Matematyka
Mieczysław Kula
Wyższa Szkoła
Bankowości i Finansów
w Katowicach
Wykład 3
Druga pochodna
Def. PochodnÄ… pochodnej funkcji f (x) nazywamy drugÄ… pochodnÄ… funkcji i
oznaczamy f2 2 (x).
Warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum
Niech f (x) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym
otoczeniu punktu x0 i niech f2 (x0) = 0.
Jeżeli f2 2 (x0) > 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x0 minimum lokalne; jeżeli
natomiast f2 2 (x0) < 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne.
Wypukłość funkcji
Definicja
Funkcję f (x) określoną w przedziale [a, b] nazywamy
wypukłą | wklęsłą
jeśli nierówność
f (sx1 + tx2) sf (x1) + tf (x2) | f (sx1 + tx2) sf (x1) + tf (x2)
zachodzi dla wszystkich wartości s, t"[0, 1], s + t = 1 i dla wszystkich
punktów x1, x2"[a, b].
Punkt na wykresie funkcji, w którym zachodzi zmiana jej wypukłości
nazywamy punktem przegięcia funkcji.
Wypukłość funkcji
Tw. 1. Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest dodatnia w każdym punkcie
przedziału (a, b), to krzywa o równaniu y = f (x) jest w tym przedziale
wypukła.
Tw. 2. Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) jest ujemna w każdym punkcie
przedziału (a, b), to krzywa o równaniu y = f (x) jest w tym przedziale
wklęsła.
Tw. 3. Jeżeli druga pochodna funkcji f (x) ma wartość zero w punkcie x0 i
w otoczeniu punktu x0 zmienia znak, to punkt P0(x0, f (x0)) jest punktem
przegięcia krzywej o równaniu y = f (x).
Badanie funkcji (pełne)
1
Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
2
Obliczyć pochodną.
3
Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
4
Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.
5
Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.
6
Obliczyć drugą pochodną.
7
Wyznaczyć miejsca zerowe drugiej pochodnej.
8
Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.
9
Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.
10
Wyznaczyć asymptoty funkcji.
Na podstawie wyników powyższych obliczeń można naszkicować wykres
funkcji.
Badanie funkcji - przykład
Zbadać monotoniczność, ekstrema lokalne, wypukłość i asymptoty funkcji
x2
f (x) =
x-1
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
x"Df Ð!Ò! x-1 = 0 Ð!Ò! x = 1
Df = (-", 1)*"(1,") = R\{1}.
Badanie funkcji - przykład
6. Obliczyć drugą pochodną.
x2-2x
f2 (x) =
(x-1)2
(2x-2)(x-1)2-(x2-2x)2(x-1)
f2 2 (x) = =
(x-1)4
[(2x-2)(x-1)-2(x2-2x)](x-1)
=
(x-1)4
2x2-2x-2x + 2-2x2 + 4x 2
=
(x-1)3 (x-1)3
Badanie funkcji - przykład
2
f2 2 (x) =
(x-1)3
7. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
Brak miejsc zerowych.
8. Wyznaczyć przedziały, w których druga pochodna ma stały znak.
2
f2 2 (x) > 0 Ð!Ò! > 0 Ð!Ò!
(x-1)3
Ð!Ò! x-1 > 0 Ð!Ò! x > 1
Podobnie f2 2 (x) < 0 dla x < 1.
Badanie funkcji - przykład
Zatem, druga pochodna jest ujemna w przedziale (-", 1).
Druga pochodna jest dodatnia w przedziale (1, ").
9. Określić wypukłość i punkty przegięcia funkcji.
Funkcja jest wypukła w przedziale (-", 1).
Funkcja jest wklęsła w przedziale (1, ").
Badanie funkcji - przykład
x2
10. Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = .
x - 1
Wyznaczamy asymptotę ukośną.
1 1 x2 x 1
a = lim f (x) = lim · = lim = lim = 1.
1
x" x" - 1 x
x" - 1
x"
x x x
1 -
x

