Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Wykład 7-8.
Funkcja kompensacyjnego popytu konsumenta. Teoria produkcji.
Racjonalne zachowanie konsumenta to także minimalizacja
wydatków przy założonym poziomie użyteczności.
Problem minimalizacji wydatków (PMW)
(PMW): (p1x1+p2x2+...+pmxm ) ��min
przy ograniczeniach
u(x1,x2,...,xm) = u
x1 ł� 0, x2ł� 0,...,xm ł� 0.
pi --- cena i-tego dobra,
xi --- ilość jednostek i-tego dobra,
u(x1,x2,...,xm) -- użyteczność koszyka,
u -- ustalony poziom użyteczności
linie jednakowych kosztów
u(x)= u
m=2, KSS12(x*) = -p1/p2
501
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Optymalne rozwiązanie x* = (x*1,....,x*m) problemu (PMW)
traktowane jako funkcja cen p=(p1,...,pm) i poziomów
użyteczności u , (u ł� u(0)) nazywa się funkcją
kompensacyjnego popytu.
Twierdzenie O współzależności rozwiązań problemów
maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków.
Jeżeli funkcja użyteczności u: Rm �� R jest ciągła, rosnąca i
+�
silnie wklęsła, to
(a) jeśli koszyk x* maksymalizuje użyteczność u przy zadanych
cenach p=(p1,...,pm).> 0 i dochodzie d > 0 to x* minimalizuje
także wydatki przy tych samych cenach p=(p1,...,pm) i przy
poziomie użyteczności u =u(x*).
(b) jeśli x* minimalizuje wydatki przy cenach p=(p1,...,pm) > 0
i ustalonym poziomie użyteczności u , u ł� u(0), to x*
maksymalizuje użyteczność przy tych samych cenach
p=(p1,...,pm) i przy dochodzie d=p1x*1+...+pmx*m.
Twierdzenie o rozwiązaniu optymalnym zadania (PMW)
Jeżeli funkcja użyteczności u: Rm �� R jest ciągła, rosnąca i
+�
silnie wklęsła, to koszyk x* > 0 jest rozwiązaniem (PMW) wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba l�* > 0, że para (x*,l�*)
spełnia układ warunków:
ś�u(x)
|x=�x*� =� l�*pi , i=1,2,...,m, oraz u(x*)=u
ś�xi
Wniosek. W szczególności mamy
502
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
ś�u(x) ś�u(x)
KSS1,2(x*) =-� |x=�x / |x=�x =� -� (l� * p1) /(l� * p2 ) = -p1/p2
*� *�
ś�x1 ś�x2
Przykład. Wyznaczyć funkcję kompensacyjnego popytu w
przypadku użyteczności : u(x1,x2) = x1 +� x2
PMW: p1x1 + p2x2 �� min
przy ograniczeniach
x1 +� x2 = u
x1ł�0, x2 ł�0.
Stosujemy Twierdzenie
ś�u(x) *
|x=�x =� l� pi , i=1,2.
*�
ś�xi
u(x*)=u
x2
1 p1
ś�u(x)
=� = l�*p1 =�
ś�x1
2 x1 p2 x1
1
ś�u(x)
=� = l�*p2 x1 +� x2 = u
ś�x2
2 x2
x1 +� x2 = u
p1 x1
x =�
2
p2
p2 +� p1
�� x1( ) =� u
p2
p1 x1
x1 +� =� u
p2
up2 up1
*�
Wynik: x1 =� , x*� =� .
2
p1 +� p2 p1 +� p2
503
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Teoria produkcji. Ograniczenia technologiczne.
ż� Firma w działalności produkcyjnej napotyka na bariery. Są
to ograniczenia pochodzące od : konsumentów,
konkurentów i technologii.
ż� Zajmujemy się ograniczeniami technologicznymi. Dotyczą
one dostępnych sposobów wytwarzania produktów z
nakładów (czynników produkcji).
nakłady proces produkty
produkcji
Rys.
ż� Przez proces produkcji będziemy rozumieli zespół
czynności, które określony wektor nakładów
x = (x1,x2,...,xm)��Rm
+�
przekształcają na określony wektor wyników
(produktów): y = (y1,y2,...,yk) ��Rk .
+�
xi  wielkość nakładu i  tego czynnika produkcji, xił�0,
yi  wielkość produkcji i  tego towaru, yił�0.
