Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
Wykład 4b-5
I. Model liniowy częściowej równowagi rynkowej
a) Opis modelu dla jednego dobra
Niech oznacza popyt na dobro, - podaż. Zakładamy, że obie
funkcje są liniowymi funkcjami ceny p:
= a-bp, a>0, b>0
= dp - c; c >0, d >0
Równowaga na rynku powstaje wtedy i tylko wtedy gdy popyt jest
równy podaży. Zatem poszukujemy takiej ceny, przy której realizuje
się ta równość.
a - bp = - c + dp
Rozwiązaniem (ceną równowagi) jest :
p* =
a a - bp dp - c
0 p* -cena równowagi p
-c
b) Model rynku z n dobrami
W ogólnym przypadku, w modelu liniowym uwzględniającym n
dóbr, zarówno popyt jak i podaż są funkcjami cen rynkowych
1
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
wszystkich dóbr. Ogólna równowaga rynkowa dotyczy każdego
dobra z osobna. Zatem w przypadku n=2 model jest opisany
następująco :
dla pierwszego dobra :
=a0+a1p1+a2p2
=b0+b1p1+b2p2
dla drugiego dobra:
= + p1+ p2
0 1 2
= + p1+ p2
0 1 2
gdzie współczynniki a0,a1,a2,b0,b1,b2 odnoszą się do popytu i podaży
, pierwszego dobra, natomiast , , , , , do
0 1 2 0 1 2
popytu i podaży ( , drugiego dobra.
Po uporządkowaniu równania równowagi maja postać :
(*) (a1 b1) p1+(a2  b2 )p2 =  (a0 b0)
(  ) p1+(  )p2=  (  )
1 1 2 2 0 0
Otrzymaliśmy układ 2 równań z dwiema niewiadomymi: p1, p2 .
Rozwiązaniem układu (*) są ceny równowagi.
Nie jest trudno zauważyć, jaką postać przybiera układ równań na ceny
równowagi w przypadku większej liczby dóbr. Ograniczymy się tym
razem do konkretnego równania na ceny równowago dla n=3.
Zadanie. Dla danego modelu rynku z 3 dobrami, równania
równowagi (*) przybierają postać:
-3p1+2p2 +p3=-8
p1- 4p2+2p3=-2
p1+p2-2p3 =-4
2
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
Wyznaczyć ceny równowagi metodą wyznacznikową Cramera.
(Dla ułatwienia podajemy odpowiedz
:p1= 18, p2=14, p3=18).
Wykład 5. Ciągi liczbowe i szeregi
(Literatura: R. Leitner, Zarys matematyki wyższej,WNT
Warszawa,1995)
I. Ciągi liczbowe
�� Przyjmujemy następujące oznaczenie dla zbioru liczb
naturalnych: ={1,2, & .,n,& }.
1.Definicja ciągu. Funkcję a: (odwzorowującą zbiór liczb
naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych) nazywamy ciągiem
liczbowym.
Wartość funkcji a(n) zwykło się oznaczać i nazywać n-tym
wyrazem ciągu. Sam ciąg zazwyczaj oznaczamy przez (
Przykłady ciągów:
Ciąg o wyrazach =2n, n=1,2,& , jest ciągiem kolejnych liczb
parzystych;
-------- ------- = a0+r n-1) , n=1,2,& , jest ciągiem
arytmetycznym, (a0 pierwszy wyraz,
r- różnica);
---------- ------ = a0 n=1,2,& , to ciąg geometryczny (a0
,
pierwszy wyraz, q- iloraz);
---------- ------ = n! n=1,2,& , to ciąg  n-silnia . Można go zapisać
rekurencyjnie: , a1=1;
---------- ------ =(-1)n n=1,2,& , to ciąg przyjmujący tylko dwie
wartości:-1 dla wskaz
nika n
nieparzystego oraz 1 dla n
parzystego.
3
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
2.Definicja monotoniczności ciągu. Mówimy, że ciąg jest
niemalejący (nierosnący) jeśli ( ), n
Jeśli nierówność jest ostra mówimy, że ciąg jest rosnący( malejący).
Przykład . Ciąg = n! n=1,2,& , jest rosnący.
