Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Funkcji produkcji c.d.
Odwzorowanie (funkcję) f: Rm �� R1 , która każdemu
+� +�
wektorowi nakładów x=(x1,x2,...,xm) przyporządkowuje
maksymalną, możliwą wielkość produkcji y, nazywamy
skalarną funkcją produkcji
Innymi słowy y = f(x1,x2,...,xm) wyraża maksymalną wielkość produkcji y jaką
można osiągnąć z nakładów (x1,x2,...,xm).
(Własności funkcji produkcji podano wczesniej)
Podstawowe charakterystyki skalarnej funkcji produkcji
a) Krańcowa produkcyjność i-tego czynnika
Pochodna
ś�f(x) D�f(x) f(x1,..., xi +� D�xi,..., xm) -� f(x1,x2,..., xm)
=� lim =� lim
ś�xi D�xi ��0 D�xi D�xi ��0 D�xi
wyraża krańcową produkcyjność i-tego czynnika.
Krańcowa produkcyjność i-tego czynnika pokazuje, o ile wzrośnie produkcja, gdy
nakład i-tego czynnika wzrośnie o jednostkę, a pozostałe nakłady nie ulegną
zmianie.
b) Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika
Elastycznością produkcji względem i-tego czynnika nazywamy wyrażenie:
D�f (x)
D�f (x) xi
f (x)
ś�f(x) xi
f
e�i (x) =� lim =� lim �� =
D�xi
D�xi ��0 D�xi ��0 ś�xi f(x)
D�xi f (x)
xi
ś�f(x) f(x)
f
t.zn. e�i (x) =� / . ( krańcowa produkcyjnośćność / wartość
ś�xi xi
średnią ze względu na i-ty czynnik)
1
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika pokazuje, o ile procent wzrośnie
produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1%, a nakłady pozostałych
czynników nie ulegną zmianie.
c) Krańcowa techniczna stopa substytucji (KTSSi,j(x) i-tego
czynnika przez j-ty w punkcie x, to iloraz:
ś�f(x) ś�f(x)
-� / .
ś�xi ś�xj
Krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika przez j-ty pokazuje,
o ile jednostek należy w wektorze nakładów x zwiększyć
nakłady j-tego czynnika, gdy nakład i-tego czynnika zmniejszy
się o jednostkę, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.
d) Izokwanty
Izokwantą produkcji na poziomie y0 nazywamy zbiór
wszystkich nakładów x, którym odpowiada ten sam
poziom produkcji y0.
Formalny zapis: Izokwanta={x��Rm: f(x) =� y0}
+�
Przykład. Liniowa funkcja produkcji: f(x1,x2)= ax1+bx2 , a>0,b>0.
a) Krańcowa produkcyjność pierwszego czynnika = a,
krańcowa produkcyjność drugiego czynnika = b
b) Elastycznością produkcji względem pierwszego czynnika
ś�f(x) x1 x1 1
f
Przypominamy x=(x1,x2); e�1(x) =� = a =
bx2
ś�x1 f(x) ax1 +� bx2
1+�
ax1
f
a
Przy nakładzie x=(1,1), e�1(x) =�
(a +� b)
c) Krańcowa techniczna stopa substytucji
2
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
ś�f(x) ś�f(x)
KTSS2,1(x) = -� / =� -�b / a.
ś�x2 ś�x1
d) Izokwanta na poziomie yo=2 : ax1+bx2= 2.
Powrót do PROBLEMU (SDMZ1-m)
(strategia długookresowa maksymalizacja zysków, 1produkt, m czynników)
Definicja. Optymalny wybór czynników produkcji traktowany
jako funkcja cen: p, v = (v1,v2,...,vm) nazywa się funkcją
produkcyjnego popytu (na czynniki produkcji).
Zatem
x(p,v)=(x1(p,v),x2(p,v),...,xm(p,v)) funkcja produkcyjnego popytu
na czynniki produkcji.
Zauważmy, że naturalne jest przyjęcie następującego
nazewnictwa:
y(p,v)= f(x(p,v)) --- funkcja podaży produktu końcowego.
P�(p,v) =� pf(x(p,v)) -�[v1x1(p,v) +� v2x2(p,v) +� ... +� vmxm(p,v)]
-- funkcja optymalnego zysku.
