Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
Wykład 7. Różniczkowanie funkcji jednej zmiennej
Literatura: R. Leitner, Zarys matematyki wyższej, WNT Warszawa,1995; 2) J. Kłopotowski i inni,
Analiza matematyczna. Podręcznik dla ekonomistów, 2010)
I. Definicja pochodnej
Niech funkcja f będzie określona w otwartym przedziale X
Rozważmy punkt x należący do tego przedziału. Dowolną taką
liczbę h (dodatnią lub ujemną) , że
(x+h)
nazywamy przyrostem argumentu w punkcie x, zaś różnicę
f(x+h) f(x)
nazywamy odpowiednim przyrostem funkcji f .
�� Często te przyrosty są oznaczane odpowiednio h= x,
f = f(x+ x) f(x).
�� Zauważmy, że w przyrosty mogą
przyjmować wartości dodatnie , ujemne lub zero.
Definicja 1. Pochodna funkcji f w punkcie x
Następującą granicę ilorazu przyrostów
( przy innych oznaczeniach )
nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x i oznaczamy lub
granica istnieje i jest skończona.
Interpretacja geometryczna pochodnej.
f(x0)
x0 x
Rys.1. , to nachylenie siecznej do osi x, tg( = ; , to nachylenie stycznej do osi x,
tg( ) = . Równanie prostej stycznej: y = f (x0)(x-x0) + f(x0).
1
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
Definicja 2. Przypominamy X oznacza otwarty przedział.
Mówimy, że funkcja f:X jest różniczkowalna w punkcie x X
jeśli ma pochodną w tym punkcie. Mówimy, ze f jest różniczkowalna
w przedziale X jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego
przedziału.
Przykłady funkcji różniczkowalnych
1a) Pochodna funkcji stałej jest równa 0. Jeśli f jest stała, to dla
każdego x, f(x)=c, c=const, zatem
= = 0.
1b) Pochodna funkcji f(x)= x jest równa 1, ponieważ
= =
1c) Pochodna funkcji f(x)= x2= 2x, mamy bowiem
= = =
= =
II 2. Wyznaczanie pochodnych jednostronnych,
Granicę ilorazu
( )
nazywamy pochodna prawostronną (lewostronną) funkcji f w punkcie
x i oznaczamy ( o ile granica ilorazu istnieje i jest
skończona.
Przykład. 2.f(x)= |x|= x
zauważmy, że = (por. Przykład1.b).
Podobnie , można pokazać, że =
2
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
Policzmy pochodna jednostronne w punkcie x=0. Mamy
,
Iloraz różnicowy przyrostów ma granice zależne od wyboru ciągów
hn co oznacza, że granica ilorazów przyrostów w x=0 nie
istnieje.
f(x)=|x|
x
Rys.2 Wykres funkcji f(x)=|x|
Uwaga. Zauważmy, że funkcje jest różniczkowalna jeśli skończone
obie pochodne jednostronne są sobie równe.
Twierdzenie1.(Ciągłość i różniczkowalność)
Funkcja różniczkowalna w punkcie x jest ciągła w tym punkcie.
Dowód . Z różniczkowalności w punkcie x wynika, że
=f (x), zatem
= = f (x) 0 = 0
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Kontrprzykład: funkcja |x| . Jest ona ciągła w każdym punkcie
dziedziny ale nie jest różniczkowalna w punkcie x= 0 ( por. Przykład
i Rys 2.)
3
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
Przy różniczkowaniu dobrze jest znać pochodne często występujących
funkcji elementarnych. Podajemy niektóre z nich.
II 3. Pochodne wybranych funkcji elementarnych
Funkcja Pochodna
a) stała (const.) = 0
b) potęgowa (xr) = rxr-1, r liczba rzeczywista, x > 0
c) potęgowej (xn) = nxn-1, n-liczba naturalna
d) wykładniczej (ex) = ex
e) logarytmiczna (logax)
f) sinus (sin x) =cos x,
g) cosinus (cos x) = sin x.
II 4. Działania na funkcjach i pochodnych
Twierdzenie 2 (Działania na pochodnych)
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne punkcie x, to ich suma, różnica i
iloczyn są różniczkowalne w punkcie x i zachodzą związki
a) (f(x)+g(x)) = f (x) g (x)
b) (f(x) g(x) = f (x) g (x)
c) (f(x) g(x) f (x) g(x) f(x)g (x)
Jeśli dodatkowo funkcja g(x) , to iloraz f(x)/g(x) jest
różniczkowalny w punkcie x i zachodzi związek
d) (f(x)/g(x)) =
e) (a f(x)) =a f (x) dla dowolnej stałej liczby a.