x2
b = lim [f (x) - ax] = lim - x =
x" x" - 1
x

x2 - x2 + x
lim = 1.
x" - 1
x
Stąd wynika, że funkcja ma asymptotę ukośną o równaniu y = x + 1.
x2
Funkcja ma asymptotę pionową o równaniu x = 1, bo lim = ".
x1+ x - 1
Elastyczność funkcji
Przykład : Funkcja popytu na pewne dobro w zależności od ceny wyraża się
wzorem
q(p) = 8000 - 300p - 3p2.
1
Jaka jest wielkość popytu gdy cena p = 10 zł ?
2
O ile zmieni się popyt gdy cena wzrośnie o 0,3 zł?
3
Obliczyć względny przyrost ceny i względną zmianę popytu.
4
Jak zmieni siÄ™ popyt przy zmianie ceny o 1 %?
Elastyczność funkcji
Odp.:
1 Wielkość popytu wynosi
q(10) = 8000 - 300 · 10 - 3 · 102 = 4700.
2 Wielkość popytu przy zwiększonej cenie wynosi
q(10, 3) = 8000 - 300 · 10, 3 - 3 · 10, 32 = 4591, 73.
Zmiana popytu wynosi
"q(10) = q(10, 3) - q(10) = -108, 27.
Elastyczność funkcji
3 Względny przyrost ceny wynosi:
"p 0, 30
= · 100% = 3%.
p 10
Względna zmiana popytu
"q(10) -108, 27
= · 100% = -2, 3%.
q(10) 4700
4 Wzrost ceny o 1 % powoduje zmianÄ™ popytu o -2,3/3 = -0,77 %
(znak minus oznacza spadek).
Elastyczność funkcji
Def. Dana jest funkcja f (x) określona dla x > 0, przyjmująca tylko wartości
dodatnie i różniczkowalna w obszarze istnienia, oraz h - przyrost argumentu
x. Iloraz
f (x + h) - f (x)
f (x)
h
nazywamy względnym przyrostem funkcji w punkcie x , natomiast iloraz
x
względnym przyrostem argumentu x.
Elastyczność funkcji
GranicÄ™

f (x + h) - f (x) h
Ef (x) = lim =
h0 f (x) x
x f (x + h) - f (x) x
2
lim = f (x)
h0 f (x) h f (x)
stosunku przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego
argumentu, gdy h 0 nazywamy elastycznością funkcji f (x) w punkcie x.
Elastyczność Ef (x0) funkcji f (x) określa procentową zmianę wartości
funkcji w punkcie x0, jeśli argument funkcji wzrośnie o 1%.
Elastyczność funkcji
Def. Jeżeli q(p) oznacza funkcję popytu w zależności od ceny, to jej
elastyczność nazywamy elastycznością cenową popytu.
Przykład (ciąg dalszy) Elastyczność cenowa powyższej funkcji popytu dla
p = 10 wynosi
10 10 · (-60)
Eq(10) = q2 (10) = = -0, 766
q(10) 4700
.
To oznacza, że przy cenie p = 10 wzrost ceny o jeden procent spowoduje
spadek popytu o 0,77%.
Elastyczność funkcji
GranicÄ™

f (x + h)-f (x) h
Ef (x) = lim =
h0 f (x) x
x f (x + h)-f (x) x
lim = f2 (x)
h0 f (x) h f (x)
stosunku przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego
argumentu, gdy h0 nazywamy elastycznością funkcji f (x) w punkcie x.
Elastyczność Ef (x0) funkcji f (x) określa procentową zmianę wartości
funkcji w punkcie x0, jeśli argument funkcji wzrośnie o 1%.
Reguła de l Hospitala
Załóżmy, że funkcje
f (x) f2 (x)
,
g(x) g2 (x)
są określone w otoczeniu punktu x0 i
lim f (x) = lim g(x) = 0 lub lim f (x) =Ä…"i lim g(x) =Ä…".
xx0 xx0 xx0 xx0
f2 (x) f (x)
Jeżeli istnieje granica lim , to istnieje także granica lim i
xx0 xx0
g2 (x) g(x)
granice te są równe, tzn.
f (x) f2 (x)
lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g2 (x)
Reguła de l Hospitala - przykład
ln x
0
Zauważmy, że wyrażenie lim jest symbolem nieoznaczonym typu .
0
x1 x-1
Stosując regułę de l Hospitala mamy
1
ln x (ln x)2
x
lim = lim = lim = 1
x1 x-1 x1 (x-1)2 1
x1
Reguła de l Hospitala
Regułę de l Hospitala można stosować również gdy xą".
Jeżeli granica ilorazu pochodnych jest również wyrażeniem
nieoznaczonym, to można próbować, stosować ponownie regułę de
l Hospitala.
Przykład:
6x2 + 3x-4 (6x2 + 3x-4)2 12x + 3
lim = lim = lim =
x" x" x"
3x2-11 (3x2-11)2 6x
(12x + 3)2 12
= lim = lim = 2
x" x"
(6x)2 6
Reguła de l Hospitala
Jeżeli lim f (x)g(x) jest wyrażeniem nieoznaczonym typu 0·(Ä…"),
xx0
wartość tego wyrażenia można próbować obliczyć stosując regułę de
l Hospitala do wyrażenia
f (x) 0
lim typu .
xx0 1
0
g(x)
Jeżeli lim f (x)-g(x) jest wyrażeniem nieoznaczonym typu"-",
xx0
to można próbować zastosować regułę de l Hospitala do wyrażenia
1 1
-
0
g(x) f (x)
lim typu
xx0 1
0
f (x)g(x)
Funkcje wielu zmiennych
Oznaczmy Rn = R×R×···×R. Niech DÄ…"Rn. JeÅ›li każdemu