Zadanie 2. Posługując się funkcją produkcyjnego popytu z
Zadania1 (Por. poprzedni wykład. Funkcja produkcji dana była
wzorem C-D: f(x1,x2) = 2x1/ 2x1/ 4) wyznaczyć funkcję podaży
1 2
produktu finalnego i funkcję optymalnego zysku.
3
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przypominamy: Przy ustalonych cenach:
p cena produktu końcowego,
v=( v1, v2) ceny czynników produkcji
optymalnym wyborem czynników produkcji były wielkości:
p4 p4
x(p,v)= ( , )
3 2
2v1v2 4 v2 v1
2
Wybory te, traktowane jako funkcja cen, zgodnie z Definicją,
tworzą funkcję produkcyjnego popytu na czynniki produkcji.
Zatem
a) y(p,v)= f(x(p,v))=2 (x1(p,v))1/ 2(x2(p,v))1/ 4 =
1/ 2 1/ 4
ć� �� ć� ��
p4 p4 p3
2�� �� �� �� = jest funkcją podaży dobra
3 2 2
��
2v1v2 �� �� 4v1v2 �� v1v2
Ł� ł� Ł� 2 ł�
finalnego, natomiast
b) P�(p,v) =� pf(x(p,v)) -� [v1x1(p,v) +� v2x2(p,v)]=
p3 p4 p4 p4 1 1
= p -- (v1 3 +� v2 ) = (1-� -� )
2 2
2
v1v2 2v1v2 4 v2 v1 2 4
v1 v2
2
p4
= to funkcja optymalnego zysku.
2
4v1 v2
W przypadku funkcji C-D problem maksymalizacji zysku można
efektywnie rozwiązać i wyznaczyć
4
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Strategia długookresowa, minimalizacja kosztów,
1 produkt, m czynników produkcji (SDMK1-m).
Tym razem problem polega na znalezieniu takiego wektora
nakładów, który minimalizuje koszty produkcji przy zadanym
poziomie końcowego produktu i znanych cenach
poszczególnych nakładów .
Znany jest wektor v = (v1,v2,...,vm) > 0, funkcja produkcji f i
ustalony poziom produkcji y > 0.
Chodzi o rozwiązanie następującego problemu
(v1x1+ v2 x2 +...+vmxm) �� min
SDMK1-m: f(x1, x2, & ,xm) = y
xi ł� 0, i =1,2,...,m
Uwaga. Problem jest podobny do minimalizacji wydatków przy
ustalonym poziomie konsumpcji.
linie jednakowego kosztu
x2
izokwanta f(x1,x2)=y
x
5
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Rys. m=2. -v1/v2-- współczynnik nachylenie linii jednakowego kosztu.
W punkcie optymalnego wyboru izokwanta jest styczna do linii jednakowego
kosztu.
Twierdzenie 2 (O minimalizacji kosztów w problemie (SDMK1-m))
Założenie. Funkcja produkcji spełnia warunki wymienione w
punkcie 1 na str.511.
Teza. Wektor czynników produkcji = (x1,x2,...,xm) > 0 jest
rozwiązaniem problemu (SDMK1-m) wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje taka liczba l�>0, że para ( , l�) spełnia układ m+1
równań:
ś�f(x)
|x=� =� l�vi, i =� 1,2,...,m
~
ś�xi x
f(~) =� y
x
Wnioski z Twierdzenia 2
1. Przy optymalnym wyborze krańcowa produkcyjność
czynnika jest proporcjonalna do ceny.
2. KTSSij(x) = - vi/vj.
Funkcja warunkowego popytu i funkcja kosztów produkcji.
Rozwiązanie problemu (SDMK1-m) - x(v,y) traktowane jako
funkcja cen i poziomów produkcji nazywa się warunkowym
popytem na czynniki produkcji.
Funkcja c(v,y)= v1x1(v,y)+ +vxm(v,y)- opisuje minimalny koszt
wytworzenia produktu y przy cenach v=(v1,v2,...,vm) i nazywa się
6
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
funkcją kosztów produkcji.