4
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
Pochodna superpozycji
Niech u = g(x) będzie funkcją odwzorowującą przedział (a,b) w
dziedzinę funkcji y = f(u). Niech F(x) oznacza superpozycję (funkcję
złożoną) y=F(x)= f(g(x)).
�� Jeżeli funkcja g ma w punkcie x (a,b) pochodną g i funkcja
f ma w odpowiednim punkcie u = g(x) pochodną f to
pochodna funkcji złożonej F (x)= (f(g(x)) = f (u)|u=g(x) g (x).
Przykład. 3 (ln sin(x)) = (lnu)|u=sin(x) cos(x)=
Pochodna funkcji odwrotnej
Niech f i g będą ściśle monotoniczne,
f: (a,b)
i takie, że g = (g jest odwrotna do f), f jest różniczkowalna w
punkcie x0 (a,b) i pochodna f (x0)
Wtedy g jest różniczkowalna w punkcie y0=f(x0) oraz
g (y0)=
Przykład 4. Nich f(x) = wtedy g(y)=ln y jest funkcją
odwrotną do f.
Mamy więc f (x)= , zatem g = = =
Wniosek (ln y) = , y > 0
Przykłady różniczkowania
5 a) k= cons, (ekx) = eu|u=kx (kx) =e kx k
5
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
5 b)( ) (
1/2
5 c) ((1+ ) = (1+ )-1/2(2x)=
5 d) x > 0, ) = =
5 e) (3x2sin(x)) = [(3x2)(sin(x))] = 6xsin(x)+3x2cos(x)=
3x(2sin(x) +x sin(x))
5 f) = = =
II 5. Ekonomiczna interpretacja pochodnej
Zauważmy, że z definicji pochodnej
= f
wynika , iż dla małych h
W szczególności jeśli x jest wielkością fizyczną mierzoną w bardzo
małych jednostkach, to oznacza przyrost (dodatni lub ujemny)
wartości funkcji f jeśli argument zwiększy się o jednostkę. Mamy
bowiem
(*)
Przykład 6. Niech f(x) oznacza koszt magazynowania x jednostek
pewnego produktu w jednostce czasu. Pochodna oznacza tzw.
krańcowy koszt magazynowania przy stanie magazynu x. Jak wynika z
(*) koszt krańcowy przy stanie magazynu x, jest w przybliżeniu
6
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
przyrostem kosztów wynikającym ze zwiększenia stanu magazynu o
jednostkę (tzn. z poziomu x do x+1).
Współczynnik elastyczności funkcji
Czasami, w zagadnieniach praktycznych, interesuje nas granica
względnych przyrostów funkcji tzn.
=
= = f
Definicja 3.Współczynnikiem elastycznością funkcji f
różniczkowalnej w punkcie x nazywam wielkość
exf = f (**)
Przy interpretacji f z poprzedniego przykładu współczynnik
elastyczności informuje (w przybliżeniu) o ile procent zmieni się
koszt magazynowania przy stanie x jeśli stan x zmieni się o 1%.
Związek kosztu krańcowego z kosztem średnim
Zauważmy, że wzór na elastyczność (**) funkcji można zapisać
następująco
exf = ,
co oznacza, że elastyczność w stanie x jest ilorazem kosztu
krańcowego przez koszt średni .
7
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 7. R.Rempała
W ekonomii stopień elastyczności w punkcie określa się na
podstawie modułu współczynnika elastyczności.
Mówimy, że koszt w punkcie x
a) jest elastyczny jeśli |exf| >1
b) ma jednostkową elastyczność jeśli |exf|=1
c) jest nieelastyczny jeśli |exf| < 1
Uwaga. Definicję elastyczności określiliśmy na przykładzie funkcji
kosztów magazynowania. Definicje tę można przenieść na inne
funkcje np. przychód ze sprzedaży, funkcję popytu, funkcję podaży
itp.
Przykład. f(x)=x2 . Mamy więc : exf= 2x = 2.
II 6. Zastosowanie pochodnej do liczenia granic
Twierdzenie. (Reguła de L Hospitala
Jeśli f i g są określone i różniczkowalne w przedziale (x0 x0
g(x) x0 i oraz istnieje granica
, to
Komentarz. Twierdzenie pozostaje prawdziwe gdy
a) x0= , b) , c) a=
Przykład 7. = 0
8