R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Wykład 1b-2. Teoria konsumenta (kontynuacja)
Teoria konsumenta c.d.
Założenie: konsument zachowuje się racjonalnie. Wybiera najlepszy
koszyk na jaki go stać.
Wiemy już co znaczy  na jaki go stać
Pytanie : co znaczy  najlepszy ?
Konsument dokonując wyborów wyraża swoje preferencje.
Czy można je opisać? Jakie mają własności?
Relacje dwuargumentowe w zbiorze.
X= ustalony zbiór.
r = relacja dwuargumentowa w X
r opisuje łączenie w uporządkowane pary elementów X;
Oznaczenie x r y - czytaj element x jest w relacji r z elementem y (x
jest w parze z elementem y).
Dokładniej: r jest podzbiorem produktu kartezjańskiego:
X�� X =� {(x, y) : x �� X, y �� X})
Typy relacji:
1. relacja jest zwrotna �� dla każdego x �� X, x r x,
def
2. relacja jest symetryczna �� dla każdych dwu elementów
def
x,y �� X, jeśli x r y, to y r x,
1
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
3. relacja jest przechodnia �� dla każdych trzech elementów
def
x,y,z �� X, jeśli x r y i y r z to x r z,
4. relacja jest zupełna (całkowita) �� dla każdych elementów
def
x, y �� X, jeśli xą� y to x r y lub y r x,
5. relacja jest relacją równoważnością �� jeśli jest zwrotna ,
def
symetryczna i przechodnia.
Przykład 1.
X-zbiór mieszkańców Warszawy. x r y �� x jest wyższy niż y.
def
(Wysokość podajemy z dokładnością do centymetra).
Relacja ta
1) nie jest zwrotna,
2) nie jest symetryczna,
3) jest przechodnia,
4) nie jest zupełna (dwie różnie osoby mogą mieć identyczny wzrost),
5) nie jest równoważnością
Przykład 2
X=R+, x r y �� xł� y. Relacja ta
def
1) jest zwrotna ( xł�x),
2) nie jest symetryczna (7ł�2 ale 2ł�7)
/�
3) jest przechodnia (( xł�y i ył�z) ��xł�z)
4) jest zupełna (dla dowolnej pary liczb (x,y) mamy xł� y lub ył�x .
5) nie jest relacją równoważności.
2
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przykład 3
X= {0,1,2,3,......}, x r y �� x i y mają tę samą resztę przy
def
dzieleniu przez 2.
Relacja ta jest równoważnością.
Przykład 4
X = uczniowie wybranej szkoły podstawowej
x r y �� x jest w tej samej klasie co y.
def
(1) x r x (x jest w tej samej klasie co x)- prawda,
(2) jeśli x r y to y r x (jeśli x jest w tej samej klasie co y to y
jest w tej samej klasie co x)- prawda,
(3) jeśli x r y i y r z to x r z (jeśli x jest w tej klasie co y, y jest
w tej samej klasie co z to x jest w tej klasie co z)- prawda.
Wniosek. Relacja jest równoważnością.
Klasy równoważności : klasa 1, klasa 2,.klasa 3, klasa 4, klasa
5, klasa 6.
Własność relacji równoważności - zasada abstrakcji.
Dowolna relacja równoważności w zbiorze niepustym wyznacza
podział tego zbioru na rozłączne, niepuste podzbiory.
Podzbiorami tymi są klasy równoważności tej relacji.
3
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Teoria konsumenta c.d.
�� X=Z- zbiór konsumpcyjny. Zakładamy, że przy danych
koszykach x i y konsument potrafi określić relacje między
nimi według swojego stopnia pożądania (upodobania).
x r y �� koszyk x jest lepszy lub tak samo dobry jak y
def
innymi słowy - x nie jest gorszy niż y,
- x jest słabo preferowany względem y
Definicja. Relację r, oznaczaną dalej przez  nazywamy relacją
słabej preferencji (lub preferencji) jeśli spełnia następujące
aksjomaty:
Aksjomaty: Relacja słabej preferencji (  ) jest
1. zwrotna (tzn. x x) dla każdego x
2. przechodnia (tzn. dla każdych trzech elementów
x, y,z �� Z, jeśli x y i y z to x z)
3. zupełna. ( jeśli x, y�� Z to x y lub y x).
�� Relacja słabej preferencji ( ) wyznacza relację
silnej (ścisłej) preferencji (f�) i relację
indyferencji (~).
Inna nazwa relacji indyferencji - relacja obojętności.
Definicja . Koszyk x jest indyferentny (obojętny) względem
y (co zapisujemy x ~ y) jeśli x y i y x.
4
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Definicja . Koszyk x jest ściśle preferowany wobec y
(zapis: x f� y) jeśli x y i nie jest prawdą, że x ~ y.
