = max P�2(y1, y2)
2
2
y2 ��0
Wyznaczanie optymalnej odpowiedzi producenta (gracza)
przy ustalonym poziomie produkcji konkurenta
�� Funkcje zysk�w s funkcjami liniowymi. Mo|emy
stosowa tradycyjne metody rachunku r�|niczkowego.
1).Ustalamy y2. Warunki konieczne i dostateczne
optymalnego wybory s nastepujce:
a) P�
b) P� <� 0
2
Ekonomia matematyczna. WykBad 13 R. RempaBa. MateriaBy dydaktyczne
2) Ustalamy y1. Warunki konieczne i dostateczne optymalnego
wybory dpowiedzi 2 producenta s nastpujce:
a) P�
b) P� <� 0
Ze wzgldu na zaBo|enie b >0, warunki 1b) i 2b s speBnione.
Z rozwizaD r�wnaD 1a) i 2a) otrzymujemy nastpujce
optymalne odpowiedzi producent�w nazywane liniami
reakcji
LR1: = linia reakcji producenta 1
LR2: = linia reakcji producenta 2
Dla uproszczenia w dalszych rozwa|aniach opuszczamy *
Rys1. Linia reakcji producenta nr.1 Rys2. Linia reakcji producenta nr.2
y2 LR1: = y2 LR2: =
B1
A2
A1 B2
y1 y1
Zauwa|my, |e odpowiedzi na jest Zauwa|my, |e odpowiedzi na jest
W szczeg�lno[ci odpowiedzi producenta 1 W szczeg�lno[ci odpowiedzi producenta 2
na wyb�r producenta 2: y2=0 jest na wyb�r producenta 1: y1=0 jest
y1= y2=
Punkty A1,B1 wyznaczaj przecicia LR1 Punkty A2,B2 wyznaczaj przecicia LR2
z osiami wsp�Brzdnych. z osiami wsp�Brzdnych.
3
Ekonomia matematyczna. WykBad 13 R. RempaBa. MateriaBy dydaktyczne
Rys.3 Linie reakcji LR1 i LR2 oraz dochodzenie do r�wnowagi
Cournota.
y2
B1
punkt r�wnowagi Cournota
A2
D2
D1
A1 B2 y1
0
Prosta B1A1, to LR1 linia reakcji pierwszego producenta.
Prosta A2 B2, to LR2 linia reakcji pierwszego producenta.
Niech LR1(y) (LR2 (y))oznacza odpowiedz pierwszego
(drugiego) producenta na y oznaczajcy poziom produkcji
konkurenta.
�� Je|eli speBnione jest zaBo|enie
B1 > A2 tzn. > (por. Rys.3),
to nastpujcy cig optymalnych odpowiedzi startujcy z
zerowego poziomu produkcji pierwszego producenta:
, LR2( ( , LR2( , = (
1 1
zbiega do punktu r�wnowagi Cournota.
4
Ekonomia matematyczna. WykBad 13 R. RempaBa. MateriaBy dydaktyczne
�� Taki sam wynik zbie|no[ci otrzymamy dla cigu
startujacego z zerowego poziomu produkcji drugiego
producenta (na rysunku punkt z punktu A2)
Zauwa|my, |e punkt r�wnowagi jest punktem przecicia
prostych reakcji LR1 i LR2, zatem jest rozwizaniem ukBadu
r�wnao liniowych:
=
=
Rozwizaniem ukBadu jest para ( ) gdzie
DokBadne wyznaczenie rozwizanie zostawiamy jako
dwiczenie.
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ekon Mat Wyk8b 9 10 2015Ekon Mat von Neum Wyk14b 2015Ekon Mat Wyk1 2015Ekon Mat Wyk Równ 13b 2015Ekon Mat von Neum Wyk14a 2015Ekon Mat Wyk 3 4 2015Ekon Mat Wyk12 2015Ekon Mat Wyk 1b 2 2015Ekon Mat WK 7 8 2015EKON Zast Mat WykĹ‚ad 8EKON Zast Mat Wykład 1bmat 2015 probna nowaUTF 8 EKON Zast Mat Wykład 4b 5mat 2015UTF 8 EKON Zast Mat Wykład 9UTF 8 EKON Zast Mat Wykład 7 2więcej podobnych podstron