ÿþW y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
D u o p o l i o l i g o p o l
T e o r i d u o p o l u s f o r m u Bo w a B i r o z w i n B f r a n c u s k i
m a t e m a t y k i e k o n o m i s t a A n t o i n e C o u r n o t ( 1 8 0 1 - 1 8 7 7 ) ,
k t ó r y p r z e z w i e l u u w a |a n y j e s t z a o j c a m a t e m a t y c z n e j
e k o n o m i i .
D w a j p r o d u c e n c i p r o d u k u j i d o s t a r c z a j n a r y n e k p e w i e n
t o w a r . Z a k Ba d a m y , |e p r o d u c e n c i t a k o p a n o w a l i r y n e k , i |
c e n a r y n k o w a p r o d u k t u z a l e |y o d Bc z n e j i l o [c i d o s t a r c z o n e j
n a r y n e k p r z e z o b u p r o d u c e n t ó w .
P r o d u c e n c i n i e m a j t r u d n o [c i z e z b y t e m t o w a r u i z
n a b y w a n i e m c z y n n i k ó w p r o d u k c j i . K o s z t p r o d u k c j i
p o s z c z e g ó l n y c h p r o d u c e n t ó w z a l e |y o d w i e l k o [c i w Ba s n e j
p r o d u k c j i .
O z n a c z e n i a
y i - i l o [ t o w a r u w y p r o d u k o w a n a p r z e z i - t e g o d u o p o l i s t , i = 1 , 2
k i ( y i ) f u n k c j a k o s z t ó w p r o d u k c j i i - t e g o p r o d u c e n t a
p i ( y 1 + y 2 ) f u n k c j a o k r e [l a j c a c e n r y n k o w p r o d u k t u i - t e g o
p r o d u c e n t a ; y 1 + y 2 j e s t Bc z n p r o d u k c j d u o p o l i s t ó w
Pð ( y 1 , y 2 ) f u n k c j a w y r a |a j c a z y s k i - t g o p r o d u c e n t a
i
Z a u w a |m y , |e
Pð ( y 1 , y 2 ) = y i p i ( y 1 + y 2 ) k i ( y i ) , i = 1 , 2
i
ð ð ð
z y s k = p r z y c h ó d k o s z t
2 2
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
Z a Bo |e n i a m o d e l u
D l a k a |d e g o i
( a ) p i i k i s f u n k c j a m i o k r e [l o n y m i n a [ 0 , ¥ð) p r z y
c z y m : f u n k c j a p i j e s t m a l e j c a o d p e w n e g o a i = p i ( 0 ) > 0 i
p i ( b i ) = 0 d l a p e w n e g o b i > 0 ; p o n a d t o j e s t o n a
r ó |n i c z k o w a l n a i m a c i g B m a l e j c p o c h o d n ( z a t e m
j e s t w k l s Ba , p o r . R y s 3 . 1 )
p i ( s )
a
0
b i
R y s . 3 . 1 p i ( s ) , s = y 1 + y 2
( b ) f u n k c j a k o s z t ó w k i j e s t r o s n c a , r ó |n i c z k o w a l n a i m a
c i a g B r o s n c p o c h o d n . ( z a t e m j e s t w y p u k Ba , p o r .
R y s . 3 . 2 )
k i ( y i )
R y s . 3 . 2 k i ( y i ) y i
P r z y p o m i n a m y p r o b l e m m o n o p o l i s t y ( P M )
W p r z y p a d k u m o n o p o l u m i e l i [m y d o c z y n i e n i a z j e d n y m
p r o d u c e n t e m . C h o d z i Bo o w y z n a c z e n i e t a k i e g o p o z i o m u
2 3
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
p r o d u k c j i y * , k t ó r y m a k s y m a l i z u j e z y s k p r z e d s i b i o r s t w a .
P r z y p o m i n a m y , |e p r o b l e m o p t y m a l i z a c y j n y p r z y b i e r a B
p o s t a .
( P M ) : Pð ( y ) = y p ( y ) k ( y ) ®ð m a x
x ³ð 0
P o d o b n i e j e s t w d u o p o l u . K a |d y z p r o d u c e n t ó w c h c i a Bb y
m a k s y m a l i z o w a z y s k . R z e c z j e d n a k w t y m , |e t y m r a z e m
z y s k z a l e |y n i e t y l k o o d w i e l k o [c i w Ba s n e j p r o d u k c j i a l e
( p o p r z e z c e n r y n k o w ) o d w i e l k o [c i p r o d u k c j i d r u g i e g o
d u o p o l i s t y .