Można wykazać, że prawdziwe jest następujące twierdzenie
Twierdzenie. Relacja ścisłej preferencji  f� jest
przechodnia, relacja indyferencji  ~ jest relacją
równoważności (tzn. zwrotna, symetryczna i przechodnia)
�� Niech x =� (x1, x2,..., xm ) -będzie ustalonym koszykiem.
Klasa równoważności relacji obojętności, w której znajduje
się koszyk x dana jest zbiorem {y : x~y} .
Wniosek z zasady abstrakcji. Relacja indyferencji
wyznacza podział zbioru konsumpcji na rozłączne,
niepuste podzbiory. Podzbiorami tymi są klasy
równoważności tej relacji.
Definicja. Zbiorem obojętności relacji słabej preferencji 
nazywamy klasę równoważności relacji obojętności
(indyferencji).
5
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Definicja. Dla koszyków dwu-towarowych zbiór obojętności
nazywa się krzywą obojętności.
Wnioski z zasady abstrakcji dla koszyków
2- towarowych.
a) Krzywe obojętności wyznaczają podział zbioru konsumpcyjnego
na rozłączne, niepuste podzbiory.
b) Dwie krzywe obojętności są albo rozłączne albo identyczne.
Rys.a. Tak nie może być
b) Punkty na różnych krzywych są względem siebie w relacji
silnej preferencji.
f� lub p�
Rys. b
Wniosek.
�� Krzywe obojętności prezentują różne poziomy preferencji.
�� Krzywe obojętności i  relacje między krzywymi (por
rysunek b) jednoznacznie opisują relację słabej preferencji
6
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
�� Dla dowolnych trzech koszyków x,y,z mamy
xf� p�
y lub x y lub x~y,
Jak wykreślić krzywą obojętności?
1
2
( x1 + , x2 + )
1 2
(x1,x2)
Rys.Ustalamy koszyk (x1,x2). Zwiekszamy drugą współrzędną o . Następnie tak
2
dobieramy , aby ( x1 + , x2 + ) (x1,x2).
1 1 2
Przykłady preferencji w Z =R2
+�
Rozważmy następujacą relację:
x y �� x1 + x2 ł� y1 + y2
def
(Ważne, aby było dużo jednostek w koszyku!)
a) Czy jest to relacje słabej preferencji? (innymi słowy: czy
spełnia aksjomaty relacji preferencji?)
Pozytywna odpowiedz
wynika z własności liczb rzeczywistych.
Mamy bowiem
�� x1 + x2 ł� x1 + x2, zatem x x
�� jeśli x1 + x2 ł� y1+y2 i y1+y2 ł� z1+z2 to x1 + x2 ł� z1+z2
zatem jeśli x y i y z to x z
�� Z własności liczb wynika, że x1 + x2 ł� y1+y2 lub
y1+y2 ł� x1 + x2 . Zatem x y lub y x.
7
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Relacja jest relacją słabej preferencji. Wyznaczmy krzywe
obojętności.
Przypominamy:x ~ y jeśli x y i y x
Zatem x ~ y jeśli x1 + x2 ł� y1+y2 i y1+y2 ł� x1 + x2
Oznacza to, że: x ~ y jeśli x1 + x2 = y1+y2
Wniosek. W rozważanym przykładzie krzywe obojętności, to
zbiór takich koszyków, w których suma jednostek obu dóbr jest
stała. Zatem rodzinę krzywych obojętności można zapisać:
Ks =� {x =� (x1x2): x1 +� x2 =� s}, s > 0, (Por. Rys*.)
Opiszmy teraz relację ścisłej preferencji
Przypominamy :koszyk x jest ściśle preferowany wobec y jeśli
x y i nie jest prawdą, że x ~ y.
Wykorzystując definicję relacji mamy:
x f� y jeśli x1 + x2 ł� y1 + y2 i nie jest prawdą, że x1 + x2 =
y1 + y2. Zatem x f�y jeśli x1 + x2 > y1 + y2.
Oznacza to, że koszyki należą do różnych krzywych
obojętności. (Koszyk x znajduje się na krzywej bardziej odległej
od środka układu współrzędnych niż koszyk y).
krzywe obojętności
Rys *. Zauważmy, że dobra 1 i 2 są substytutami doskonałymi.
8
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przykłady preferencji
(Varian str.55-62). Rys. Dobra doskonale komplementarne
x y �� min (x1, x2) ł� min(y1,y2). Na rysunku zaznaczono
def
krzywe obojętności {x : min (x1,x2)=c, c oraz kierunek
wzrostu preferencji.
Błogostan
& &
& .
Rys. Krzywe obojętności otaczają  błogostan ( ).
Krzywe obojętności bliższe   są bardziej preferowane.