504
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
ż� Zazwyczaj wielkości xi, yi mierzy się w jednostkach
przepływów, (np. ilość surowca nr i  na tydzień). Dla
uproszczenia pomijamy nazwy jednostek.
Procesowi produkcji przypisujemy technicznie wykonalne plany
produkcji z = (x,y) gdzie x = (x1,x2,...,xm)��Rm jest wektorem
+�
nakładów a y = (y1,y2,...,yk) ��Rk możliwym wektorem wyników.
+�
ż� Zbiór Z technicznie wykonalnych planów produkcji
nazywamy zbiorem produkcyjnym.
Uproszczenie. Zakładamy, że
a) rozważamy proces produkcyjny z jednym produktem; k =1.
b) zbiór dopuszczalnych nakładów jest zbiorem Rm, Firma
+�
zainteresowana jest maksymalną ilością produktu możliwą do
uzyskania z danej ilości nakładów.
ż� Niech f: Rm �� R1 oznacza odwzorowanie (funkcję), która
+� +�
każdemu wektorowi nakładów x=(x1,x2,...,xm)
przyporządkowuje maksymalną, możliwą wielkość
produkcji y
505
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
ż� Innymi słowy y = f(x1,x2,...,xm) wyraża maksymalną
wielkość produkcji y jaką można osiągnąć z nakładów
(x1,x2,...,xm).
ż� Funkcję f nazywamy skalarną funkcją produkcji.
Przykłady skalarnych funkcji produkcji dla : m=2
a) f(x1, x2)=min (x1,x2);
b) f(x1, x2)= a x1 + b x2 , a, b są dodatnimi stałymi;
a
c) f(x1, x2)= A x1xb , A, a, b są dodatnimi stałymi.
2
Funkcja c) jest funkcją Cobba Douglassa. Dodatkowy
parametr A wyraża tu skalę produkcji. (f(1,1) = A).
Standardowe założenia o funkcji produkcji
Oznaczenie int Rm = {x=( x1,x2,...,xm): x1>0, x2>0, ...,xm>0}.
+�
Założenia są podobne do tych, które odnosiły się do funkcji
użyteczności.
(F1) f: Rm �� R1 jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna na
+� +�
int Rm.
+�
Przpominamy f jest dwukrotnie różniczkowalna jeśli wszystkie
pochodne drugiego rzędu istnieją i są ciągłe
ś� ś�f(x)
( tzn. ( ) i,j�� {1,2,...,m} są funkcjami ciągłymi na intRm)
+�
ś�xj ś�xi
(F2) f(0,0,...,0) = 0.
(F3) Funkcja f jest rosnąca na int Rm, tzn.
+�
dla każdej pary x1,x2; ( x1 ł� x2 , x1 ą� x2) �� f(x1) > f(x2).
506
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
(F4) Funkcja f jest wklęsła na int Rm, tzn.
+�
dla każdej pary x1,x2, i każdego l� ��[0,1],
f(l�x1 +� (1-� l�)x2) ł� l�f (x1) +� (1-� l�)f (x2).
(F5) Funkcja f jest dodatnio jednorodna stopnia q� >� 0, tzn dla
każdego x��Rm i a� >� 0,
+�
f(a�x) =� f(a�x1,a�x2,...,a�xm) = a�q� f(x).
Komentarz
Ad(F1) Małe zmiany nakładów powodują małe zmiany wyników.
Ad (F2) Zerowym nakładom odpowiadają zerowe wyniki.
Ad (F3) Wzrost nakładów powoduje wzrost produkcji.
ś�2f(x) ś�f(x)
Ad(F4) Ł� 0 �� jest funkcją nierosnącą (nierosnąca
2
ś�xi ś�xi
produktywność krańcowa i-tego czynnika).
Ad (F5)
a) q� =� 1 , a� >� 0, f(a�x) =� a�f(x)------spełniony jest
postulat proporcjonalnych przychodów ze skali.
b) 0 < q�< 1; a� >� 1
f(a�x) =� a�q� f(x) < a� f(x) --------- spełniony jest postulat
malejących przychodów ze skali.
c) q� >� 1, a� >� 1,
f(a�x) =� a�q� f(x) > a� f(x) --------- spełniony jest postulat
rosnących przychodów ze skali.
