Wykład XXV
Równania różniczkowe zwyczajne (c.d.)
1. Równanie różniczkowe zwyczajne postaci:
2
y = f (ax + by + c)
W celu rozwiązania równania dokonujemy podstawienia:
u = ax + by + c
du dy
Obliczamy
= (ax + by + c)2 = a + b
x
dx dx
dy 1 du a
Po wstawieniu nowej zmiennej u oraz
= -
dx b dx b
równanie przyjmie ostateczną postać:
1 du a du
- = f (u) = bf (u)+ a
b dx b dx
Przykład 1. Rozwiązać równanie
2
y = (2x + y)2 -1
RozwiÄ…zanie: Dokonujemy podstawienia:
u = 2x + y.
Liczymy pochodnÄ… po x:
du dy dy du
= 2 + = - 2
dx dx dx dx
Po wstawieniu do równania otrzymujemy nowe
równanie różniczkowe:
du du
- 2 = u2 -1 = u2 +1
dx dx
Rozwiązując równanie dostajemy:
du
du
= dx
= arctgu = x + C
+" +"dx
u2 +1
u2 +1
arctg(2x + y)= x + C 2x + y = tg(x + C)
y = tg(x + C)- 2x 2
Ostatecznie
y
ëÅ‚ öÅ‚
2. Równanie różniczkowe postaci:
2
y = f
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozwiązując równanie dokonujemy podstawienia:
y
u =
y = ux
czyli
x
dy du du
Obliczamy = Å" x + u Å"1 = x + u
dx dx dx
dy du
Po wstawieniu nowej zmiennej u oraz
= x + u
dx dx
Otrzymujemy równanie różniczkowe postaci:
du
x = f (u)- u
3
dx
dy 2xy
Przykład 2. Rozwiązać równanie
=
(dotyczące pęku prostych z
dx
x2 - y2
poprzedniego wykładu)
y
2
dy
RozwiÄ…zanie: Podzielimy licznik i x
=
2
mianownik po prawej stronie przez x2:
dx
y
ëÅ‚ öÅ‚
1-
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
y dy du
Wstawiamy u = oraz = x + u
x dx dx
du 2u
Dostajemy równanie: x = - u
dx
1- u2
du 2u - u + u3
x =
Przekształcając prawą stronę mamy:
dx
1- u2
1- u2 dx
1- u2 1
du =
+"
x
u + u3
x
u(1+ u2)du = +" dx
4
Po wstawieniu symbolu całki dostajemy:
1- u2 1
du = dx
+" +"
x
u(1+ u2)
W celu obliczenia całki po lewej stronie dokonujemy
rozbicia funkcji wymiernej na ułamki proste:
1- u2 A Bu + C A + Au2 + Bu2 + Cu
=
u
u(1+ u2)= + 1+ u2 u(1+ u2)
Å„Å‚
A
ôÅ‚C = 0
Å„Å‚
Rozwiązujemy układ:
ôÅ‚C + B = -1
òÅ‚A =1
= 0
òÅ‚
ôÅ‚
ółB = -2
ôÅ‚
ółA =1
1 - 2u 1
du + dx
+" +"1+ u2du = +"
u x
5
u x
ln = ln
ln u - ln(1+ u2)= ln x - ln C
C
1+ u2
y
x
ëÅ‚
x
y y2 öÅ‚
÷Å‚
=
Ä… C = xìÅ‚1+ /Å" x
2
ìÅ‚
C
x
y x2 ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1+
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä… Cy = x2 + y2 x2 + y2 m Cy = 0
2 2
C C2 C C2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x2 + y m - = 0 x2 + y m =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 2 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Jeśli wstawimy r=C/2, otrzymamy równanie okręgu o
środku w punkcie (0,ąr) i promieniu r, są więc styczne do
osi OX w punkcie (0,0). 6
3. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Równaniem różniczkowym liniowym I rzędu nazywamy
równanie postaci:
2
y + p(x)y = q(x)
gdzie p(x) i q(x) są ciągłe w pewnym przedziale, natomiast
y jest pewną funkcją zależną od x.
Jeżeli q(x)=0 wówczas równanie różniczkowe nazywamy
jednorodnym. Jeżeli q(x)`"0 równanie różniczkowe nazywane
jest niejednorodnym.
Metoda rozwiązywania równania liniowego rzędu
pierwszego
a) Rozwiązujemy równanie jednorodne y'+p(x)y=0
(równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)
b) Uzmienniamy stałą w rozwiązaniu równania
7
jednorodnego.
y
Przykład 3. Rozwiązać równanie 2
y + = x
x
RozwiÄ…zanie:
a) Rozwiązujemy równanie jednorodne
dy dx
y dy y
= -
2
y + = 0 = -
y x
x dx x
1 1
dy = - dx
ln y = -ln x + ln C
+" +"
y x
C
C
ln y = ln
y(x)=
x
x
8
C(x)
b) Uzmienniamy stałą:
y(x)=
x
Ponieważ funkcja musi spełniać równanie różniczkowe:
y
2
y + = x
x
obliczamy pochodnÄ… (pochodna ilorazu):
2 2
dy C (x)Å" x - C(x)Å"1 C (x) C(x)
2
y = = = -
dx x
x2 x2
i wstawiamy ją do równania uzyskując:
2
C (x) C(x) C(x)
x3
- + = x
2
C (x)= x2 C(x)= + C1
x
x2 x2
3
Ostatecznie otrzymujemy rozwiÄ…zanie:
1
x3 + C1 1
C1
3
y = = x2 +
9
x 3 x
2
Przykład 4. Rozwiązać równanie
2
y + 2xy = xe-x
RozwiÄ…zanie:
a) Rozwiązujemy równanie jednorodne
dy dy
= -2xy = -2xdx
2
y + 2xy = 0
dx y
1
x2
dy = -
ln y = -2 + ln C = -x2 + ln C
+" +"2xdx
y
2
2
y 2
= e-x
y = Ce-x
C
10
2
y(x)= C(x)e-x
b) Uzmienniamy stałą:
Obliczamy pochodnÄ… (pochodna iloczynu):
2 2
2 2
y (x)= C (x)e-x + C(x)e-x Å"(- 2x)
2
2
Wstawiamy pochodną i funkcję do równania y + 2xy = xe-x
uzyskujÄ…c:
2 2 2 2
2
C (x)e-x - 2xC(x)e-x + 2xC(x)e-x = xe-x
1
2
C (x)= x
C(x)= x2 + C1
2
Ostatecznie otrzymujemy rozwiÄ…zanie:
2
1
ëÅ‚
y = x2 + C1 öÅ‚e-x
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
11
Zadania na ćwiczenia:
Rozwiązać równania różniczkowe
2
2 2. y = 2x + 3y +1
1. y = (x - y)2 +1
y x
2
4. y - =
2
3. y + 2y = 3x + 2
x 3x + y
2
dy
y y
ëÅ‚ öÅ‚
2 6. 2xy = x2 - 2y2
5. - y - 5 + = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
dx
x x
íÅ‚ Å‚Å‚
2
8. y + y = 5sin 3x
2
7. y + 5y = 3e5x
y
2
10. y + = 2x3
2
9. y + 3y = 4x +1
x
12