~
Z a t e m j e [l i p i e r w s z y w y p r o d u k u j e y 1 t o d r u g i w y b i e r z e t a k i
p o z i o m y 2 , |e Pð ( ~ 1 , y 2 ) = m a x Pð2 ( ~ 1 , y 2 )
y y
2
y 2 ³ð0
P o d o b n i e z a c h o w u j e s i p i e r w s z y p r o d u c e n t . N a w i e l k o [
~
~
p r o d u k c j i y 2 z a r e a g u j e t a k i m w y b o r e m p o z i o m u p r o d u k c j i y 1 ,
~
y
|e b y Pð ( ~ 1 , y 2 ) = m a x Pð1 ( y 1 , y 2 )
2
y 1 ³ð0
~
~
N a w y b ó r p i e r w s z e g o p r o d u c e n t a y 1 d r u g i p r o d u c e n t
z a r e a g u j e w y b o r e m y 2 i t p .
Z a u w a |m y , |e m a m y t u d o c z y n i e n i a z p e w n g r . W y p Ba t
s f u n k c j e z y s k ó w a d e c y z j - w i e l k o [ p r o d u k c j i .
2 4
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
*ð
P o j a w i a s i p y t a n i e : c z y i s t n i e j t a k i e p o z i o m y p r o d u k c j i y 1 ,
y *ð , |e k a |d y z p r o d u c e n t ó w m a k s y m a l i z u j e s w ó j z y s k i n i e
2
p o t r z e b u j e p r z y t y m z m i e n i a s w o j e g o w y b o r u ?
I n n y m i s Bo w y
*ð
c z y i s t n i e j e t a k a p a r a y 1 , y *ð , |e
2
*ð
( a ) Pð ( y 1 , y *ð ) = m a x Pð1 ( y 1 , y *ð )
1
2 2
y 1 ³ð0
*ð *ð
( b ) Pð ( y 1 , y *ð ) = m a x Pð2 ( y 1 , y 2 )
2
2
y 2 ³ð0
P a r a d e c y z j i s p e Bn i a j c a w a r u n k i ( a ) - ( b ) n a z y w a s i
*ð
r ó w n o w a g d u o p o l u . y 1 j e s t p o z i o m e m p r o d u k c j i p i e r w s z e g o
d u o p o l i s t y w s t a n i e r ó w n o w a g i , a y *ð j e s t p o z i o m e m p r o d u k c j i
2
d r u g i e g o d u o p o l i s t y w s t a n i e r ó w n o w a g i .
*ð
W j e z y k u t e o r i i g i e r p a r a ( y 1 , y *ð ) n a z y w a n a j e s t p u n k t e m
2
e k w i l i b r i u m N a s h a l u b p u n k t e m r ó w n o w a g i N a s h a .
T w i e r d z e n i e 3 . 1 . P r z y p r z y j t y c h z a Bo |e n i a c h d u o p o l p o s i a d a
p u n k t r ó w n o w a g i i j e s t t o p u n k t j e d y n y . ( p o r . r e f [ 5 ] )
P o w s t a j e p y t a n i e : c z y m o |n a p o d a w a r u n k i k o n i e c z n e i
*ð
d o s t a t e c z n e n a t o , a b y p a r a y 1 , y *ð b y Ba p u n k t e m r ó w n o w a g i .
2
O d p o w i e d z i j e s t n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
2 5
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
*ð
T w i e r d z e n i e 3 . 2 N a t o , a b y p a r a ( y 1 , y *ð ) b y Ba p u n k t e m
2
r ó w n o w a g i r o z w a |a n e g o m o d e l u d u o p o l u p o t r z e b a i w y s t a r c z a ,
a b y d l a i = 1 , 2
¶ðPði
( c ) | ( y 1 , y 2 ) =ð( y 1 , y *ð ) =ð 0 j e [l i y *ð >ð 0 ,
*ð
i
2
¶ðy i
*ð
¢ð
( d ) p i ( y 1 + y *ð ) £ð k i ( 0 ) j e [l i y *ð =ð 0 .