n
elementowi (x1, x2, . . . , xn)"D przyporządkujemy dokładnie jeden element
z należący do R, to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru D
w zbiór R. Odwzorowanie takie nazywamy funkcją n-zmiennych.
(Zapis F (x1, x2, . . . , xn) = z"R.)
Funkcje wielu zmiennych - przykłady
Obrazem geometrycznym (wykresem) funkcji F (x, y) określonej
wzorem F (x, y) = ax + by + c , gdzie a, b, c"R jest płaszczyzna.
Obrazem geometrycznym (wykresem) funkcji

F (x, y) = r2-x2-y2
jest powierzchnia półkuli o promieniu r i środku w początku układu
współrzędnych.
Funkcje wielu zmiennych
Funkcja liniowa f (x1, . . . , xn) = a1x1 +···+ anxn + b
Dziedzina: Df = Rn Przeciwdziedzina: Vf = R.
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa:
F (x, y) = xayb,
gdzie a, b sÄ… ustalonymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i a + b = 1
DF = [0,")×[0,") Przeciwdziedzina: Vf = [0,").
Funkcje wielu zmiennych
Warstwicą (poziomicą) powierzchni o równaniu z = F (x, y),
nazywamy rzut na płaszczyznę Oxy linii, wzdłuż której płaszczyzna
z = c (c jest pewną stałą) przecina tę powierzchnię.
Uwaga
Jeżeli z = F (K , L) jest funkcją produkcji, która wyraża zależność poziomu
wyników od poniesionych nakładów (np. kapitał i praca), to poziomicę
takiej funkcji nazywamy izokwantą. Każdy punkt leżący na ustalonej
izokwancie jest zestawem nakładów prowadzącym do tego samego poziomu
wyników.
Pochodne czÄ…stkowe
Jeżeli obliczymy pochodną funkcji F (x1, x2, . . . , xn) względem
zmiennej xi przyjmując, że pozostałe zmienne mają ustalone wartości,
to otrzymanÄ… funkcjÄ™ nazywamy pochodnÄ… czÄ…stkowÄ… funkcji
F (x1, x2, . . . , xn) względem zmiennej xi.
"F (x1, x2, . . . , xn)
(Oznaczenia Fx2 (x1, x2, . . . , xn) = , dla
i
"xi
i = 1, 2, . . . , n)
(Stosujemy również oznaczenia:
"F (x, y) "F (x, y)
Fx2 (x, y) = , Fy2 (x, y) = )
"x "y
Pochodne cząstkowe - przykład
Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
F (x, y) = x3 + 2xy2 + y2 + 2x-5y + 1.
"F (x, y)
Fx2 (x, y) = = (x3 + 2xy2 + y2 + 2x-5y + 1)2 =
x
"x
= 3x2 + 2y2 + 0 + 2-0 + 0 = 3x2 + 2y2 + 2.
"F (x, y)
Fy2 (x, y) = = (x3 + 2xy2 + y2 + 2x-5y + 1)2 =
y
"y
= 0 + 2x·(2y) + 2y + 0-5 + 0 = 4xy + 2y-5.
Pochodne czÄ…stkowe
Dla funkcji produkcji F (K , L) pochodne czÄ…stkowe
"F (K , L) "F (K, L)
"K "L
nazywamy krańcową produkcyjnością kapitału i krańcową wydajnością
pracy.
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
"F (x1, x2, . . . , xn)
Pochodne czÄ…stkowe Fx2 (x1, x2, . . . , xn) = , dla
i
"xi
i = 1, 2, . . . , n nazywamy pochodnymi pierwszego rzędu.
Pochodne cząstkowe pochodnych pierwszego rzędu nazywamy
pochodnymi drugiego rzędu.
"2F (x1, x2, . . . , xn)
oznacza pochodną cząstkową względem zmiennej
"xi"xj
xj funkcji, która jest pochodną cząstkową funkcji F (x1, x2, . . . , xn)
względem zmiennej xi.
Podobnie obliczamy pochodne wyższych rzędów.
Funkcja n zmiennych ma:
n pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu,
n2 pochodnych cząstkowych drugiego rzędu,
n3 pochodnych cząstkowych trzeciego rzędu, itd.
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Definicja
Otoczeniem punktu P(x0, y0) o promieniu ´ na pÅ‚aszczyz
nie nazywamy
wnÄ™trze koÅ‚a K(x0, y0, ´) o Å›rodku w punkcie P i promieniu ´.
Definicja
Mówimy, że funkcja F (x, y) ma w punkcie P(x0, y0)
maksimum lokalne minimum lokalne,
jeżeli istnieje takie otoczenie K(x0, y0, ´) punktu P , że
dla każdego (x, y)"K(x0, y0, ´) zachodzi nierówność
F (x, y) F (x0, y0). F (x, y) F (x0, y0).
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Warunek konieczny istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja F (x, y) ma w punkcie P(x0, y0) ekstremum lokalne i ma w
tym punkcie pochodne cząstkowe I rzędu, to
"F (x, y) "F (x, y)
(x0, y0) = 0 , (x0, y0) = 0.
"x "y
Warunki istnienia ekstremum
Warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja F (x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu P(x0, y0) ciągłe
pochodne cząstkowe drugiego rzędu, przy czym
Fx2 (x0, y0) = 0 i Fy2 (x0, y0) = 0,
oraz

