Wykład XIX: Całki oznaczone
Związek całki oznaczonej z polem
"S = S(x + "x)- S(x)
M"S "S S(x + "x)- S(x)
=
"x "x
m
y=f(x)
Zauważmy, że
m Å" "x d" "S d" M Å" "x
m = f (x)
min
S(x)
gdzie
x,x+"x
M = f (x)
max
x,x+"x
"
"x
"S
a b
xx x+"x
m d" d" M
"x
"S
S(x)= f (x)dx
2 czyli
f (x)d" d" f (x) Ô! S (x)= f (x)
+"
lim
1
"x
"x0
Ponadto
S(x)= F(x)+ c
S(a)= F(a)+ c
0 = F(a)+ c Ò! c = -F(a)
S(b)= F(b)+ c Ò! S(b)= F(b)- F(a).
b
b
Ostatecznie
f (x)dx = F(x) = F(b)- F(a)
+"
a
a
2
Przykłady:
4
4
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x4 44 24
ìÅ‚
(x3 +1)dx = + xśł = + 4÷Å‚ -ìÅ‚ + 2÷Å‚ = 68- 6 = 62
ïÅ‚
+"
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
ïÅ‚ śł2 ìÅ‚ 4
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
1
5
{dokonujemy podstawienia}
+"(x + 4) dx =
0
Å„Å‚ üÅ‚
x+4=u
Przy podstawieniu nowej zmiennej,
òÅ‚ żł
zmieniają się granice całkowania
dx=du
ół þÅ‚
x = 0 Ò! u = 4
x =1Ò! u = 5
5
5
îÅ‚ Å‚Å‚
u6 56 46
5
= = -
ïÅ‚ śł
+"u du =
6
ðÅ‚ ûÅ‚4 6 6
4
3
Własności całki oznaczonej:
b b
f (x)dx
+"c Å" f (x)dx = c+"
a a
b b b
f (x)dx Ä…
+"( f (x)Ä… g(x))dx =+" +"g(x)dx
a a a
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx dla c"(a,b)
+" +" +"
a a c
b a
f (x)dx = - f (x)dx
+" +"
a b
4
Zastosowanie całek do liczenia pól
f (x)e" 0
Jeżeli wówczas
b
f (x)dx
+"
a
jest równa polu zawartemu pomiędzy
funkcjÄ… f(x), osiÄ… OX oraz prostymi x=a i x=b.
5
Przykład: Obliczyć pole zawarte pomiędzy
sinusoidÄ… i osiÄ… OX w przedziale (0,Ä„).
Obliczamy
zamalowane pole
Ä„
Ä„
S =
0
+"sin(x)dx = [- cos(x)]
0
S = -cos(Ä„)+ cos(0)=1+1 = 2
6
f (x)d" 0
Jeżeli
wówczas pole zawarte pomiędzy funkcją f(x), osią OX
oraz prostymi x=a i x=b wynosi
b b
S = f (x)dx
+"[- f (x)]dx = -+"
a a
Przykład: Obliczyć pole zawarte pomiędzy parabolą
i osiÄ… OX w przedziale (0,6).
y = x2 - 5x + 4
7
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia paraboli z osią OX
x2 - 5x + 4 = 0
2
" = b2 - 4ac = (- 5) - 4 Å"1Å" 4 = 25 -16 = 9
- b - " 5 - 3
x1 = = =1
2a 2
- b + " 5 + 3
x2 = = = 4
2a 2
1 4 6
S = (x2 - 5x + 4)dx - (x2 - 5x + 4)dx + (x2 - 5x + 4)dx
+" +" +"
0 1 4
8
1 4 6
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x3 x2 x3 x2 x3 x2
S = - 5 + 4xśł - - 5 + 4xśł + - 5 + 4xśł
ïÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚
3 2 3 2 3 2
ðÅ‚ ûÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚1 ðÅ‚ ûÅ‚4
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 43 42 1 1
ëÅ‚ ëÅ‚
÷Å‚
S = - 5Å" + 4 - 0öÅ‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚ - 5 +16÷Å‚ - - 5Å" + 4öłśł +
ìÅ‚
3 2 3 2 3 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
63 62 43 42
÷Å‚ ÷Å‚
+
ïÅ‚ìÅ‚ - 5 + 24÷Å‚ - ìÅ‚ - 5 +16÷łśł
ìÅ‚ ìÅ‚
3 2 3 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2 -15+ 24 128- 240 + 96 432 - 540 +144 22 - 32 + 36 26
S = 2Å" - 2Å" + = =
6 6 6 6 6
9
Uwaga. Przy pomocy całki oznaczonej liczymy także
miarę pola pomiędzy dowolnymi funkcjami y=f(x) i y=g(x).
W celu obliczenia pola pomiędzy funkcjami, musimy
wyznaczyć punkty przecięcia się wykresów a następnie
obliczyć:
b b b
S = f (x)dx - g(x)dx =
+" +" +"[f (x)- g(x)]dx
10
a a a
Przykład
Obliczyć pole zawarte pomiędzy funkcjami:
y = 4x i y = x3
RozwiÄ…zanie:
y = 4x
Å„Å‚
Ô! 4x = x3 Ô! 4x - x3 = 0
òÅ‚
y = x3
ół
x(4 - x2)= 0 Ô! x(2 - x)(2 + x)= 0
x = 0 (" x = 2 (" x = -2
2
2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 x2 x4
S = (4x - x3)dx =ïÅ‚4 - = 8 - 4 = 4
śł
+"
2 2 4
ðÅ‚ ûÅ‚0
0
Ostatecznie:
S = 8
11
Zadania na ćwiczenia
1. Obliczyć wartości całek oznaczonych:
1 e
2
2
ln4x
b)
a) xex dx c) dx
+"(2x -1)4dx
+" +"
x
1
0 1
2. Obliczyć wartości pól zawartymi pomiędzy wykresami
funkcji:
a) y = x2 i y = -x2 + 2
b) y = x2 - 2x; y = x i osiÄ… OX
c) y = -x2 + 2x i y = -x + 2
1
d) y = x; y = i x = 4
x
5
e) y = i y = -x + 6
x
12