507
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Krańcowa produktywność i-tego czynnika
Pochodna
ś�f(x) D�f(x) f(x1,..., xi +� D�xi,..., xm) -� f(x1, x2,..., xm)
=� lim0 =� lim0
i i
ś�xi D�x �� D�xi D�x �� D�xi
wyraża krańcową produktywność i-tego czynnika.
Izokwanty
Izokwantą produkcji na poziomie y0 nazywamy zbiór
wszystkich nakładów x, którym odpowiada ten sam poziom
produkcji y0.
Formalny zapis: Izokwanta={x: f(x) =� y0}
Przykład: f(x1, x2) = x1 x2.
x2
x1
Izokwanty: x1 x2.= y0, y0 > 0.
Współczynnik nachylenia izokwanty w punkcie x do osi x1
(x2) nazywa się krańcową techniczną stopą substytucji
(KTSS) pierwszego (drugiego) czynnika przez drugi
(pierwszy).
508
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
4 4
W przykładzie KTSS1,2(2,2) = - =� -� =� -�1
2
x1 4
Inny sposób liczenia
�� ć� ś�f(x) ��
2
-ć� ś�f(x) |x=�(2,2) �� /�� |x=�(2,2) ��=-� =� -�1.
��
2
ś�x1 ś�x2
Ł� ł� Ł� ł�
Ogólnie:
Krańcowa techniczna stopa substytucji (KTSS) i-tego
czynnika przez j-ty w punkcie x, to iloraz:
ś�f(x) ś�f(x)
-� / .
ś�xi ś�xj
Ćwiczenia Zestaw 4. Funkcja produkcji dana jest wzorem C-D:
f(x1,x2)=2 x1/ 2x1/ 4.
1 2
1. Określić stopień jednorodności.
2. Określić produktywność krańcową czynnika 1(2) w punkcie
(4,4).
3. Wyznaczyć izokwantę przechodzącą przez punkt (4,1).
4. Wyznaczyć krańcową techniczną stopę substytucji
pierwszego czynnika przez drugi w punkcie (4,4)
KTSS1,2(4,4).
1
2a�3/ 4x1/ 2x1/ 4
2
Ad 1. f(a�x1, a�x2)=2(a�x1)1/2(a�x2)1/4 = =
= a�3/ 4f(x1, x2).
Stopień jednorodności wynosi q� =� 3 / 4.
509
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
ś�f(x) 1 1 x1/ 4
2
Ad 2. =� 2�� �� �� x1/ 4 =�
ś�x1 2 x1/ 2 2 x1/ 2
1 1
ś�f(x) 1 1 x1/ 2
1
=� 2 �� �� �� x1/ 2 =�
ś�x2 4 x3 / 4 1 2x3 / 4
2 2
ś�f(x) 41/ 4 2 ś�f(x) 41/ 2 1
|x=�(4,4)=� = , |x=�(4,4) =� =� .
ś�x1 41/ 2 2 ś�x2 2 �� 43 / 4 23 / 2
Produktywność krańcowa: czynnika pierwszego
wynosi 2-1/2, czynnika drugiego 2-3/2
Ad 3 Izokwanta={ x��R2: 2x1/ 2x1/ 4 = y0}
+� 1 2
Dla izokwanty przechodzącej przez punkt (4,1)
parametr y0 wynosi 2 41/2 11/4 = 2 2 1=4. Zatem
poszukiwana izokwanta, to { x��R2: 2x1/ 2x1/ 4 = 4}.
+� 1 2
Ad 4.
�� ć� ś�f(x) �� 2-�1/ 2
-ć� ś�f(x) |x=�(4,4) �� /�� |x=�(4,4) ��= - =�-2.
��
ś�x1 ś�x2 2-�3 / 2
Ł� ł� Ł� ł�
Inny sposób:
Izokwanta przechodząca przez (4,4) ma parametr
y0=2 41/2 41/4 = 4 2.
Równanie odpowiadającej izokwanty, to
2 2 2
x2 = (y0 )4/ (2x1/ 2)4 = 44( 2 )4./ (16 x1 )=44./ (4x1 )=43/x1
1
dx2 2 �� 43 2 �� 43
=� -� �� =� -� =� -�2.
3
dx1 x1 43
510
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Odp. KTSS1,2(4,4) = -� 2.
Podmioty gospodarcze. Motywacja działań
ż� Konsumenci, przy wyborach koszyków konsumpcyjnych, kierują
się maksymalizacją użyteczności lub minimalizacją wydatków.