2 2 2 2
Fxx(x0, y0) Fxy (x0, y0)
W (x0, y0) = det > 0,
2 2 2 2
Fyx(x0, y0) Fyy (x0, y0)
to funkcja F (x, y) ma w punkcie P(x0, y0) ekstremum lokalne.
2 2
Jeżeli Fxx(x0, y0) < 0 to funkcja ma maksimum lokalne, a gdy
2 2
Fxx(x0, y0) > 0, to funkcja ma minimum lokalne.
Warunki istnienia ekstremum - uwagi
Jeżeli W (x0, y0) < 0, to funkcja nie ma ekstremum lokalnego w
punkcie P(x0, y0).
Jeżeli W (x0, y0) = 0, to twierdzenie nie rozstrzyga istnienia
ekstremum lokalnego w punkcie P(x0, y0).
Jeśli funkcja jest wystarczająco regularna w otoczeniu P(x0, y0), to
2 2 2 2
Fxy (x0, y0) = Fyx(x0, y0).
Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych:
F (x, y) = x3 + 3xy2-15x-12y + 7.
1. Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
Fx2 (x, y) = 3x2 + 3y2-15 oraz Fy2 (x, y) = 6xy-12
2. Wyznaczamy wspólne miejsca zerowe pochodnych cząstkowych.

