��WykB
ad XVI Temat: CaB
ki nieoznaczone Funkcj
F(x) speB
niaj
c
warunek F (x)=f(x) nazywamy funkcj
pierwotn
. Poszukiwanie funkcji pierwotnej nazywa si
caB
kowaniem. CaB
kowanie jest dziaB
aniem odwrotnym do r�|
niczkowania. f (x)dx = F(x)+ c�! (F(x)+ c)2 = f (x) +" funkcja staB
a podcaB
kowa symbol funkcja caB
ki pierwotna WB
asno[
ci caB
ki nieoznaczonej WB
asno[

1. Czynnik staB
y mo|
na wynie[

przed znak caB
ki: f (x)dx +"c f (x)dx = c+" WB
asno[

2. CaB
ka z sumy (r�|
nicy) dw�ch funkcji jest r�wna sumie (r�|
nicy) caB
ek z tych funkcji: f (x)dx � g(x)dx +"[f (x)� g(x)]dx = +" +" 2 Podstawowe wzory caB
kowe =1 +"1dx = x + c poniewa|
(x + c)2 2 �� �� xn+1 xn+1 1 gdy|
�� xndx = + c + c�� = �"(n +1)xn = xn +" �� �� n +1 n +1 n +1 �� �� xr+1 xrdx = + c dla r `" -1 +" r +1 1 dx = ln x + c +"cosdx = sinx + c +" x 1 x +"1+ x2 dx = arctgx + c +"e dx = ex + c 1 dx = arc sinx + c +"sindx = -cosx + c +" 1- x2 3 PrzykB
ady: (2x3 - 3x2 + 5x - 7)dx = 2 x3dx - 3 x2dx + 5 xdx - 7 +" +" +" +" +"1dx = x4 x3 x2 = 2 + c1 - 3 + c2 + 5 + c3 - 7x + c4 = 4 3 2 x4 x2 = - x3 + 5 - 7x + c 2 2 1 4 1 4 �� ��dx = �� ��dx + �� +"�� +"�� 4 x-3 + x-2 �� = 3 4x3 3x2 �� �� �� �� 1 x-2 4 x-1 1 4 = �" + �" + c = - - + c 4 - 2 3 -1 8x2 3x 5 3 2 1 �� x3 x2 6 ��dx = �� 3 x2 - 3 x x2 - 2x x + c �� �� 3 +"��23 +"��2x - 3x2 �� = 2 - 3 + c = x3 �� ��dx 5 �� �� 5 �� �� 2 4 3 Metody caB
kowania: I. CaB
kowanie przez podstawianie 2 f (u(x))u (x)dx = f (u)du = F(u)+ c +" +" podstawiamy: PrzykB
ad 2x2 + 7 = u 5 x (2x2 + 7) dx = +" 4xdx = du 1 xdx = du 4 6 1 1 u6 1 = + c = (2x2 + 7) + c +"u5du = 4 4 6 24 5 II. CaB
kowanie przez cz
[
ci Pochodna iloczynu 2 2 [f (x)�" g(x)]2 = f (x)�" g(x)+ f (x)�" g (x) 2 2 f (x)�" g(x)dx + f (x)�" g (x)dx +"[f (x)�" g(x)]2 dx = +" +" 2 2 f (x)�" g(x)= f (x)�" g(x)dx + f (x)�" g (x)dx +" +" co daje nam wz�r na caB
kowanie przez cz
[
ci: 2 2 f (x)�" g(x)dx = f (x)�" g(x)- f (x)�" g (x)dx +" +" lub 2 2 f (x)�" g (x)dx = f (x)�" g(x)- f (x)�" g(x)dx +" +" 6 PrzykB
ad 1. 2 f (x) = 1 g(x) = lnx +"lnxdx = +"1�"lnxdx = 1 f (x) = +"1dx = x g2 (x) = x 2 2 f (x)�" g(x)dx = f (x)�" g(x)- f (x)�" g (x)dx +" +" 1 = xlnx - x �" dx = xlnx - +" +"1dx = xlnx - x + c x 7 PrzykB
ad 2. 2 +"cos xdx = +"cos x �"cos xdx = 2 f (x)= cosx g (x)= cosx 2 f (x)= -sinx g(x)= +"cosxdx =sinx = cosx �" sinx + (1- cos2x)dx +"sinx �" sinxdx = sinxcosx + +" ostatecznie otrzymujemy: xdx = sinxcosx + x - xdx +"cos2 +"cos2 2 2 +"cos xdx = sinx cos x + x sinx cosx + x xdx = + c +"cos2 8 2 Zadania na 
wiczenia Zadania na 
wiczenia 1 6 �� 1. - x2 ��dx �� +"��3x2 4x + 5 - - + 8 3 x �� x3 �� 2 6 �� 4 2. - + 8 x3 + 5��dx �� +"��5x4 3x2 + 5x - - x �� x2 �� Metoda przez podstawienie: 2x 2 4. dx 3. (2x3 + 3)dx +" +"3x 3x2 + 5 2 3 5. 6. +"2xe2x +3dx +"8x cos(x4 + 3)dx Metoda przez cz
[
ci: 4 x 7. 8. 10. +"5x cos xdx +"7xsin xdx 9. +"5x ln x dx +"2xe dx 9