ż� Motywacją działania producentów jest maksymalizacja zysków
lub minimalizacja kosztów produkcji.
Przedsiębiorstwo w warunkach konkurencji
doskonałej
Zakładamy, że
1. Proces produkcji opisuje skalarna funkcja produkcji
spełniająca założenia
a) standardowe warunki: F1-F3.
b) warunek F4 w silniejszej wersji F4 (ścisła
wklęsłość)
ż� F4 : dla każdej pary x1,x2, i każdego l� ��
[0,1], f(l�x1 +� (1-� l�)x2)>� l�f(x1) +� (1-� l�)f(x2).
c) założenie F5 jest spełnione z parametrem
jednorodności stopnia q� �� (0,1).
2. Przedsiębiorstwo nie ma wpływu na ceny produktu
ani na ceny czynników produkcji.
3. Nie ma kłopotów ze zbytem produktu.
511
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
4. Celem jest maksymalizacja zysków lub
minimalizacja kosztów produkcji.
Strategie długo i krótkookresowe.
ż� W pierwszym przypadku zakładamy, że
przedsiębiorstwo ma nieograniczona swobodę w
wyborze wielkości i struktury czynników produkcji.
W drugim- występują o graniczenia.
Strategia długookresowa. Maksymalizacja zysku.
(SDMZ)
Model uproszczony :1-produkt i 1- czynnik produkcji.
Problem optymalizacyjny (SDMZ1-1) przybiera postać
(SDMZ1-1) P� (x) = pf(x)  vx �� max
x ł� 0
p --- ustalona cena rynkowa produktu,
v ---- ustalona cena rynkowa czynnika,
P� (x) ---- zysk firmy (funkcja celu),
p f(x).---- przychody ze sprzedaży,
v x ---- koszt nakładu.
512
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Poszukiwanie optymalnego czynnika produkcji w
zadaniu SDMZ1-1.
Niech y oznacza wielkość produktu końcowego.
Niech P� > 0 oznacza ustalony zysk
Zbiór {(x,y): P� = py  vx } opisuje linię jednakowego zysku.
v
Współczynnik nachylenia linii do osi x wynosi .
p
y y = f(x)
linie jednakowego zysku
Rys. X
Linie z wyższymi poziomami zysku wyżej przecinają oś y.
W punkcie x funkcja produkcji napotyka najwyżej położoną linię
df(x) v
zysku. Zatem |x=�x =�
dx p
Wniosek.
W punkcie optymalnego wyboru czynnika produkcji (w
przypadku optimum wewnętrznego) wartość krańcowej
produkcyjności czynnika jest równa cenie czynnika
df(x)
tzn. p |x=�x =� v
dx
513
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Okazuje się, że podobną własność mają optymalne wybory
przy uwzględnieniu wielu czynników produkcji.
PROBLEM (SDMZ1-m) - strategia długookresowa
maksymalizacja zysków, 1produkt, m czynników
(SDMZ1-m): P� (x) = pf(x)  (v1x1+.v2 x2 +...+vmxm) �� max
xi ł� 0, i =1,2,...m.
Przypominamy
p  cena produktu końcowego,
x = (x1,x2,...,xm)  wektor nakładów,
f(x) = ilość wytworzonego produktu przy nakładach opisanych
wektorem x,
v = (v1,v2,...,vm)  wektor cen poszczególnych nakładów
(czynników produkcji).
Twierdzenie 1 (O optymalnym wyborze nakładów w
problemie (SDMZ1-m))
ZAA
OŻENIE. A. Funkcja produkcji spełnia warunki
wymienione w punkcie 1 na str.511.
B. Ceny p, v1,v2,...,vm spełniają warunek
ś�f(x) ś�f(x)
lim p <� vi <� lim p i =� 1,2,...,m
x ��Ą� x ��0
i i
ś�xi ś�xi
TEZA. Zadanie (SDMZ1-m) ma dokładnie jedno rozwiązanie
x = (x1,x2,...,xm) >0 dla którego P� (x) > 0, a warunkiem
koniecznym i dostatecznym optymalności jest spełnienie
równań:
514
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
ś�f(x)
(*) p |x=�x =� vi i =� 1,2,...,m.
ś�xi
Uwagi do Twierdzenia 1
a) Rozwiązanie zadanie (SDMZ1 - m) sprowadza się do wyznaczenia
wektora x = (x1,x2,...,xm), który spełnia równania (*).
b) (*) oznacza, że przy optymalnym wyborze zysk firmy nie może być
powiększony przez zmianę poziomu któregokolwiek nakładu.
