Wykład XXI
Temat: Powtórka. Zadania z całek
Zadanie 1. Obliczyć całkę z funkcji:
4 2 2
y = 7x4 - 4x3 + 2x2 - + - 45 x3 + +13
x
3x3 7x
Rozwiązanie: Funkcję y zapisujemy w postaci:
3 1
-
4 2 1
2
y = 7x4 - 4x3 + 2x2 - x-3 + �" - 4x5 + 2x +13
3 7 x
Następnie liczymy całkę:
3 1
�ł �ł
-
4 2 1
4
2
- x-3 + �" - 4x5 + 2x +13�łdx =
+"�ł7x - 4x3 + 2x2
�ł �ł
3 7 x
8 1
�ł łł
2
x5 x4 x3 4 x-2 2 x5 x
= 7 - 4 + 2 - + ln x - 4 + 2 +13x + c
8 1
5 4 3 3 - 2 7
5 2
7 2 2 2 5
= x5 - x4 + x3 + + ln x - x5 x3 + 4 x +13x + c
5 3 2
3x2 7
1
Zadanie 2. Obliczyć całki metodą całkowania
przez podstawienie i przez części:
- x
-3x2 +6
a) b)
dx
+"4xe dx
+"2xe
Podstawienie
Rozwiązanie:
ńł- 3x2 + 6 = t �ł
2
1
Ad a)
= (- )etdt =
+"
+"2xe-3x +6dx = �ł - 6xdx = dtżł
3
ół �ł
2
1 1
= - et + c = - e-3x +6 + c
3 3
ńł
2
f (x)= 4x, g (x)= e-x �ł
-x
Ad b)
żł
+"4xe dx = �ł f 2 (x)= 4,
g(x)= -e-x �ł
ół
-x x
= -4xe- x + - + c
+"4e dx = -4xe-x 4e-
2
Zadanie 3. Obliczyć całki oznaczone:
4 4
4
�ł 3 2 �ł
3
+ dx (2x2 - 4) dx
�ł
a) b)
+"�ł2x - +"3x
2x2
x
�ł łł
1 1
Rozwiązanie:
4 4 1
�ł - �ł
�ł 3 2 �ł 3
3 3
2
+"�ł2x - + �łdx = +"�ł2x - x-2 + 2x �ł =
�ł �łdx
Ad a)
2x2 2
x
�ł łł
1 1 �ł łł
4
1
�ł łł
4
�ł śł
�ł łł
x4 3 x-1 x2 x4 3 3 1 3
= + 2 = + + 4 xśł =128 + + 8 - - - 4
�ł2 - śł
�ł
1
4 2 -1 2 2x 8 2 2
�ł �ł1
�ł śł
�ł 2 �ł1
Ad b)
2
4
2 ńł �ł
2 x - 4 = t 4
4
�ł �ł t5 1
2
4
4 xdx = dt
4 x (2 x - 4 ) dx = =
= (45 + 25)
�ł żł
+"
+"t dt =
x = 1 �! t = - 2
5 5
1
�ł �ł -2
-2
x = 2 �! t = 4
ół �ł
3
Zadanie 4. Obliczyć pole zawarte pomiędzy parabolami:
2 2
y = -x + 4 oraz y = x + 2
Rozwiązanie: Szukamy punktów
przecięcia, czyli rozwiązujemy układ
równań:
2
ńł
y = - x + 4
2 2
�! - x + 4 = x + 2 �!
�ł
2
y = x + 2
ół
2
2x = 2 �! x = 1 (" x = -1
1 1 1 1
1 1
�ł łł �ł łł
2
P = x2 + 4)dx -
+"(- +"(x + 2)dx =
�ł- x3 + 4xśł - �ł3 x3 + 2xśł =
3
�ł �ł-1 �ł �ł-1
-1 -1
1 1 �ł 1 1 �ł 2 2 8
�ł �ł �ł �ł
= - + 4 - �ł - 4�ł - �ł
+ 2 - �ł- - 2�ł = - + 8 - - 4 =
�ł łł �ł łł�ł 3
3 3 �ł 3 3 łł 3 3
4
Zadanie 5. Obliczyć całki z funkcji wymiernych:
3x - 3
8
dx
dx
+"
+"
a) b)
x2 - 9
x2 - 6x +13
3x - 3 3x - 3 A B
= = +
Rozwiązanie:
(x - 3)(x + 3) x - 3 x + 3
x2 - 9
3x - 3
A(x + 3)+ B(x - 3)= 3x - 3
dx =
Ad a)
+"
x2 - 9
A + B = 3 A + B = 3
ńł
�ł3A - 3B = -3 �! ńł
�łA - B = -1 �! A = 1; B = 2
ół ół
1 2
= dx + dx = ln x - 3 + 2ln x + 3 + c
+" +"
x - 3 x + 3
"<0
8 8 2
dx = dx = dx
+" +" +"
2
Ad b)
x2 - 6x +13
(x - 3)2 + 4
x - 3
�ł �ł
+1
�ł �ł
Podstawiamy:
2
�ł łł
4 x - 3
x - 3 1
= dt = 4arctgt + c = 4arctg + c
= t �! dx = dt
+"
2
2 2
t2 +1
5
Zadanie 6. Obliczyć całki z funkcji niewymiernych:
1
2x
dx
dx
+"
+"
4
a) b)
x - x
x2 + 9
Rozwiązanie:
Podstawiamy:
2t4 t7
2x
= 4t3dt = 8
x = t4
Ad a)
dx =
+" +"
+"
4
t(t -1)dt =
t2 - t
x - x
dx = 4t3dt
t6 1
�ł �łdt =
= 8 dt = 8
�ł
+" +"�łt5 + t4 + t3 + t2 + t +1+
t -1 t -1łł
�ł
�ł �ł
t6 t5 t4 t3 t2
�ł
= 8�ł + + + + + t + ln t -1 + c
�ł �ł
6 5 4 3 2
�ł łł
1 1 1 1 1
�ł
4
4 4
= 8�ł x x + x4 x + x + x3 + x + x + ln x -1 + c
�ł �ł
6 5 4 3 2
�ł łł
6
1
1 (t2 + 9)dt = +" 2t (t2 + 9)dt
dx
= �"
Ad b)
+"
+"
t2 - 9 2t2 t2 + 9 2t2
x2 + 9
t -
2t
Podstawienie Eulera:
x + x2 + 9 = t
1
= dt = ln t + c = ln x + x2 + 9 + c
+"
t
x2 + 9 = t - x ( )2
x2 + 9 = t2 - 2tx + x2
t2 - 9
2tx = t2 - 9 �! x =
2t
4t2 - 2t2 +18 2t2 +18
dx = dt =
4t2 4t2
7
Zadanie 7. Obliczyć długość łuku oraz objętość bryły
powstałej z obrotu dookoła osi OX funkcji:
9 y2 = 4x3; 0 d" x d" 3
Rozwiązanie: Wyznaczamy z funkcji y
3
4 2
2
2
2
y = x3 �! y = x �! y = x
9 3
1
3 3
2
Długość łuku:L = 3
2
1 + (y )2 dx = 1 + xdx =
+" +" +"(1 + x) dx =
3
3
0 0 0
2
3
(1 + x) 2 16
= = (1 + x) 1 + x =
3 0
3 3
2
0
3
3
�ł
4 4 x4 łł 81
V = Ą x3dx = Ą�ł śł = Ą = 9Ą
Objętość:
+"
9 9 4
�ł śł0 9
�ł �ł
0
8