Fx2 (x, y) = 0
Fy2 (x, y) = 0
lub równoważnie

3x2 + 3y2 = 15
6xy = 12
Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład

3x2 + 3y2 = 15
6xy = 12
Odejmujemy stronami i dzielimy przez 3:
3x2-6xy + 3y2 = 3
x2-2xy + y2 = 1
Stosujemy wzór skróconego mnożenia
(x-y)2 = 1
StÄ…d otrzymujemy:
x-y = 1 lub x-y =-1.
Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład
x = y + 1 lub x = y-1.
Podstawiamy do równania 6xy = 12 i dzielimy przez 6:
(y + 1)y = 2 lub (y-1)y = 2.
Otrzymujemy równania kwadratowe:
y2 + y-2 = 0 lub y2-y-2 = 0.
Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład
y2 + y-2 = 0 lub y2-y-2 = 0.
Wyznaczamy pierwiastki:
y1 =-2 y2 = 1 lub y3 =-1 y4 = 2.
StÄ…d wyliczamy
x1 =-1 x2 = 2 lub x3 =-2 x4 = 1.
Pochodne czÄ…stkowe zerujÄ… siÄ™ w czterech punktach:
(-1,-2) , (2, 1) , (-2,-1) , (1, 2)
Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład
Fx2 (x, y) = 3x2 + 3y2-15 oraz Fy2 (x, y) = 6xy-12
Obliczamy drugie pochodne czÄ…stkowe:
2 2 2 2
Fxx(x, y) = 6x Fxy (x, y) = 6y
2 2 2 2
Fyx(x, y) = 6y Fyy (x, y) = 6x
i wyznacznik


2 2 2 2
Fxx(x, y) Fxy (x, y)

W (x, y) =

2 2 2 2

Fyx(x, y) Fyy (x, y)


6x 6y

= = 36x2-36y2 = 36(x2-y2).


6y 6x
Ekstrema lokalne funkcji 2 zmiennych - przykład
W (x, y) = 36(x2-y2).
Ponieważ W (1, 2) =-108 < 0 oraz W (-1,-2) =-108 < 0 więc
funkcja F (x, y) nie ma ekstremów lokalnych w punktach (1, 2) i
(-1,-2).
Ponieważ W (2, 1) = 108 > 0 oraz W (-2,-1) = 108 > 0 więc
funkcja F (x, y) ma ekstrema lokalne w punktach (2, 1) i (-2,-1).
Ponieważ Fxx(2, 1) = 12 > 0 więc funkcja F (x, y) ma minimum
lokalne w punkcie (2, 1).
Ponieważ Fxx(-2,-1) =-12 < 0 więc funkcja F (x, y) ma
maksimum lokalne w punkcie (-2,-1).
Rachunek całkowy
Całka nieoznaczona
Dana jest funkcja f (x). Funkcję F (x) taką, że F2 (x) = f (x)
nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f (x).
Poszukiwanie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem.
Jest to operacja odwrotna do różniczkowania.
Przykład:
Funkcją pierwotną funkcji f (x) = 2x + 3 jest każda z funkcji:
F (x) = x2 + 3x,
F (x) = x2 + 3x + 1,
F (x) = x2 + 3x + Ä„ itp.
Całka nieoznaczona
Jeśli F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to każda funkcja postaci
F (x) + C, gdzie C jest dowolną stałą jest również funkcją pierwotną
f (x).
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f (x) nazywamy
całką nieoznaczoną i oznaczamy

f (x)dx = F (x) + C .
Parametr C nazywamy stałą całkowania.
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji

1
0dx = C

2
dx = x + C

1
3
xadx = xa+1 + C (a =-1)
a + 1

4
x-1dx = ln|x|+ C

5
exdx = ex + C

ax
6
axdx = + C
ln a
Podstawowe wzory rachunku całkowego

1 F2 (x)dx = F (x) + C
2

2 f (x)dx = f (x)

3 (af (x)Ä…bg(x)) dx = a f (x)dxÄ…b g(x)dx
Podstawowe wzory rachunku całkowego
4 Całkowanie przez podstawianie x = g(t)
Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna, a funkcja g(x) ma ciągłą
pochodnÄ…, to

f (x)dx = f (g(t))g2 (t)dt
5 Całkowanie przez części

f (x)g2 (x)dx = f (x)g(x)- f2 (x)g(x)dx

f2 (x)
6 dx = ln|f (x)|+ C
f (x)
Przykład 1
" "3

4x x + 2 x + 2x-1
dx =
x
" "3

4x x 2 x 2x 1
+ + - dx =
x x x x


"
2 1
"3
4 x + + 2- dx =
x2 x

"
1 1
4 xdx + 2 "3 dx + 2 dx- dx =
x
x2
Przykład 1

"
1 1
4 xdx + 2 "3 dx + 2 dx- dx =
x
x2

1 2 1
2 3
4 x dx + 2 x- dx + 2 dx- dx =
x
3 1
2 3
x x
4 + 2 + 2x-ln|x|+ C =
3 1
2 3
"3
8"
x3 + 6 x + 2x-ln|x|+ C
3
Przykład 2 (Całkowanie przez części)

ln x dx = 1 ln x dx = f2 (x)g(x)dx =

1
f (x)g(x)- f (x)g2 (x)dx = x ln x- x dx =
x

x ln x- dx = x ln x-x + C = x(ln x-1) + C
Przyjmujemy
f (x) = x f2 (x) = 1
1
g(x) = ln x g2 (x) =
x
Przykład 3 (Całkowanie przez podstawianie)