Zadanie 3. Wykorzystując Twierdzenie 2 rozwiązać zadanie
minimalizacji kosztów w przypadku funkcji produkcji
f(x1,x2) = 2 x1/ 2x1/ 4.
1 2
(v1x1+.v2 x2) �� min
SDMK1-2: 2x1/ 2x1/ 4 = y
1 2
xi ł� 0, i =1,2.
Poszukujemy wektora(x1,x2) który spełnia układ równań:
ś�f(x)
-�
|x=� =� l�v1 a) x11/ 2 x1/ 4 =� l�v1
~
2
ś�x1 x
ś�f(x) 1
-�
|x=� =� l�v2 b) x1/ 2 x23 / 4 =� l�v2
~
1
ś�x2 x 2
2x1/ 2x1/ 4 = y c) 2x1/ 2x1/ 4 = y
1 2 1 2
Dzieląc stronami równość a) przez b) otrzymujemy:
x2 v1 2x2v2
2 =� stad x1 =�
x1 v2 v1
1/ 2
ć� ��
2x2v2
Podstawiając do wzoru c) mamy 2�� �� x1/ 4= y. Zatem
��
v1 �� 2
Ł� ł�
v1/ 2
1
x3 / 4 =� y , co oznacza , że
2
23 / 2v1/ 2
2
2 / 3
ć� ��
v1 y4 / 3
x2(y,v1,v2) =� �� �� , warunkowy popyt na
�� ��
v2 4
Ł� ł�
czynniki produkcji.
7
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
1/ 3
ć� ��
2x2v2 v2 y4 / 3
x1(y,v1,v2) =� =�� ��
v1 �� v1 �� 2
Ł� ł�
Przedsiębiorstwo w warunkach konkurencji doskonalej 
strategia krótkookresowa.
Rozważamy sytuację, w której zasoby pewnych czynników
produkcji są ustalone i nie można ich zmieniać (np.
zatrudnienie). Pojawia się pytanie: w jaki sposób wybrać zasoby
pozostałych czynników, aby zysk ze sprzedaży końcowego
produktu był maksymalny lub też koszt wytworzenia założonego
poziomu produkcji był minimalny?
Strategia krótkookresowa. Maksymalizacja zysku.
1 produkt, r decyzyjnych czynników produkcji. (SKMZ1-r).
Założenia modelu.
1. Czynniki produkcji o numerach od 1 do r można wybierać
w dowolnych ilościach. Zasoby czynników o numerach od
r+1 do m są ustalone.
x = (x1,x2,...,xr,xr+1,xr+2,...,xm)---- wektor nakładów
decyzyjne ustalone
2. Funkcja produkcji spełnia założenia1 ze str.511.
Oznaczenia są takie jak przyjęto wcześniej
Przypominamy
p  cena produktu końcowego,
x = (x1,x2,...,xr,xr+1,xr+2,...,xm) wektor nakładów,
8
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
f(x) = ilość wytworzonego produktu przy nakładach opisanych
wektorem x,
v = (v1,v2,...,vm)  wektor cen poszczególnych nakładów
(czynników produkcji).
P�(x) =� pf (x) -� vx
zysk = przychód ze sprzedaży koszt nakładu.
Zatem przy założeniu (xr+1,xr+2,...,xm) = const. problem
(SKMZ1-r) przyjmuje postać:
P� (x)=pf(x1,...xr,xr+1,...,xm) (v1x1+...+vrxr+vr+1xr+1+...+vmxm)
(x1 ..., xr
ł� 0,x2ł� 0, ł� 0
Równoważny zapis problemu
Zauważmy, że
a) w funkcji zysków stałą vr+1xr+1+...+vmxm można
pominąć,
b) wykorzystując uwagę a) i następujące oznaczenie
(�
f (x1,...xr) =� .f(x1,...xr,xr+1,...,xm)
def
problemowi (SKMZ1-r) można nadać nową postać:
(�
(*) {p f (x1,...xr) - (v1x1+...+vrxr)} �� max
(x1 ..., xr
ł� 0,x2ł� 0, ł� 0
9
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Komentarz do problemu (*)
1.Jeśli wyjściowa funkcja produkcji f spełnia założenia ze
str.511,(założenia A Tw.1 O optymalnym wyborze nakładów w
problemie (SDMZ1-m)), to można wykazać, że
(�
r - argumentowa funkcja f też spełnia zestaw takich samych
założeń.