Dodatkowe założenia o relacji słabej preferencji 
a) Monotoniczność   więcej znaczy lepiej
Relacja   nazywa się monotoniczna �� jeśli dla każdej takiej pary
def
koszyków x,y �� Z , że x ą� y oraz x1ł� y1, x2ł� y2 ,..., xmł� ym
mamy x f� y.
9
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
koszyki
lepsze
x2
gorsze
x1
Rys. Przy relacji monotonicznej koszyki obojętne względem (x1,x2)
mogą znalez
ć się w obszarach zaznaczonych znakiem  
Wniosek
Krzywe obojętności relacji monotonicznej mają ujemne
nachylenie do osi x1
Rys.Taka krzywa nie może być krzywą obojętności relacji monotonicznej
b) Wypukłość słabej preferencji  
Definicja. Relacja preferencji nazywa się wypukła jeśli dla
każdej pary (x,y) �� Z i każdej liczby l���[0,1] spełniony jest
warunek:
jeśli x y to l�x +� (1-� l�)y y x
Rys. y
Przykład
x =(x1,x2)=(1,5), y = (y1,y2)=(2,2). Zdaniem konsumenta
x y i wiadomo, że relacja jest wypukła.
10
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Czy prawda jest, że (1.3 ,4.1) (2,2)?
Odpowiedz
. Tak, bo przy l�= 0.7 z własności wypukłości
wynika, że 0.7x + 0.3y y, a więc 0.7x + 0.3y = (0.7, 3.5) +
(0.6, 0.6) = (1.3, 4.1) (2,2).
Wniosek z definicji. Przy wypukłych relacjach:
x ~ y�� l�x +� (1-� l�)y y
x ~ y�� l�x +� (1-� l�)y x Rys.
Średnie ważone  punkty z odcinka łączącego indyferentne
koszyki - nie są gorsze niż krańce.
c). Silna (ścisła) wypukłość
Relacja preferencji   jest silnie (ściśle) wypukła jeśli dla
każdej pary x,y �� Z i każdej liczby l� ��(0,1) spełniony jest
warunek: (x y x ą� y) �� l�x +� (1-� l�)y f� y
Wniosek. Przy ściśle wypukłych relacjach
(x ~ y x ą� y )�� l�x +� (1-� l�)y f� y x
(x ~ y x ą� y )�� l�x +� (1-� l�)y f�x
y
Rys.
11
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Twierdzenie. Relacja preferencji jest wypukła na Z ��gdy dla
każdego koszyka a�� Z zbiór F(a) = {x �� Z : x a} jest
wypukły
Dowód. Wez
my x F(a). Z zupełności relacji preferencji
wynika, że x y lub y x. Zatem dla wypukłej kombinacji mamy:
jeśli x y tol�x +� (1-� l�)y y a
,
jeśli y x tol�y +� (1-� l�)x x a
. W obu przypadkach
oznacza to, że odcinek łączący koszyki x i y znajduje się w
zbiorze F(a).
Zakładamy teraz, że dla każdego koszyka a�� Z zbiór
F(a) = {x �� Z : x a} jest wypukły.
Wez
my pod uwagę x y oraz F(y). Z definicji zbioru F(y)
wiadomo, że x oraz y F(y). Rozważmy wektor
z( = l�x +� (1-� l�)y, gdzie Z założenia wypukłości
zbioru F(y) wynika, że z F(y). Tak więc,
(*) z( = l�x +� (1-� l�)y y
co oznacza wypukłość relacji, ponieważ (*) jest prawdziwa dla
każdego  � [0,1].
a
Rys. Przykład F(a) .
12
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przy ściśle wypukłych relacjach krzywe obojętności nie mogą
mieć  płaskich fragmentów
relacja jest wypukła ale
Rys. nie jest ściśle wypukła
Definicja. Relcje monotoniczne i wypukłe nazywają się
preferencjami dobrze zachowującymi się.
Powrót do problemu wyboru najlepszego koszyka
+�
Założenie: zbiór konsumpcyjny Z=Rm
Przypominamy.
+�
Zbiór budżetowy (Zb)={x��Rm : p1x1 +� p2x2 +� ... +� pmxm Ł� d}
p1,p2,...,pm - ceny, m = d - zasób.
Koszyki optymalne
Definicja. Koszyk x nazywamy optymalnym koszykiem w
zbiorze Zb jeśli nie jest gorszy od każdego innego koszyka z
tego zbioru, co zapisujemy: x x dla każdego x �� Zb.
13
R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Wniosek z definicji. Koszyk optymalny nie musi być jedyny.
Koszyki optymalne są indyferentne.
Dowód. Niech x będzie optymalny. Gdyby istniał inny y �� Zb,
taki że y x dla każdego x �� Zb, to x y i y x a zatemx ~ y
Zb Zb
Rys. Przykłady koszyków optymalnych.
14