3. Definicja ograniczoności ciągu. Ciąg nazywa się ograniczony
jeśli wszystkie wyrazy ciągu należą do pewnego ograniczonego
przedziału, tzn. istnieje takie M, że |an| , n=1,2,&
Przykład
Ciąg an = n/(n+1) jest ograniczony; | n/(n+1)|< 1 dla każdegon=1,2,&
Wygodne zdanie: prawie wszystkie wyrazy ciągu.
Powyższe powiedzenie oznacza: wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem,
co najwyżej skończenie wielu.
Przykład: ciąg: 4, 3, 2, 1, 1/2, 1/3, 1/4 ,& ,1/n,& ma prawie
wszystkie wyrazy mniejsze od 1.
II. Granica ciągu
Pojęcie granicy ciągu jest własnością nieskończonej liczby jego
wyrazów.
4.Definicja granicy. Mówimy, że ciąg (an) zbiega do granicy g
(innymi słowy granicą ciągu jest skończona liczba g), co zapisujemy
an przy n lub = g
jeśli dla dowolnej liczby istnieje taka liczba (delta), że
wszystkie wyrazy ciągu o wskaz
nikach n większych niż , różnia się
od g mniej niż (epsilon),
tzn.
4
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
Innymi słowy. Liczba g jest granicą ciągu jeśli, w dowolnym
otoczeniu g, znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
g- g+
Rys.1. Jeśli g jest granica to dla każdego prawie
wszystkie wyrazy ciągu wpadają do przedziału ( , g + ).
1. Twierdzenie (O ograniczoności ciągu zbieżnego)
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód. Popatrzmy na Rys.1. Tylko skończona liczba wyrazów ciągu
może być poza przedziałem ( , g + ). Rozważmy zbiór Z
wyrazów nie wchodzących do przedziału. Niech z1= min(ai
z2=max (ai
Niech M1= min(z1, M2= max(z2,g + .
Zatem |an| max(|M1|,|M2|)
Zadanie. Udowodnić na podstawie definicji granicy, że
= 0 (*)
Rozwiązanie. Występująca w definicji granicy nierówność ma postać
| = < ,
co jest równoważne nierówności n > . Zatem biorąc dla n >
prawdziwa jest nierówność (*).
Uwaga. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę
skończoną.
Pomoże Państwu poniższy rysunek: gdyby były 2 granice, to zgodnie
z definicją w otoczeniu każdej z nich byłyby prawie wszystkie
wyrazy ciągu, co jest niemożliwe bo otoczenia są rozłączne
5
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
g1 g2
Gdyby było wiele (więcej niż jeden) takich punktów , w otoczeniu
których znalazłoby się nieskończenie wiele wyrazów ciągu,
oznaczałoby to, że ciąg nie ma granicy.
5. Definicja ciągu rozbieżnego. Ciągiem rozbieżnym nazywamy taki
ciąg, który nie ma granicy skończonej.
Przykład. an= (-1)n jest ciągiem rozbieżnym.
�� Wśród ciągów rozbieżnych na uwagę zasługują ciągi rozbieżne
do nieskończoności
6. Definicja ciągów rozbieżnych do nieskończoności. Mówimy, że
ciąg (an) jest rozbieżny do ( albo, że (an) ma granicę
niewłaściwą ( i piszemy
( ) albo (
jeśli dla dowolnej liczby A istnieje taka liczba , że wszystkie wyrazy
ciągu o wskaz
nikach n większych od są większe (mniejsze) niż A.
tzn. - definicja rozbieżności do +
( - definicja rozbieżności do )
Uwaga
Jeżeli przez każdy przedział postaci: (A, + , A- dowolna liczba
będziemy rozumieli otoczenie + a przez przedział (
otoczenie , to posługując się tymi nazwami możemy mówić, że
�� jeśli w każdym otoczeniu plus
nieskończoności znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu(an).
6
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
�� jeśli w każdym otoczeniu minus
nieskończoności znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu(an).
Przykład. Rozważmy ciąg (qn). zauważmy, że
a) jeśli q>1, to ,
b) jeśli q=1, to
c) jeśli q<1, to
d) jeśli q<1 to
II. Działania na ciągach i granicach
Liczenie granic ciągów w oparciu o definicję jest mało
wygodne i wymaga znajomości granicy. W praktyce
posługujemy się poniższym twierdzeniem.