2. Jeśli ceny (p,v1,v2,...,vm) i funkcja f spełniają założenie B
Twierdzenie 1 (O optymalnym wyborze nakładów w problemie
(�
SDMZ1-m, Wykład 7-8), to ceny (p,v1,v2,...,vr) i funkcja f także
spełniają założenie B.(Założenie B: Ceny p, v1,v2,...,vm spełniają
warunek
(� (�
ś�f (x) ś�f (x)
lim p <� vi <� lim p i =�1,2,...,m)
xi ��Ą� xi ��0
ś�xi ś�xi
Z cytowanego Twierdzenia 1 wynika więc, że
zadanie (SKMZ1-r) ma rozwiązanie = (x1,x2,...,xr) >0,
a warunkiem koniecznym i dostatecznym optymalności
jest spełnienie równań:
(�
ś�f (x)
(**) p |x=�(x 1 ,x 2 ,...,x r )=� vi i =� 1,2,...,r .
ś�xi
10
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Interpretacja ekonomiczna tezy (**)
Wartość produkcyjności krańcowej i-tego czynnika
produkcji = cenie i-tego czynnika, i=1,2,...,r.
Strategia krótkookresowa. Minimalizacja kosztów.
1produkt, r decyzyjnych czynników produkcji. (SKMk1-r).
Warunki konieczne i dostateczne dla optymalności
rozwiązania problemu (SKMk1-r) wyprowadza się podobnie
do (SKMZ1-r) z tym, że tym razem wykorzystuje się
Twierdzenie 2.
Przedsiębiorstwo w warunkach monopolu.
W poprzednich rozważaniach analizowaliśmy
zachowanie przedsiębiorstwa w warunkach
doskonałej konkurencji. Odpowiada to sytuacji kiedy
na określonym rynku jest dużo małych firm. Obecnie
rozpatrujemy zupełnie kontrastową sytuację.
Zakładamy, że funkcjonuje tylko jedna firma w branży-
monopolista.
Przyjmujemy następujące założenia:
Z0. Przedsiębiorstwo działa w długim okresie.
11
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Z1. Przedsiębiorstwo wytwarza jeden produkt i
zużywa m- czynników produkcji.
Z2. Technologię produkcji opisuje funkcja produkcji f:
Rm �� R1 , która jest dostatecznie gładka (dwukrotnie
+� +�
różniczkowalna w sposób ciągły), rosnąca, silnie
wklęsła i zerująca się w punkcie (0,0,...,0).
Z3. Monopolista ma wpływ na rynkową cenę produktu.
Zakładamy, że cena p końcowego produktu jest
nierosnącą funkcją rozmiarów produkcji, tzn.
dp(y)
Ł� 0.
dy
Z4. Monopolista zgłaszając popyt na czynnik produkcji
wpływa na jego cenę. Zakładamy, że cena i-tego
czynnika jest niemalejącą funkcją popytu tzn.
dvi(xi)
ł� 0, i=1,2,...,m.
dxi
Z5. Przedsiębiorstwo nie ma trudności ze zbytem
produktu i z nabywaniem czynników.
Z6. Celem firmy jest maksymalizacja zysku lub
minimalizacja kosztów.
12
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przykład numeryczny: 1- produkt, 1-czynnik produkcji.
Rozważmy problem w którym
8
y = f(x) = xq�, 0 <� q� <�1, p(y) = , v(x) = x1/2.
y1/ 2
Problem
P�(x) =�{p(y)y -� v(x)x} =�{8 y1/2  x3/2}��max
y = xq�, xł� 0.
Wygodnie jest wprowadzić następujące oznaczenia:
8
R(y) = p(y)y = y = 8 y1/2 ---- przychód ze sprzedaży jako
y1/ 2
funkcja poziomu produkcji y,
r(x) = p(f(x))f(x) = 8 (f(x))1/2 = 8 xq� / 2 ------ przychód ze
sprzedaży jako funkcja poziomu nakładu x,
s(x) = v(x) x = x3/2 ----- koszt produkcji jako funkcja nakładu
czynnika produkcji.