5
" dx
3x-2
Stosujemy podstawienie: z = 3x-2.
Wtedy dz = (3x-2)2 dx = 3dx
StÄ…d,

5dx 5 3dx 5 dz 5 1
2
" = " = " = z- dz =
3 3 z 3
3x-2 3x-2

"
5 1 1 10 10"
2
= z- +1 + C = z + C = 3x-2 + C
3 -1 + 1
3 3
2
Całka oznaczona
Całka oznaczona w odróżnieniu od całki nieoznaczonej jest pewną
liczbÄ… przyporzÄ…dkowanÄ… danej funkcji.
W przypadku funkcji dodatniej całka oznaczona oznacza pole
powierzchni zawartej między wykresem funkcji i osią Ox.
Obliczmy przybliżoną wartość pola pod wykresem funkcji:
Całka oznaczona


a = x0 c1 x1 c2 x2 xi-1ci xi xn-1cn xn = b
Całka oznaczona


a = x0 c1 x1 c2 x2 xi-1ci xi xn-1cn xn = b
Dzielimy przedział [a, b] na n części punktami:
a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
Pole i-tego prostokąta jest równe f (ci)(xi-xi-1).
Całka oznaczona


a = x0 c1 x1 c2 x2 xi-1ci xi xn-1cn xn = b
n
Przybliżona wartość pola jest równa Sn = f (ci)(xi-xi-1) =
i=1
= f (c1)(x1-x0) + f (c2)(x2-x1) +···+ f (cn)(xn-xn-1).
Wyrażenie to nazywamy sumą całkową Riemanna.
Całka oznaczona


a = x0 c1 x1 c2 x2 xi-1ci xi xn-1cn xn = b
n
Przybliżona wartość pola jest równa Sn = f (ci)(xi-xi-1) =
i=1
= f (c1)(x1-x0) + f (c2)(x2-x1) +···+ f (cn)(xn-xn-1).
Dokładność przybliżenia wzrasta gdy długości przedziałów częściowych
dążą do zera.
Całka oznaczona - definicja
Ciąg podziałów przedziału [a, b] nazywamy normalnym, jeśli odległości
między sąsiednimi punktami podziału w kolejnych podziałach dążą do
zera.
Jeśli ciąg sum całkowych (Sn) jest zbieżny do tej samej granicy
właściwej S przy każdym normalnym ciągu podziałów niezależnie od
wyboru punktów pośrednich ci, to funkcję f nazywamy całkowalną w
przedziale [a, b], a liczbę S nazywamy całką oznaczoną (całką
Riemanna) funkcji f w granicach od a do b i oznaczamy

b
f (x)dx.
a
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Wzór Newtona-Leibniza
Jeśli F (x) oznacza funkcję pierwotną funkcji f (x)
określonej i ciągłej w przedziale [a, b], to

b
f (x)dx = F (b)-F (a).
a
Własności całki oznaczonej
Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale [a, b], to
funkcja pierwotna funkcji f (x) jest równa

x
F (x) = f (t)dt
x0
dla x"[a, b]

b a
f (x)dx =- f (x)dx
a b

b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx,
a a c
dla c"[a, b]
Przykład 1
Obliczyć pole pod wykresem funkcji f (x) = 1-x2
1

-1 1

1

1
1 1 1
(1-x2)dx = x- x3 = (1- )-(-1- ·(-1)3) =
3 3 3
-1
-1
1 1 4
1- + 1- = .
3 3 3
Przykład 2
Intensywność dostaw zboża do elewatora wyraża funkcja
f (t) =-0, 01t2 + t + 200
(f (t) -ilość zboża dostarczona w dniu o numerze t).
Obliczyć całkowitą ilość zboża w elewatorze w 100-nym dniu skupu.

100
(-0, 01t2 + t + 200)dt =
0
100
0, 01 1
- t3 + t2 + 200t = 21666, 67
3 2
0