Wykład XXII
Całki podwójne. Interpretacja geometryczna.
1. Definicja całki podwójnej po prostokącie
Podziałem prostokąta R = {(x, y) : a d" x d" b, c d" y d" d}
(inaczej: R = [a, b] × [c, d]) nazywamy zbiór P zÅ‚ożony z
prostokątów: R1,R2, . . . ,Rn, które całkowicie go wypełniają
i mają parami rozłączne wnętrza.
dk
Niech "xk, "yk będą długościami
d
boków prostokąta Rk (k=1,& n),
Rk
"yk
dk = ("xk )2 + ("yk )2 jego przekÄ…tnÄ….
"xk
c
Średnicą podziału P nazywamy
a b
liczbÄ™: ´(P) = max {dk : 1 d" k d" n}.
Oznaczmy przez (·k,¾k) dowolny punkt należący do Rk.
Niech funkcja f(x,y) będzie ograniczona na prostokącie R
oraz niech P będzie podziałem tego prostokąta.
Sumą całkowitą funkcji f(x,y) ograniczoną na R nazywamy
liczbÄ™
n
f (·k ,¾k )Å" "xk Å" "yk
"
k=1
Pojedyncze składniki powyższej sumy są objętościami
prostopadłościanów, których podstawami są prostokąty Rk,
natomiast wysokoÅ›ciami f(·k,¾k).
Rozpatrując ciąg podziałów (Pn) i przechodząc do granicy
przy n", dochodzimy do pojęcia całki podwójnej.
2
Definicja całki podwójnej z funkcji po prostokącie
Niech funkcja f(x,y) będzie ograniczona na prostokącie R.
Całkę podwójną z funkcji f(x,y) po prostokącie R określamy
wzorem:
n
f (x, y)dxdy = lim f (·k ,¾k )Å" "xk Å""yk
"
+"+"
´(P)0k=1
R
o ile ta granica jest właściwa i nie zależy od sposobu
podziaÅ‚u prostokÄ…ta R oraz wyboru punktów (¾k,·k) .
Jeżeli całka istnieje, to mówimy, że funkcja jest
całkowalna.
UWAGA: Każda funkcja ciągła na R jest całkowalna.
3
2. Interpretacja geometryczna.
f (·k ,¾k )"xk"yk
Składnik sumy całkowej
n
f (·k ,¾k )"xk"yk
"
k=1
można interpretować jako objętość prostopadłościanu
krzywopowierzchniowego, którego podstawą jest prostokąt
o wymiarach "xk, "yk a przeciwległą ścianę tworzy
fragment powierzchni z = f(x,y).
Suma całkowa jest zatem przybliżeniem objętości bryły
ograniczonej prostokÄ…tem R, powierzchniÄ… z = f(x,y) oraz
ścianami bocznymi prostopadłymi do płaszczyzny OXY.
Całka, jako granica sum, jest objętością tej bryły.
4
2. Własności całki podwójnej
2.1. f (x, y)= 0 Ò! f (x, y)dxdy = 0
Jeśli
+"+"
R
2.2. f (x, y)dxdy +
+"+"[f (x, y)+ g(x, y)]dxdy = +"+" +"+"g(x, y)dxdy
R R R
2.3. Jeżeli R = R1 *" R2 oraz R1 )" R2 = 0
/
f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy
+"+" +"+" +"+"
R R1 R2
2.4. f (x, y)dxdy
+"+"cf (x, y)dxdy = c+"+"
R R
2.5. Jeżeli R = [a,b]×[c,d]
b d d b
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
f (x, y)dy÷Å‚dx = f (x, y)dx÷Å‚dy
+"ìÅ‚+" +"ìÅ‚+"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
5
a c Å‚Å‚ c a Å‚Å‚
íÅ‚ íÅ‚
Przykład 1: Obliczyć całkę z
funkcji z=2x(1+y2) na
prostokÄ…cie [1,2]x[0,3]
3 2 3 2
ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
(1+ y2)dx÷Å‚dy = (1+ y2)ëÅ‚+"2xdx÷Å‚dy =
+"ìÅ‚+"2x +"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 Å‚Å‚ 0 íÅ‚ 1 Å‚Å‚
íÅ‚
x=2
3 3
x2 Å‚Å‚
= (1+ y2)îÅ‚2 dy =3 (1+ y2)dy =
ïÅ‚ śł
+" +"
2
ïÅ‚ śłx=1
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0
y=3
îÅ‚
y3 Å‚Å‚
= 3ïÅ‚y + = 3(3 + 9)= 36.
śł
3 6
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
y=0
Całkę moglibyśmy rozwiązać inną metodą
(własność 2.5), mianowicie:
2 3 2 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
(1+ y2)dy÷Å‚dx = (1+ y2)dy÷Å‚dx =
+"ìÅ‚+"2x +"2xìÅ‚+"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 0 Å‚Å‚ 1 íÅ‚ 0 Å‚Å‚
íÅ‚
3
2 2
îÅ‚ 2
y3 Å‚Å‚
= dx =12 = 48 -12 = 36
śł
+"2xïÅ‚y + +"2xdx =12x2
1
3
ïÅ‚ śł0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
7
Przykład 2: Obliczyć objętość
prostopadłościanu opartego na
prostokÄ…cie [0,2]x[0,3]
ograniczonego powierzchniÄ…
z=6-x2-y2
y=3
2 3 2
ëÅ‚ öÅ‚
îÅ‚
y3 Å‚Å‚
(6 - x2 - y2)dy÷Å‚dx = y - dx =
śł
+"ìÅ‚+" +"ïÅ‚6y - x2
ìÅ‚ ÷Å‚
3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 Å‚Å‚ 0
íÅ‚
y=0
2 2
x=2
[
= (18 - 3x2 - 9)dx = (9 - 3x2)dx = 9x - x3 ]
x=0
+" +"
0 0
=18 -8 =10
Odpowiedz
: Objętość tego prostopadłościanu
wynosi 10 (jednostek^3).
8