Zatem problem można zapisać w postaci:
P�(x) =�{r(x) -� s(x) =�{8 xq� / 2 - x3/2}��max
xł�0
Zadanie sprowadza się do znalezienia maksimum funkcji
jednej zmiennej.
Wyznaczamy pochodną P�(x).
q�
-�1
dP�(x) dr(x) ds(x) 8 ��q� 3
=� -- = x2 -� x1/ 2
dx dx dx 2 2
13
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Zauważmy, że pochodna jest funkcją ciągłą na
przedziale (0, Ą�) i ma następujące granice:
dP�(x) dP�(x)
lim =� +�Ą�, lim =� -�Ą�.
x��0+� x��Ą�
dx dx
x
Zatem istnieje takie x > 0 , że
q�
-�1
dP�(x) 8 ��q� 3
=� x2 -� x1/ 2 = 0.
dx 2 2
2
q�-�1
-�1
2 8 q� ć� ��q�-�3
3
2
stąd �� x -�1 =� 0, a więc x =� �� ��
�� ��
3 2 8�� q�
Ł� ł�
P�(x)
x
Rys. Wykres funkcji P�(x)
2
ć� ��q�-�3
3
x =� �� �� - wielkość optymalnego nakładu,
�� ��
8�� q�
Ł� ł�
14
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
2
ć� ��q�-�3
1
Ć �
x =� �� �� - granica rentowności firmy, P�(x) =� 0.
��
8����
Ł� ł�
2
3
P�(x) =� P� (ć� 8�� q� ��q�-�3)---- optymalny zysk.
�� ��
�� ��
Ł� ł�
dP�(x)
Zauważmy, że w punkcie optymalnego wyboru =�
dx
dr(x) ds(x) dr(x) ds(x)
-- =0, a więc w punkcie tym = .
dx dx dx dx
Oznacza to, że monopol maksymalizuje zysk wówczas, gdy wybiera taką wielkość
nakładu, przy, której krańcowy przychód jest równy krańcowemu kosztowi
produkcji.
Okazuje się, że zasada ta jest spełniona w
ogólniejszym problemie z wieloma czynnikami
produkcji .
Strategia długookresowa. Maksymalizacja zysku
monopolu. Jeden produkt, m-czynników produkcji.
(SDMZM1-m)
P�(x) =� {p(f(x))f(x) -� (v1(x1)x1 +� ... +� vm(xm)xm)} �� max
x = (x1,x2,...,xm) ł� 0
15
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Wprowadzimy oznaczenia podobne do
wykorzystywanych w przykładzie. Przypominamy:
y = f(x) = f(x1,x2,...,xm) ----- funkcja produkcji,
p(y)  cena przy rozmiarach produkcji y,
r(x) = p(f(x))f(x) przychód jako funkcja nakładu x=(x1,x2,..,xm),
s(x) = v1(x1)x1 +� v2(x2)x2 +� ... +� vm(xm)xm -- koszt
produkcji jako funkcja nakładu,
vi(xi) -- cena i-tego czynnika przy popycie xi,
Twierdzenie 3 (O maksymalizacji zysków monopolu).
Założenie. Funkcja zysku przedsiębiorstwa jest ciągła,
dwukrotnie różniczkowalna, silnie wklęsła, zerująca
się w zerze i spełnia warunki:
ś�P�(x) ś�P�(x)
lim <� 0 <� lim , i =� 1,2,...,m
x ��Ą� x ��0
i i
ś�xi ś�xi
Teza 1. Problem (SDMZM1-m) ma rozwiązanie
dodatnie x >� 0.
2. warunkiem koniecznym i dostatecznym
optymalności x jest spełnienie układu równań:
ś�P�(x)
|x=�x =� 0, i =� 1,2,...,m.
ś�xi
16
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Komentarz . Ponieważ P�(x) =� r(x) -� s(x) to teza 2
ś�r(x) ś�s(x)
oznacza, że |x=�x =� |x=�x, i =� 1,2,...,m.
ś�xi ś�xi
Z Twierdzenia wynika więc, że monopol maksymalizuje zysk wówczas, gdy
angażuje czynniki produkcji w takiej ilości, że dla każdego czynnika produkcji
spełniona jest równość:
ś�r(x)
krańcowy przychód |x jest równy
ś�xi =�x
ś�s(x)
krańcowym kosztom produkcji |x=�x .