II 1. Rachunek granic.
2.Twierdzenie (Rachunek skończonych granic)
Jeżeli ciągi (an), (bn) są zbieżne, to ciągi (an+ bn), (an- bn),
(an bn) też są zbieżne i zachodzą równości:
lim(an+ bn)= liman+limbn,
lim(an bn)= liman limbn,
lim(an bn)= liman limbn,
Jeżeli ciągi (an), (bn) są zbieżne i jeżeli dla każdego n, bn
i limbn to ciąg (an/bn) jest zbieżny i spełniona jest równość
lim =
Przykład. lim
7
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
II 2.Warunki zbieżności
3. Twierdzenie o 3 ciągach.
Jeżeli ciągi (an), (bn) są zbieżne do wspólnej granicy i jeśli
wyrazy trzeciego ciągu (cn) są zawarte między odpowiednimi
wyrazami tamtych ciągów
an cn
n
to ciąg (cn ) zbiega do tej samej granicy co ciągi (an) i (bn)
Przykład. Pokażemy, że lim =0
Skorzystamy z nierówności
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach lim =0.
4. Twierdzenie o ciągu monotonicznym.
a)Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
b) Każdy ciąg monotoniczny i nieograniczony jest rozbieżny
do + lub do
Przykład. Ciąg arytmetyczny: an= a0+(n-1) r , n =1,2,& jest
- rosnący dla r > 0, zatem zbieżny do ;
- malejacy dla r < 0, zatem zbieżny do
II 3. Podciągi
Rozważmy ciąg (an) oraz ciąg rosnących wskaz
ników
n1, n2, n3, &
8
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg =
, ,
Przykład podciągu: , ,
5. Twierdzenie o podciągach
- Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny do granicy g, to każdy podciąg
tego ciagu jest zbieżny do g.
- Jeżeli ciąg (an) jest rozbieżny do ( to każdy
podciąg jest rozbieżny do (
Przykłady ciągów i ich granice
1. Można udowodnić (dowód pomijamy), że ciąg
an = (1+1/n)n jest rosnący i ograniczony, zatem zbieżny.
Występującą w matematyce liczbę  e określamy wzorem
e = lim((1+1/n)n
2. Można wykazać, że ciąg an = (1+x/n)n, x jest także
zbieżny i występująca w matematyce funkcja jest
określona wzorem
= lim(1+ )n
3. Ciąg an = , c>0 jest zbieżny, lim
4. Ciąg an = jest zbieżny, lim
9
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
6. Sumowanie wyrazów ciągu
Rozważmy ciąg (an).
6. Definicja. Przez n-tą sumę wyrazów ciągu rozumiemy
inny zapis
W dalszym toku wykładu będziemy posługiwali się także
drugim zapisem.
Przykłady.
- ciąg arytmetyczny o różnicy r : = a0+r i-1), i=1,2,&
=
- ciąg geometryczny o ilorazie q : , i=1,2,&
=
7. Definicja szeregu. Jeśli jest dany ciąg (an),
to ciąg jego sum o wyrazach
,
,
,
& & & & & & & .& & .
,
& & & & & & & & & & & & & .& ..
nazywamy szeregiem o wyrazach an i oznaczamy
+& & .. lub (*)
10
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 4b-5. R. Rempała
Sumy , n =1,2,3,& nazywamy sumami częściowymi
szeregu (*).
Definicja. Mówimy, że szereg (*) jest zbieżny jeśli ciąg sum
częściowych jest zbieżny.
Mówimy, że szereg jest rozbieżny (tzn. ma granicę
niewłaściwą lub nie ma granicy) jeśli szereg
sum częściowych jest rozbieżny.
Definicja sumy szeregu. Jeżeli ciąg sum częściowych jest
zbieżny i to liczbę s nazywamy sumą szeregu
i piszemy
+& =s lub = s
Przykłady. Przypominamy, że dla ciągu geometrycznego
sn= (por. Przykłady n-tych sum). Mamy więc
dla
|q|<1.
Szeregiem harmonicznym rzędy r nazywamy szereg postaci .
1+ =
Dowodzi się (dowód pomijamy), że szereg harmoniczny rzędu
r =1 jest rozbieżny, natomiast szeregi harmoniczne rzędu r >1
są zbieżne.
11