2 i
E k o n o m i c z n a i n t e r p r e t a c j a w a r u n k ó w ( c ) ( d )
¢ð
A d ( d ) k i ( y i ) o z n a c z a k o s z t k r a Dc o w y . Z z a Bo |e n i a k o s z t
k r a Dc o w y j e s t r o s n c y . Z a t e m z w a r u n k u ( d ) w y n i k a , |e j e [l i w
p u n k c i e r ó w n o w a g i d u o p o l i s t a n i e p r o d u k u j e t o w a r u t o o z n a c z a ,
|e c e n a r y n k o w a j e s t t a k n i s k a , i | n i e p r z e k r a c z a j e g o
n a j n i |s z e g o k o s z t u k r a Dc o w e g o .
A d ( c ) W a r u n e k t e n p r z y j m u j e p o s t a
¶ð( y i p i ( y 1 +ð y 2 )
¶ðk i ( y i )
| ( y 1 , y 2 ) =ð( y 1 , y *ð ) =ð | y i i
*ð
2
¶ðy i ¶ðy i =ðy *ð
O z n a c z a t o , |e w p u n k c i e r ó w n o w a g i
k r a Dc o w y p r z y c h ó d = k r a Dc o w e m u k o s z t o w i
P r z y k Ba d n u m e r y c z n y
N i e c h
2
p 1 ( y 1 + y 2 ) = 1 6 ( y 1 + y 2 ) 2 , k 1 ( y 1 ) = y 1
p 2 ( y 1 + y 2 ) = 3 2 2 ( y 1 + y 2 ) 2 , k 2 ( y 2 ) = 2 y 2
2
W p r z y k Ba d z i e t y m c e n a p r o d u k t u i k o s z t w y t w a r z a n i a d r u g i e g o p r o d u c e n t a s d w a
r a z y w y |s z a n i | o d p o w i e d n i o c e n a i k o s z t p i e r w s z e g o p r o d u c e n t a
2 6
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
Z a u w a |m y , |e p i , k i s p e Bn i a j z a Bo |e n i a m o d e l u .
S t a Be w y m i e n i o n e w z a Bo |e n i a c h w y n o s z : a 1 = 1 6 , b 1 = 4 ; a 2 = 3 2 ,
b 2 = 4 . F u n k c j e p 1 , p 2 s a m a l e j c e o m a l e j c y c h p o c h o d n y c h .
F u n k c j e k o s z t ó w k 1 , k 2 s r o s n c e i i c h p o c h o d n e t a k |e .
D l a w y z n a c z e n i a p u n k t u r ó w n o w a g i s t o s u j e m y T w i e r d z e n i e 3 . 2 .
P o k a |e m y , |e t y m p r z y p a d k u w y s t a r c z y w y k o r z y s t a w a r u n e k
( c ) T w i e r d z e n i a .
2
Pð1 ( y 1 , y 2 ) =ð p 1 ( y 1 +ð y 2 ) y 1 -ð k 1 ( y 1 ) =ð 1 6 y 1 ( y 1 + y 2 ) 2 y 1 - y 1
Pð2 ( y 1 , y 2 ) =ð p 2 ( y 1 +ð y 2 ) y 2 -ð k 2 ( y 2 ) =ð 3 2 y 2 2 ( y 1 + y 2 ) 2 y 2 - 2 y 2
2
M a m y w i c
¶ðPð1
=ð 1 6 -ð 2 ( y 1 +ð y 2 ) y 1 -ð ( y 1 +ð y 2 ) 2 -ð 2 y 1 =ð 0 ,
¶ðy 1
¶ðPð2
=ð 3 2 -ð 4 ( y 1 +ð y 2 ) y 2 -ð 2 ( y 1 +ð y 2 ) 2 -ð 4 y 2 =ð 0 .
¶ðy 1
D z i e l c o b i e s t r o n y d r u g i e g o r ó w n a n i a p r z e z d w a m a m y u k Ba d :
( * ) 1 6 -ð 2 ( y 1 +ð y 2 ) y 1 -ð ( y 1 +ð y 2 ) 2 -ð 2 y 1 =ð 0 ,
1 6 -ð 2 ( y 1 +ð y 2 ) y 2 -ð ( y 1 +ð y 2 ) 2 -ð 2 y 2 =ð 0 .