ś�xi
Przykład numeryczny. Rozważmy przykład problemu
(SDMZM1-2 ), w którym
y = f(x1,x2) = x1/ 3x1/ 3, p(y)= 6 y-�1/ 2 ,
1 2
v1(x1) �� v1 =� const., v2(x2) �� v2 =� const.
Zatem
P�(x1,x2) =� p(f(x1,x2))f(x1,x2) -� v1x1 -� v2x2=
-�1/ 2
6(�x1/ 3x1/ 3)� x1/ 3x1/ 3 -v1x1  v2x2 = 6x1/ 6x1/ 6-v1x1  v2x2.
1 2 1 2 1 2
dP�(x)
-�5
=� x1 / 6x1/ 6 -� v1 =� 0,
2
dx1
dP�(x)
-�
=� x1/ 6x25 / 6 -� v2 =� 0.
1
dx2
17
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
x2 v1 v1
=� , a więc x2 =� x1.
x1 v2 v2
-� -� -� -�
Ostatecznie otrzymujemy x1 =� v15 / 4v21/ 4, x2 =� v11/ 4v25 / 4
Tematyka Wykładów 9-10.
ż� Podstawowe charakterystyki skalarnej funkcji produkcji
ż� Konkurencja doskonała . Strategia długookresowa.
Minmalizacja kosztów - 1 produkt, m czynników
produkcji (SDMK1-m)).
ż� Strategia krótkookresowa. Minimalizacja kosztów -
1produkt, r decyzyjnych czynników produkcji. (SKMk1-r,
r < m).
ż� Przedsiębiorstwo w warunkach monopolu.
ż� Strategia długookresowa. Maksymalizacja zysku
monopolu. Jeden produkt, m-czynników produkcji.
(SDMZM1-m)
Ćwiczenia. Zestaw 5
1)Funkcja produkcji wyraża się wzorem f(x1,x2)= x1/ 2x1/ 2 . Określ :
1 2
a. stopień jednorodności.
b. krańcowe produktywności pierwszego i drugiego czynnika =
produkcji w punkcie (4,4),
c. krańcową stopę substytucji pierwszego czynnika przez drugi
w punkcie (4,4),
d. elastyczność produkcji względem pierwszego czynnika w
punkcie (4,4),
e. izokwantę produkcji na poziomie y0=2.
18
Ekonomia matematyczna. Wykłady 8b- 9-10. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
2) Cena na produkt monopolisty jest zależna od wielkości jego
produkcji i wyraża się wzorem: p(y)=100-y2..
a) Jaki jest przychód monopolisty przy sprzedaży 4 jednostek
produktu?
b) Funkcja produkcji monopolisty dana jest wzorem : f(x1,x2)=
x1/ 2x1/ 2 . Przy jakich nakładach czynników produkcji monopolista
1 2
wyprodukuje 4 jednostki produktu finalnego. Podaj nazwę zbioru
tych czynników, które pozwalają wyprodukować 4 jednostki
produktu finalnego.
c) Przychód traktowany jako funkcja czynników produkcji wyraża się
wzorem : r(x1,x2)=p(f(x1,x2)) f(x1,x2). Podaj dokładną postać
przychodu w przypadku monopolisty z funkcjami ceny i produkcji
ustalonymi w rozważanym zadaniu 2.
3).Teza Twierdzenia 3 orzeka, że monopolista maksymalizuje zysk
wówczas, gdy angażuje czynniki produkcji w takiej ilości, iż dla
każdego czynnika produkcji spełniona jest równość:
ś�r(x)
krańcowy przychód ( |x=�x ) jest równy krańcowym kosztom
ś�xi
ś�s(x)
produkcji ( |x=�x .Czy warunek ten jest warunkiem koniecznym?
ś�xi
Określ funkcję kosztów produkcji s w przypadku gdy występują tylko 2
czynniki produkcji i ceny ich są stałe: v =(v1,v2) = (1,2). Wyznacz
koszty krańcowe.
4) Jaka jest różnica między funkcją produkcyjnego popytu na czynniki
produkcji a funkcją warunkowego popytu?
19