Zadanie. (Przykład wykorzystania Twierdzenia 1 )
Funkcja produkcji dana jest wzorem C-D: f(x1,x2) = 2x1/ 2x1/ 4
1 2
Znalez
ć optymalne wielkości nakładów przy cenach p, v1,v2
spełniających założenie B Twierdzenia 1.
Uwaga 1. Funkcje typu C-D spełniają warunki 1 ze str.511.
Można zatem wykorzystać tezę Twierdzenia do wyznaczenia
wektora optymalnych nakładów.
ś�f(x) 1
-�
p |x=�x =� v1 p �� 2 x11/ 2 x1/ 4 =� v1
2
ś�x1 2
ś�f(x) 1
p |x=�x =� v2 p��2 x1/ 2 x-�3/ 4 =� v2
1 2
ś�x2 4
Mnożąc strony pierwszej równości przez x1, a drugiej przez x2
otrzymujemy:
515
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
p x1/ 2 x1/ 4 =� v1x1
1 2
v1x1
Dzieląc równości stronami mamy 2 =�
p
v2x2
x1/ 2 x1/ 4 =� v2x2
1 2
2
2v2x2
Z ostatniej nierówności wynika, że x1 =�
v1
Podstawiając tę wartość do podkreślonego wzoru mamy:
1/ 2
ć� ��
p 2v2x2 p 21/ 2 -� 4
-�
�� �� x23 / 4 =� v2 , a więc x21/ =� 1, czyli
��
2 v1 �� 2 v1/ 2v1/ 2
Ł� ł� 2 1
p 21/ 2
=� x1/ 4 , Podnosząc stronami do potęgi 4 otrzymujemy
2 v1/ 2v1/ 2 2
2 1
p4 22 p4
=� x2, a więc x2 =� . Podstawiając ostatni
2
2
24 v2 v1
22 v2 v1
2
2
wynik do wzoru na x1 uzyskujemy:
2v2 2v2 p4 p4
x1 =� x2 =� =� .
2 3
v1 v1 22v1v2 2v1v2
2
Odpowiedz. Dla ustalonych cen: p, v1, v2 optymalnym
wyborem czynników produkcji jest :
p4 p4
x1 =� , x2 =� .
3 2
2v1v2 4 v2 v1
2
516
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Zauważmy, że
a. optymalny wybór zależy od cen, a otrzymana
postać pozwala śledzić ten wpływ,
b. zmiana skali cen nie zmienia wyboru.
Powrót do PROBLEMU (SDMZ1-m)
(strategia długookresowa maksymalizacja zysków, 1produkt, m czynników)
Optymalny wybór czynników produkcji traktowany jako funkcja
cen: p, v = (v1,v2,...,vm) nazywa się funkcją produkcyjnego
popytu.
Zatem
x(p,v)=(x1(p,v),x2(p,v),...,xm(p,v)) funkcja produkcyjnego
popytu na czynniki produkcji.
Zauważmy, że naturalne jest przyjęcie następującego
nazewnictwa:
y(p,v)= f(x(p,v)) funkcja podaży produktu
końcowego.
P�(p,v) =� pf(x(p,v)) -�[v1x1(p,v) +� v2x2(p,v) +� ... +� vmxm(p,v)]
funkcja optymalnego zysku.
Zadanie 2. Posługując się funkcją produkcyjnego popytu z
Zadania1 wyznaczyć funkcje podaży i zysku.
a) y(p,v) = f(x(p,v))=2(x1(p,v))1/ 2(x2(p,v))1/ 4=
517
Ekonomia matematyczna. Wykład 7-8. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
1/ 2 1/ 4
ć� �� ć� ��
p4 p4 p3
�� �� �� ��
2�� 3 �� �� 2 �� = funkcja podaży,
2
2v1v2 ł� Ł� 4v1v2 ł� v1v2
Ł� 2
b) P�(p,v) =� pf(x(p,v)) -� [v1x1(p,v) +� v2x2(p,v)]=
p3 p4 p4 p4 1 1
p -- (v1 3 +� v2 ) = (1-� -� ).
2 2 2
v1v2 2v1v2 4 v2 v1 v1v2 2 4
2
funkcja optymalnego zysku.
518