D o d a j c r ó w n o [c i s t r o n a m i i p o d s t a w i a j c s = y 1 + y 2 o t r z y m u j e m y
3 2 4 s 2 2 s = 0 a w i c 2 s 2 + s 1 6 = 0 . R ó w n a n i e
k w a d r a t o w e r o z w i z u j e s i s t a n d a r d o w o . Dð =ð 1 +ð 4 ×ð1 6 ×ð 2 =ð 1 2 9
-ð 1 +ð 1 2 9
D o d a t n i p i e r w i a s t e k r ó w n a n i a w y n o s i s = »ð 2 . 5 8 9 4
4
P o d s t a w i a j c s d o r ó w n a n i a ( * ) Ba t w o w y z n a c z y y 1 . M a m y
w i c :
2 7
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
s 2 -ð 1 6
* * *
y 1 =ð »ð 1 . 2 9 4 7 . Z a t e m y 2 = s - y 1 = 2 . 5 8 9 4 1 . 2 9 4 7 »ð
-ð 2 s -ð 2
1 . 2 9 4 7 .
* *
P u n k t a m i r ó w n o w a g i s y 1 =ð y 2 =ð 1 . 2 9 4 7 . P r z y t a k i m w y b o r z e
w i e l k o [c i p r o d u k c j i o b a j p r o d u c e n c i s u s a t y s f a k c j o n o w a n i .
O l i g o p o l
Z o l i g o p o l e m m a m y d o c z y n i e n i a w t e d y g d y w i k s z a l i c z b a
p r o d u c e n t ó w o p a n o w a Ba r y n e k i n ( n ³ð 2 ) p r o d u c e n t ó w
p r o d u k u j e i d o s t a r c z a n a r y n e k p e w i e n t o w a r . Z a k Ba d a m y , |e
c e n a t o w a r u z a l e |y o d Bc z n e j i l o [c i t o w a r u d o s t a r c z o n e j n a
r y n e k p r z e z w s p o m n i a n y c h p r o d u c e n t ó w .
P o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o p r o d u c e n c i n i e m a j t r u d n o [c i z e
z b y t e m t o w a r u i z n a b y w a n i e m c z y n n i k ó w p r o d u k c j i . K o s z t
p r o d u k c j i p o s z c z e g ó l n y c h p r o d u c e n t ó w z a l e |y o d w i e l k o [c i
w Ba s n e j p r o d u k c j i .
Z a u w a |m y , |e m o d e l o l i g o p o l u j e s t p r o s t y m u o g ó l n i e n i e m
d u o p o l u . Z a t e m o p i s m o d e l u j e s t p o d o b n y . T y m r a z e m
i = 1 , 2 , . . . , n .
y i - i l o [ t o w a r u w y p r o d u k o w a n a p r z e z i - t e g o p r o d u c e n t a ,
i = 1 , 2 , . . . n
k i ( y i ) f u n k c j a k o s z t ó w p r o d u k c j i i - t e g o p r o d u c e n t a
p i ( y 1 + y 2 + + y n ) f u n k c j a o k r e [l a j c a c e n r y n k o w p r o d u k t u i -
t e g o p r o d u c e n t a . W y g o d n i e j e s t o z n a c z y
s = y 1 + y 2 + . . . . + y n j a k o Bc z n p r o d u k c j o l i g o p o l i s t ó w .
Pð ( s ) f u n k c j a w y r a |a j c a z y s k i - t g o p r o d u c e n t a ,
i
2 8
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
F u n k c j e k i ( y i ) , p i ( s ) s p e Bn i a j t a k i e z a Bo |e n i a j a k w d u o p o l u .
Z a u w a |m y , |e
Pð ( s ) = y i p ( s ) k i ( y i ) , i = 1 , 2 , , n
i
P y t a n i e o p u n k t r ó w n o w a g i p r z y b i e r a t e r a z f o r m : c z y i s t n i e j e
*ð *
t a k i w y b ó r w i e l k o [c i p r o d u k c j i ( y 1 , y *ð , . . . , y n ) |e
2
*ð * *
( 1 ) Pð ( y 1 , y *ð , . . . , y *ð ) = m a x Pð1 ( y 1 , y *ð , y 3 , . . . , y n )
1
2 n 2
y 1 ³ð0
*ð *ð * *
( 2 ) Pð ( y 1 , y *ð , . . . , y *ð ) = m a x Pð2 ( y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n )
2
2 n
y 2 ³ð0
*ð * *
( n ) Pð ( y 1 , y *ð , . . . , y *ð ) = m a x Pð1 ( y 1 , y *ð , y 3 , . . . , y n )
n
2 n 2
y n ³ð0
*ð
U k Ba d d e c y z j i ( y 1 , y *ð , . . . , y *ð ) s p e Bn i a j c a w a r u n k i ( 1 ) - ( n ) n a z y w a
2 n
*ð
s i r ó w n o w a g o l i g o p o l u . y 1 j e s t p o z i o m e m p r o d u k c j i
p i e r w s z e g o p r o d u c e n t a w s t a n i e r ó w n o w a g i , a y *ð j e s t
2
p o z i o m e m p r o d u k c j i d r u g i e g o i t d .
*ð
W j z y k u t e o r i i g i e r u k Ba d ( y 1 , y *ð , . . . , y *ð ) n a z y w a n a j e s t p u n k t e m
2 n
e k w i l i b r i u m N a s h a l u b p u n k t e m r ó w n o w a g i N a s h a .
T w i e r d z e n i e 3 . 3 . P r z y p r z y j t y c h z a Bo |e n i a c h o l i g o p o l p o s i a d a
p u n k t r ó w n o w a g i i j e s t t o p u n k t j e d y n y . ( p o r . r e f [ 5 ] )
2 9
W y k Ba d 1 2 . E k o n o m i a m a t e m a t y c z n a . R . R e m p a Ba . M a t e r i a By d y d a k t y c z n e
P y t a n i e j e s t t a k i e j a k w d u o p o l u : c z y m o |n a p o d a w a r u n k i
*ð *
k o n i e c z n e i d o s t a t e c z n e n a t o , a b y u k Ba d ( y 1 , y *ð , . . . , y n ) b y B
2
p u n k t e m r ó w n o w a g i o l i g o p o l u ?
O d p o w i e d z i j e s t n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
*ð *
T w i e r d z e n i e 3 . 3 N a t o , a b y u k Ba d ( y 1 , y *ð , . . . , y n ) b y B p u n k t e m
2
r ó w n o w a g i r o z w a |a n e g o m o d e l u o l i g o p o l u p o t r z e b a i
w y s t a r c z a , a b y d l a i = 1 , 2 , . . . , n
¶ðPði
( I ) | ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) =ð( y 1 , y *ð , . . . , y n ) =ð 0 j e [l i y *ð >ð 0 ,
*ð *
i
2
¶ðy i
*ð *
¢ð
( I I ) p i ( y 1 + y *ð + . . . + y n ) £ð k i ( 0 ) j e [l i y *ð =ð 0 .
2 i
E k o n o m i c z n a i n t e r p r e t a c j a w a r u n k ó w ( I ) ( I I ) j e s t d o k Ba d n i e t a k a j a k w
d u o p o l u .
w i c z e n i a . Z e s t a w 2
1 . C o t o j e s t o l i g o p o l ?
2 . C z y m r ó |n i s i d u o p o l o d o l i g o p o l u ?
3 . O k r e [l f u n k c j e k r a Dc o w y c h p r z y c h o d ó w p r o d u c e n t ó w
d u o p o l u w p r z y p a d k u g d y p 1 ( y 1 + y 2 ) = 9 - ( y 1 + y 2 - 2 ) 2 ,
p 2 ( y 1 + y 2 ) = 2 5 - ( y 1 + y 2 - 1 ) 2
4 . P r z y z a Bo |e n i u , |e p u n k t r ó w n o w a g i d u o p o l u m a o b i e w s p ó Br z d n e
2
d o d a t n i e , f u n k c j e k o s z t ó w p r o d u c e n t ó w s p o s t a c i k 1 ( y 1 ) = y 1 , k 2 ( y 2 ) =
y 2 , a f u n k c j e c e n t a k i e j a k w p u n k c i e 4 p o d a j r ó w n a n i a o k r e [l a j c e j
2
j e d n o z n a c z n i e r ó w n o w a g d u o p o l u .
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